MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addgt0sr Structured version   Unicode version

Theorem addgt0sr 8969
Description: The sum of two positive signed reals is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addgt0sr  |-  ( ( 0R  <R  A  /\  0R  <R  B )  ->  0R  <R  ( A  +R  B ) )

Proof of Theorem addgt0sr
StepHypRef Expression
1 ltrelsr 8936 . . . . . 6  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
21brel 4918 . . . . 5  |-  ( 0R 
<R  A  ->  ( 0R  e.  R.  /\  A  e.  R. ) )
32simprd 450 . . . 4  |-  ( 0R 
<R  A  ->  A  e. 
R. )
4 ltasr 8965 . . . . 5  |-  ( A  e.  R.  ->  ( 0R  <R  B  <->  ( A  +R  0R )  <R  ( A  +R  B ) ) )
5 0idsr 8962 . . . . . 6  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  0R )  =  A )
65breq1d 4214 . . . . 5  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  +R  0R )  <R  ( A  +R  B )  <->  A  <R  ( A  +R  B ) ) )
74, 6bitrd 245 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  ( 0R  <R  B  <->  A  <R  ( A  +R  B ) ) )
83, 7syl 16 . . 3  |-  ( 0R 
<R  A  ->  ( 0R 
<R  B  <->  A  <R  ( A  +R  B ) ) )
98biimpa 471 . 2  |-  ( ( 0R  <R  A  /\  0R  <R  B )  ->  A  <R  ( A  +R  B ) )
10 ltsosr 8959 . . 3  |-  <R  Or  R.
1110, 1sotri 5253 . 2  |-  ( ( 0R  <R  A  /\  A  <R  ( A  +R  B ) )  ->  0R  <R  ( A  +R  B ) )
129, 11syldan 457 1  |-  ( ( 0R  <R  A  /\  0R  <R  B )  ->  0R  <R  ( A  +R  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   R.cnr 8732   0Rc0r 8733    +R cplr 8736    <R cltr 8738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-ni 8739  df-pli 8740  df-mi 8741  df-lti 8742  df-plpq 8775  df-mpq 8776  df-ltpq 8777  df-enq 8778  df-nq 8779  df-erq 8780  df-plq 8781  df-mq 8782  df-1nq 8783  df-rq 8784  df-ltnq 8785  df-np 8848  df-1p 8849  df-plp 8850  df-ltp 8852  df-plpr 8922  df-enr 8924  df-nr 8925  df-plr 8926  df-ltr 8928  df-0r 8929
  Copyright terms: Public domain W3C validator