MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addsubd Structured version   Unicode version

Theorem addsubd 9422
Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subaddd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
addsubd  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  C
)  =  ( ( A  -  C )  +  B ) )

Proof of Theorem addsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subaddd.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 addsub 9306 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  -  C )  =  ( ( A  -  C )  +  B ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1184 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  C
)  =  ( ( A  -  C )  +  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725  (class class class)co 6073   CCcc 8978    + caddc 8983    - cmin 9281
This theorem is referenced by:  lesub2  9513  modadd1  11268  discr  11506  bcp1n  11597  bcpasc  11602  revccat  11788  crre  11909  isercoll2  12452  binomlem  12598  climcndslem1  12619  pythagtriplem14  13192  vdwlem6  13344  gsumccat  14777  itgcnlem  19671  dvcvx  19894  dvfsumlem1  19900  dvfsumlem2  19901  plymullem1  20123  aaliou3lem2  20250  abelthlem2  20338  tangtx  20403  loglesqr  20632  dcubic1  20675  quart1lem  20685  quartlem1  20687  basellem3  20855  basellem5  20857  chtub  20986  logfaclbnd  20996  bcp1ctr  21053  lgsquad2lem1  21132  selberglem1  21229  selberg3  21243  selbergr  21252  selberg3r  21253  pntlemf  21289  pntlemo  21291  ltesubnnd  24152  ballotlemfp1  24739  subfacp1lem6  24861  binomfallfaclem2  25346  brbtwn2  25809  colinearalglem1  25810  colinearalglem2  25811  jm2.24nn  26978  jm2.18  27013  jm2.25  27024
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-ltxr 9115  df-sub 9283
  Copyright terms: Public domain W3C validator