Theorem addnidpi 5028

Description: There is no identity element for addition on positive integers.

Hypothesis

Ref	Expression
addnidpi.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
addnidpi	|- (A e. N. -> -. (A +N B) = A)

Proof of Theorem addnidpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaordi 4234	. . . . . . . . 9 |- ((B e. om /\ A e. om) -> ((/) e. B -> (A +o (/)) e. (A +o B)))
2		nna0 4223	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. om -> (A +o (/)) = A)
3	2	eleq1d 1540	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. om -> ((A +o (/)) e. (A +o B) <-> A e. (A +o B)))
4		eleq2 1535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A +o B) = A -> (A e. (A +o B) <-> A e. A))
5	4	negbid 611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A +o B) = A -> (-. A e. (A +o B) <-> -. A e. A))
6		nnord 3140	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A e. om -> Ord A)
7		ordirr 2966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Ord A -> -. A e. A)
8	6, 7	syl 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. om -> -. A e. A)
9	5, 8	syl5cbir 211	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. om -> ((A +o B) = A -> -. A e. (A +o B)))
10	9	con2d 91	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. om -> (A e. (A +o B) -> -. (A +o B) = A))
11	3, 10	sylbid 203	. . . . . . . . . 10 |- (A e. om -> ((A +o (/)) e. (A +o B) -> -. (A +o B) = A))
12	11	adantl 388	. . . . . . . . 9 |- ((B e. om /\ A e. om) -> ((A +o (/)) e. (A +o B) -> -. (A +o B) = A))
13	1, 12	syld 27	. . . . . . . 8 |- ((B e. om /\ A e. om) -> ((/) e. B -> -. (A +o B) = A))
14	13	expcom 374	. . . . . . 7 |- (A e. om -> (B e. om -> ((/) e. B -> -. (A +o B) = A)))
15	14	imp32 363	. . . . . 6 |- ((A e. om /\ (B e. om /\ (/) e. B)) -> -. (A +o B) = A)
16		elni2 5005	. . . . . 6 |- (B e. N. <-> (B e. om /\ (/) e. B))
17	15, 16	sylan2b 452	. . . . 5 |- ((A e. om /\ B e. N.) -> -. (A +o B) = A)
18		pinn 5006	. . . . 5 |- (A e. N. -> A e. om)
19	17, 18	sylan 448	. . . 4 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> -. (A +o B) = A)
20		addpiord 5012	. . . . 5 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A +N B) = (A +o B))
21	20	eqeq1d 1483	. . . 4 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> ((A +N B) = A <-> (A +o B) = A))
22	19, 21	mtbird 715	. . 3 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> -. (A +N B) = A)
23	22	a1d 12	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A e. N. -> -. (A +N B) = A))
24		addnidpi.1	. . . . . 6 |- B e. V
25		dmaddpi 5018	. . . . . 6 |- dom +N = (N. X. N.)
26	24, 25	ndmopr 4045	. . . . 5 |- (-. (A e. N. /\ B e. N.) -> (A +N B) = (/))
27	26	eqeq1d 1483	. . . 4 |- (-. (A e. N. /\ B e. N.) -> ((A +N B) = A <-> (/) = A))
28		0npi 5010	. . . . 5 |- -. (/) e. N.
29		eleq1 1534	. . . . 5 |- ((/) = A -> ((/) e. N. <-> A e. N.))
30	28, 29	mtbii 716	. . . 4 |- ((/) = A -> -. A e. N.)
31	27, 30	syl6bi 214	. . 3 |- (-. (A e. N. /\ B e. N.) -> ((A +N B) = A -> -. A e. N.))
32	31	con2d 91	. 2 |- (-. (A e. N. /\ B e. N.) -> (A e. N. -> -. (A +N B) = A))
33	23, 32	pm2.61i 126	1 |- (A e. N. -> -. (A +N B) = A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  (/)c0 2280  Ord word 2947  omcom 3131  (class class class)co 3963   +o coa 4130  N.cnpi 4972   +N cpli 4973

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-oadd 4135  df-ni 5000  df-pli 5001

Copyright terms: Public domain