Theorem addpiord 4984

Description: Positive integer addition in terms of ordinal addition.

Assertion

Ref	Expression
addpiord	|- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A +N B) = (A +o B))

Proof of Theorem addpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 3207	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> <.A, B>. e. (N. X. N.))
2		fvres 3719	. . 3 |- (<.A, B>. e. (N. X. N.) -> (( +o |` (N. X. N.))` <.A, B>.) = ( +o ` <.A, B>.))
3		df-opr 3950	. . . 4 |- (A +N B) = ( +N ` <.A, B>.)
4		df-pli 4973	. . . . 5 |- +N = ( +o |` (N. X. N.))
5	4	fveq1i 3710	. . . 4 |- ( +N ` <.A, B>.) = (( +o |` (N. X. N.))` <.A, B>.)
6	3, 5	eqtr 1487	. . 3 |- (A +N B) = (( +o |` (N. X. N.))` <.A, B>.)
7		df-opr 3950	. . 3 |- (A +o B) = ( +o ` <.A, B>.)
8	2, 6, 7	3eqtr4g 1523	. 2 |- (<.A, B>. e. (N. X. N.) -> (A +N B) = (A +o B))
9	1, 8	syl 10	1 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A +N B) = (A +o B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  <.cop 2401   X. cxp 3158   |` cres 3162  ` cfv 3172  (class class class)co 3948   +o coa 4114  N.cnpi 4944   +N cpli 4945

This theorem is referenced by:  addclpi 4992  addcompi 4994  addasspi 4995  distrpi 4998  addnidpi 5000  ltexpi 5001  ltapi 5002  1lt2pi 5004  indpi 5006

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fv 3188  df-opr 3950  df-pli 4973

Copyright terms: Public domain