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Theorem adjadd 23549
Description: The adjoint of the sum of two operators. Theorem 3.11(iii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjadd  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  ->  ( adjh `  ( S  +op  T ) )  =  ( ( adjh `  S )  +op  ( adjh `  T ) ) )

Proof of Theorem adjadd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmadjop 23344 . . 3  |-  ( S  e.  dom  adjh  ->  S : ~H --> ~H )
2 dmadjop 23344 . . 3  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  T : ~H --> ~H )
3 hoaddcl 23214 . . 3  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( S  +op  T
) : ~H --> ~H )
41, 2, 3syl2an 464 . 2  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  ->  ( S  +op  T ) : ~H --> ~H )
5 dmadjrn 23351 . . . 4  |-  ( S  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  S )  e.  dom  adjh )
6 dmadjop 23344 . . . 4  |-  ( (
adjh `  S )  e.  dom  adjh  ->  ( adjh `  S ) : ~H --> ~H )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( S  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  S ) : ~H --> ~H )
8 dmadjrn 23351 . . . 4  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T )  e.  dom  adjh )
9 dmadjop 23344 . . . 4  |-  ( (
adjh `  T )  e.  dom  adjh  ->  ( adjh `  T ) : ~H --> ~H )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T ) : ~H --> ~H )
11 hoaddcl 23214 . . 3  |-  ( ( ( adjh `  S
) : ~H --> ~H  /\  ( adjh `  T ) : ~H --> ~H )  -> 
( ( adjh `  S
)  +op  ( adjh `  T ) ) : ~H --> ~H )
127, 10, 11syl2an 464 . 2  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  ->  ( ( adjh `  S )  +op  ( adjh `  T ) ) : ~H --> ~H )
13 adj2 23390 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( adjh `  S ) `  y
) ) )
14133expb 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( S `  x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( (
adjh `  S ) `  y ) ) )
1514adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( S `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( adjh `  S ) `  y
) ) )
16 adj2 23390 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  y
) ) )
17163expb 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( (
adjh `  T ) `  y ) ) )
1817adantll 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( T `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  y
) ) )
1915, 18oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( S `
 x )  .ih  y )  +  ( ( T `  x
)  .ih  y )
)  =  ( ( x  .ih  ( (
adjh `  S ) `  y ) )  +  ( x  .ih  (
( adjh `  T ) `  y ) ) ) )
201ffvelrnda 5829 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  x  e.  ~H )  ->  ( S `  x
)  e.  ~H )
2120ad2ant2r 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( S `  x
)  e.  ~H )
222ffvelrnda 5829 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x
)  e.  ~H )
2322ad2ant2lr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( T `  x
)  e.  ~H )
24 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
y  e.  ~H )
25 ax-his2 22538 . . . . . 6  |-  ( ( ( S `  x
)  e.  ~H  /\  ( T `  x )  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( S `  x )  +h  ( T `  x )
)  .ih  y )  =  ( ( ( S `  x ) 
.ih  y )  +  ( ( T `  x )  .ih  y
) ) )
2621, 23, 24, 25syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( S `
 x )  +h  ( T `  x
) )  .ih  y
)  =  ( ( ( S `  x
)  .ih  y )  +  ( ( T `
 x )  .ih  y ) ) )
27 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  ->  x  e.  ~H )
28 adjcl 23388 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( adjh `  S
) `  y )  e.  ~H )
2928ad2ant2rl 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( adjh `  S
) `  y )  e.  ~H )
30 adjcl 23388 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( adjh `  T
) `  y )  e.  ~H )
3130ad2ant2l 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( adjh `  T
) `  y )  e.  ~H )
32 his7 22545 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( ( adjh `  S
) `  y )  e.  ~H  /\  ( (
adjh `  T ) `  y )  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  ( ( ( adjh `  S ) `  y
)  +h  ( (
adjh `  T ) `  y ) ) )  =  ( ( x 
