MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addsubd Unicode version

Theorem addsubd 9366
Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subaddd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
addsubd  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  C
)  =  ( ( A  -  C )  +  B ) )

Proof of Theorem addsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subaddd.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 addsub 9250 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  -  C )  =  ( ( A  -  C )  +  B ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1184 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  C
)  =  ( ( A  -  C )  +  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717  (class class class)co 6022   CCcc 8923    + caddc 8928    - cmin 9225
This theorem is referenced by:  lesub2  9457  modadd1  11207  discr  11445  bcp1n  11536  bcpasc  11541  revccat  11727  crre  11848  isercoll2  12391  binomlem  12537  climcndslem1  12558  pythagtriplem14  13131  vdwlem6  13283  gsumccat  14716  itgcnlem  19550  dvcvx  19773  dvfsumlem1  19779  dvfsumlem2  19780  plymullem1  20002  aaliou3lem2  20129  abelthlem2  20217  tangtx  20282  loglesqr  20511  dcubic1  20554  quart1lem  20564  quartlem1  20566  basellem3  20734  basellem5  20736  chtub  20865  logfaclbnd  20875  bcp1ctr  20932  lgsquad2lem1  21011  selberglem1  21108  selberg3  21122  selbergr  21131  selberg3r  21132  pntlemf  21168  pntlemo  21170  ltesubnnd  24002  ballotlemfp1  24530  subfacp1lem6  24652  brbtwn2  25560  colinearalglem1  25561  colinearalglem2  25562  jm2.24nn  26717  jm2.18  26752  jm2.25  26763
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-riota 6487  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-ltxr 9060  df-sub 9227
  Copyright terms: Public domain W3C validator