Theorem addpipq 5051

Description: Addition of positive fractions in terms of positive integers.

Assertion

Ref	Expression
addpipq	|- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.A, B>.] ~Q +Q [<.C, D>.] ~Q ) = [<.((A .N D) +N (B .N C)), (B .N D)>.] ~Q )

Proof of Theorem addpipq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 2782	. 2 |- <.((A .N D) +N (B .N C)), (B .N D)>. e. V
2		opex 2782	. 2 |- <.((a .N h) +N (b .N g)), (b .N h)>. e. V
3		opex 2782	. 2 |- <.((c .N s) +N (d .N t)), (d .N s)>. e. V
4		enqex 5045	. 2 |- ~Q e. V
5		enqer 5043	. 2 |- Er ~Q
6		dmenq 5042	. 2 |- dom ~Q = (N. X. N.)
7		df-enq 5034	. 2 |- ~Q = {<.x, y>. | ((x e. (N. X. N.) /\ y e. (N. X. N.)) /\ E.zE.wE.vE.u((x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.) /\ (z .N u) = (w .N v)))}
8		opreq12 3970	. . . 4 |- ((z = a /\ u = d) -> (z .N u) = (a .N d))
9		opreq12 3970	. . . 4 |- ((w = b /\ v = c) -> (w .N v) = (b .N c))
10	8, 9	eqeqan12d 1490	. . 3 |- (((z = a /\ u = d) /\ (w = b /\ v = c)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (a .N d) = (b .N c)))
11	10	an42s 509	. 2 |- (((z = a /\ w = b) /\ (v = c /\ u = d)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (a .N d) = (b .N c)))
12		opreq12 3970	. . . 4 |- ((z = g /\ u = s) -> (z .N u) = (g .N s))
13		opreq12 3970	. . . 4 |- ((w = h /\ v = t) -> (w .N v) = (h .N t))
14	12, 13	eqeqan12d 1490	. . 3 |- (((z = g /\ u = s) /\ (w = h /\ v = t)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (g .N s) = (h .N t)))
15	14	an42s 509	. 2 |- (((z = g /\ w = h) /\ (v = t /\ u = s)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (g .N s) = (h .N t)))
16		df-plpq 5032	. 2 |- +pQ = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (N. X. N.) /\ y e. (N. X. N.)) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.((w .N f) +N (v .N u)), (v .N f)>.))}
17		opreq12 3970	. . . . 5 |- ((w = a /\ f = h) -> (w .N f) = (a .N h))
18		opreq12 3970	. . . . 5 |- ((v = b /\ u = g) -> (v .N u) = (b .N g))
19	17, 18	opreqan12d 3979	. . . 4 |- (((w = a /\ f = h) /\ (v = b /\ u = g)) -> ((w .N f) +N (v .N u)) = ((a .N h) +N (b .N g)))
20	19	an42s 509	. . 3 |- (((w = a /\ v = b) /\ (u = g /\ f = h)) -> ((w .N f) +N (v .N u)) = ((a .N h) +N (b .N g)))
21		opreq12 3970	. . . 4 |- ((v = b /\ f = h) -> (v .N f) = (b .N h))
22	21	ad2ant2l 408	. . 3 |- (((w = a /\ v = b) /\ (u = g /\ f = h)) -> (v .N f) = (b .N h))
23	20, 22	opeq12d 2495	. 2 |- (((w = a /\ v = b) /\ (u = g /\ f = h)) -> <.((w .N f) +N (v .N u)), (v .N f)>. = <.((a .N h) +N (b .N g)), (b .N h)>.)
24		opreq12 3970	. . . . 5 |- ((w = c /\ f = s) -> (w .N f) = (c .N s))
25		opreq12 3970	. . . . 5 |- ((v = d /\ u = t) -> (v .N u) = (d .N t))
26	24, 25	opreqan12d 3979	. . . 4 |- (((w = c /\ f = s) /\ (v = d /\ u = t)) -> ((w .N f) +N (v .N u)) = ((c .N s) +N (d .N t)))