.ih  ( ( adjh `  S ) `  y
) )  +  ( x  .ih  ( (
adjh `  T ) `  y ) ) ) )
3327, 29, 31, 32syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( x  .ih  (
( ( adjh `  S
) `  y )  +h  ( ( adjh `  T
) `  y )
) )  =  ( ( x  .ih  (
( adjh `  S ) `  y ) )  +  ( x  .ih  (
( adjh `  T ) `  y ) ) ) )
3419, 26, 333eqtr4rd 2447 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( x  .ih  (
( ( adjh `  S
) `  y )  +h  ( ( adjh `  T
) `  y )
) )  =  ( ( ( S `  x )  +h  ( T `  x )
)  .ih  y )
)
357, 10anim12i 550 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  ->  ( ( adjh `  S ) : ~H --> ~H  /\  ( adjh `  T
) : ~H --> ~H )
)
36 hosval 23196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( adjh `  S
) : ~H --> ~H  /\  ( adjh `  T ) : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( adjh `  S
)  +op  ( adjh `  T ) ) `  y )  =  ( ( ( adjh `  S
) `  y )  +h  ( ( adjh `  T
) `  y )
) )
37363expa 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( adjh `  S
) : ~H --> ~H  /\  ( adjh `  T ) : ~H --> ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( adjh `  S )  +op  ( adjh `  T ) ) `
 y )  =  ( ( ( adjh `  S ) `  y
)  +h  ( (
adjh `  T ) `  y ) ) )
3835, 37sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( ( adjh `  S
)  +op  ( adjh `  T ) ) `  y )  =  ( ( ( adjh `  S
) `  y )  +h  ( ( adjh `  T
) `  y )
) )
3938adantrl 697 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( adjh `  S )  +op  ( adjh `  T ) ) `
 y )  =  ( ( ( adjh `  S ) `  y
)  +h  ( (
adjh `  T ) `  y ) ) )
4039oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( x  .ih  (
( ( adjh `  S
)  +op  ( adjh `  T ) ) `  y ) )  =  ( x  .ih  (
( ( adjh `  S
) `  y )  +h  ( ( adjh `  T
) `  y )
) ) )
411, 2anim12i 550 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  ->  ( S : ~H
--> ~H  /\  T : ~H
--> ~H ) )
42 hosval 23196 . . . . . . . 8  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( S  +op  T ) `  x )  =  ( ( S `
 x )  +h  ( T `  x
) ) )
43423expa 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( S  +op  T
) `  x )  =  ( ( S `
 x )  +h  ( T `  x
) ) )
4441, 43sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  x  e. 
~H )  ->  (
( S  +op  T
) `  x )  =  ( ( S `
 x )  +h  ( T `  x
) ) )
4544adantrr 698 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( S  +op  T ) `  x )  =  ( ( S `
 x )  +h  ( T `  x
) ) )
4645oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( S 
+op  T ) `  x )  .ih  y
)  =  ( ( ( S `  x
)  +h  ( T `
 x ) ) 
.ih  y ) )
4734, 40, 463eqtr4rd 2447 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( S 
+op  T ) `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( (
adjh `  S )  +op  ( adjh `  T
) ) `  y
) ) )
4847ralrimivva 2758 . 2  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( ( S  +op  T ) `  x ) 
.ih  y )  =  ( x  .ih  (
( ( adjh `  S
)  +op  ( adjh `  T ) ) `  y ) ) )
49 adjeq 23391 . 2  |-  ( ( ( S  +op  T
) : ~H --> ~H  /\  ( ( adjh `  S
)  +op  ( adjh `  T ) ) : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( ( S  +op  T ) `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( ( ( adjh `  S
)  +op  ( adjh `  T ) ) `  y ) ) )  ->  ( adjh `  ( S  +op  T ) )  =  ( ( adjh `  S )  +op  ( adjh `  T ) ) )
504, 12, 48, 49syl3anc 1184 1  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  ->  ( adjh `  ( S  +op  T ) )  =  ( ( adjh `  S )  +op  ( adjh `  T ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   dom cdm 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    + caddc 8949   ~Hchil 22375    +h cva 22376    .ih csp 22378    +op chos 22394   adjhcado 22411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-hilex 22455  ax-hfvadd 22456  ax-hvcom 22457  ax-hvass 22458  ax-hv0cl 22459  ax-hvaddid 22460  ax-hfvmul 22461  ax-hvmulid 22462  ax-hvdistr2 22465  ax-hvmul0 22466  ax-hfi 22534  ax-his1 22537  ax-his2 22538  ax-his3 22539  ax-his4 22540
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-2 10014  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-hvsub 22427  df-hosum 23186  df-adjh 23305
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