MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addgt0sr Unicode version

Theorem addgt0sr 8914
Description: The sum of two positive signed reals is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addgt0sr  |-  ( ( 0R  <R  A  /\  0R  <R  B )  ->  0R  <R  ( A  +R  B ) )

Proof of Theorem addgt0sr
StepHypRef Expression
1 ltrelsr 8881 . . . . . 6  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
21brel 4868 . . . . 5  |-  ( 0R 
<R  A  ->  ( 0R  e.  R.  /\  A  e.  R. ) )
32simprd 450 . . . 4  |-  ( 0R 
<R  A  ->  A  e. 
R. )
4 ltasr 8910 . . . . 5  |-  ( A  e.  R.  ->  ( 0R  <R  B  <->  ( A  +R  0R )  <R  ( A  +R  B ) ) )
5 0idsr 8907 . . . . . 6  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  0R )  =  A )
65breq1d 4165 . . . . 5  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  +R  0R )  <R  ( A  +R  B )  <->  A  <R  ( A  +R  B ) ) )
74, 6bitrd 245 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  ( 0R  <R  B  <->  A  <R  ( A  +R  B ) ) )
83, 7syl 16 . . 3  |-  ( 0R 
<R  A  ->  ( 0R 
<R  B  <->  A  <R  ( A  +R  B ) ) )
98biimpa 471 . 2  |-  ( ( 0R  <R  A  /\  0R  <R  B )  ->  A  <R  ( A  +R  B ) )
10 ltsosr 8904 . . 3  |-  <R  Or  R.
1110, 1sotri 5203 . 2  |-  ( ( 0R  <R  A  /\  A  <R  ( A  +R  B ) )  ->  0R  <R  ( A  +R  B ) )
129, 11syldan 457 1  |-  ( ( 0R  <R  A  /\  0R  <R  B )  ->  0R  <R  ( A  +R  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717   class class class wbr 4155  (class class class)co 6022   R.cnr 8677   0Rc0r 8678    +R cplr 8681    <R cltr 8683
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-omul 6667  df-er 6843  df-ec 6845  df-qs 6849  df-ni 8684  df-pli 8685  df-mi 8686  df-lti 8687  df-plpq 8720  df-mpq 8721  df-ltpq 8722  df-enq 8723  df-nq 8724  df-erq 8725  df-plq 8726  df-mq 8727  df-1nq 8728  df-rq 8729  df-ltnq 8730  df-np 8793  df-1p 8794  df-plp 8795  df-ltp 8797  df-plpr 8867  df-enr 8869  df-nr 8870  df-plr 8871  df-ltr 8873  df-0r 8874
  Copyright terms: Public domain W3C validator