27	26	an42s 509	. . 3 |- (((w = c /\ v = d) /\ (u = t /\ f = s)) -> ((w .N f) +N (v .N u)) = ((c .N s) +N (d .N t)))
28		opreq12 3970	. . . 4 |- ((v = d /\ f = s) -> (v .N f) = (d .N s))
29	28	ad2ant2l 408	. . 3 |- (((w = c /\ v = d) /\ (u = t /\ f = s)) -> (v .N f) = (d .N s))
30	27, 29	opeq12d 2495	. 2 |- (((w = c /\ v = d) /\ (u = t /\ f = s)) -> <.((w .N f) +N (v .N u)), (v .N f)>. = <.((c .N s) +N (d .N t)), (d .N s)>.)
31		opreq12 3970	. . . . 5 |- ((w = A /\ f = D) -> (w .N f) = (A .N D))
32		opreq12 3970	. . . . 5 |- ((v = B /\ u = C) -> (v .N u) = (B .N C))
33	31, 32	opreqan12d 3979	. . . 4 |- (((w = A /\ f = D) /\ (v = B /\ u = C)) -> ((w .N f) +N (v .N u)) = ((A .N D) +N (B .N C)))
34	33	an42s 509	. . 3 |- (((w = A /\ v = B) /\ (u = C /\ f = D)) -> ((w .N f) +N (v .N u)) = ((A .N D) +N (B .N C)))
35		opreq12 3970	. . . 4 |- ((v = B /\ f = D) -> (v .N f) = (B .N D))
36	35	ad2ant2l 408	. . 3 |- (((w = A /\ v = B) /\ (u = C /\ f = D)) -> (v .N f) = (B .N D))
37	34, 36	opeq12d 2495	. 2 |- (((w = A /\ v = B) /\ (u = C /\ f = D)) -> <.((w .N f) +N (v .N u)), (v .N f)>. = <.((A .N D) +N (B .N C)), (B .N D)>.)
38		df-plq 5036	. 2 |- +Q = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. Q. /\ y e. Q.) /\ E.aE.bE.cE.d((x = [<.a, b>.] ~Q /\ y = [<.c, d>.] ~Q ) /\ z = [(<.a, b>. +pQ <.c, d>.)] ~Q ))}
39		df-nq 5035	. 2 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
40		visset 1813	. . 3 |- a e. V
41		visset 1813	. . 3 |- b e. V
42		visset 1813	. . 3 |- c e. V
43		visset 1813	. . 3 |- d e. V
44		visset 1813	. . 3 |- g e. V
45		visset 1813	. . 3 |- h e. V
46		visset 1813	. . 3 |- t e. V
47		visset 1813	. . 3 |- s e. V
48	40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47	addcmpblnq 5049	. 2 |- ((((a e. N. /\ b e. N.) /\ (c e. N. /\ d e. N.)) /\ ((g e. N. /\ h e. N.) /\ (t e. N. /\ s e. N.))) -> (((a .N d) = (b .N c) /\ (g .N s) = (h .N t)) -> <.((a .N h) +N (b .N g)), (b .N h)>. ~Q <.((c .N s) +N (d .N t)), (d .N s)>.))
49	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 15, 16, 23, 30, 37, 38, 39, 48	oprec 4318	1 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.A, B>.] ~Q +Q [<.C, D>.] ~Q ) = [<.((A .N D) +N (B .N C)), (B .N D)>.] ~Q )

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411  (class class class)co 3963  [cec 4259  N.cnpi 4969   +N cpli 4970   .N cmi 4971   +pQ cplpq 4973   ~Q ceq 4975  Q.cnq 4976   +Q cplq 4978

This theorem is referenced by:  addclpq 5055  addcompq 5059  addasspq 5060  distrpq 5064  ltapq 5073  1lt2pq 5075  ltexpq 5077  halfpq 5079  prlem934a 5134

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4622

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 4997  df-pli 4998  df-mi 4999  df-plpq 5032  df-enq 5034  df-nq 5035  df-plq 5036

Copyright terms: Public domain