MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addsin Unicode version

Theorem addsin 12700
Description: Sum of sines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
addsin  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  +  ( sin `  B ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )

Proof of Theorem addsin
StepHypRef Expression
1 addcl 9007 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
21halfcld 10146 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC )
32sincld 12660 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
4 subcl 9239 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
54halfcld 10146 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC )
65coscld 12661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
73, 6mulcld 9043 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  e.  CC )
872timesd 10144 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  +  ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
9 sinadd 12694 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  +  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  +  ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
102, 5, 9syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  +  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  +  ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
11 sinsub 12698 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  -  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  -  ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
122, 5, 11syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  -  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  -  ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
1310, 12oveq12d 6040 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  +  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  +  ( sin `  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  -  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  +  ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) )  +  ( ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  -  (
( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) ) )
142coscld 12661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
155sincld 12660 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( A  -  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
1614, 15mulcld 9043 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  e.  CC )
177, 16, 7ppncand 9385 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  +  ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) )  +  ( ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  -  (
( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )  =  ( ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  +  ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
1813, 17eqtrd 2421 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  +  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  +  ( sin `  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  -  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) ) )  +  ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) ) ) ) )
19 halfaddsub 10135 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  +  B )  /  2 )  +  ( ( A  -  B )  /  2
) )  =  A  /\  ( ( ( A  +  B )  /  2 )  -  ( ( A  -  B )  /  2
) )  =  B ) )
2019simpld 446 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  +  ( ( A  -  B
)  /  2 ) )  =  A )
2120fveq2d 5674 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  +  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  =  ( sin `  A ) )
2219simprd 450 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  -  (
( A  -  B
)  /  2 ) )  =  B )
2322fveq2d 5674 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  -  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  =  ( sin `  B ) )
2421, 23oveq12d 6040 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  +  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  +  ( sin `  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  -  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  A
)  +  ( sin `  B ) ) )
258, 18, 243eqtr2rd 2428 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  +  ( sin `  B ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923    + caddc 8928    x. cmul 8930    - cmin 9225    / cdiv 9611   2c2 9983   sincsin 12595   cosccos 12596
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-pm 6959  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-ico 10856  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-seq 11253  df-exp 11312  df-fac 11496  df-bc 11523  df-hash 11548  df-shft 11811  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-limsup 12194  df-clim 12211  df-rlim 12212  df-sum 12409  df-ef 12599  df-sin 12601  df-cos 12602
  Copyright terms: Public domain W3C validator