HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjcoi Unicode version

Theorem adjcoi 23556
Description: The adjoint of a composition of bounded linear operators. Theorem 3.11(viii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1  |-  S  e.  BndLinOp
nmoptri.2  |-  T  e.  BndLinOp
Assertion
Ref Expression
adjcoi  |-  ( adjh `  ( S  o.  T
) )  =  ( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) )

Proof of Theorem adjcoi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoptri.2 . . . . . . . 8  |-  T  e.  BndLinOp
2 adjbdln 23539 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( adjh `  T
)  e.  BndLinOp )
3 bdopf 23318 . . . . . . . 8  |-  ( (
adjh `  T )  e. 
BndLinOp  ->  ( adjh `  T
) : ~H --> ~H )
41, 2, 3mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( adjh `  T ) : ~H --> ~H
5 nmoptri.1 . . . . . . . 8  |-  S  e.  BndLinOp
6 adjbdln 23539 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  ( adjh `  S
)  e.  BndLinOp )
7 bdopf 23318 . . . . . . . 8  |-  ( (
adjh `  S )  e. 
BndLinOp  ->  ( adjh `  S
) : ~H --> ~H )
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( adjh `  S ) : ~H --> ~H
94, 8hocoi 23220 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) ) `  y )  =  ( ( adjh `  T
) `  ( ( adjh `  S ) `  y ) ) )
109oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
x  .ih  ( (
( adjh `  T )  o.  ( adjh `  S
) ) `  y
) )  =  ( x  .ih  ( (
adjh `  T ) `  ( ( adjh `  S
) `  y )
) ) )
1110adantl 453 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  (
( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) ) `  y ) )  =  ( x  .ih  (
( adjh `  T ) `  ( ( adjh `  S
) `  y )
) ) )
12 bdopf 23318 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S : ~H --> ~H )
135, 12ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  S : ~H
--> ~H
14 bdopf 23318 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
151, 14ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  T : ~H
--> ~H
1613, 15hocoi 23220 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( S  o.  T
) `  x )  =  ( S `  ( T `  x ) ) )
1716oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( S  o.  T ) `  x
)  .ih  y )  =  ( ( S `
 ( T `  x ) )  .ih  y ) )
1817adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( S  o.  T ) `  x )  .ih  y
)  =  ( ( S `  ( T `
 x ) ) 
.ih  y ) )
1915ffvelrni 5828 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
20 bdopadj 23538 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S  e.  dom  adjh )
215, 20ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  S  e. 
dom  adjh
22 adj2 23390 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  ( T `  x
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S `  ( T `  x ) )  .ih  y )  =  ( ( T `
 x )  .ih  ( ( adjh `  S
) `  y )
) )
2321, 22mp3an1 1266 . . . . . 6  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S `  ( T `  x ) )  .ih  y )  =  ( ( T `
 x )  .ih  ( ( adjh `  S
) `  y )
) )
2419, 23sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S `  ( T `  x ) )  .ih  y )  =  ( ( T `
 x )  .ih  ( ( adjh `  S
) `  y )
) )
258ffvelrni 5828 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( adjh `  S ) `  y )  e.  ~H )
26 bdopadj 23538 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T  e.  dom  adjh )
271, 26ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  T  e. 
dom  adjh
28 adj2 23390 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  x  e.  ~H  /\  ( ( adjh `  S
) `  y )  e.  ~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( ( adjh `  S ) `  y ) )  =  ( x  .ih  (
( adjh `  T ) `  ( ( adjh `  S
) `  y )
) ) )
2927, 28mp3an1 1266 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( ( adjh `  S
) `  y )  e.  ~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( ( adjh `  S ) `  y ) )  =  ( x  .ih  (
( adjh `  T ) `  ( ( adjh `  S
) `  y )
) ) )
3025, 29sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  x )  .ih  (
( adjh `  S ) `  y ) )  =  ( x  .ih  (
( adjh `  T ) `  ( ( adjh `  S
) `  y )
) ) )
3118, 24, 303eqtrd 2440 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( S  o.  T ) `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  (
( adjh `  S ) `  y ) ) ) )
325, 1bdopcoi 23554 . . . . . 6  |-  ( S  o.  T )  e.  BndLinOp
33 bdopadj 23538 . . . . . 6  |-  ( ( S  o.  T )  e.  BndLinOp  ->  ( S  o.  T )  e.  dom  adjh )
3432, 33ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( S  o.  T )  e. 
dom  adjh
35 adj2 23390 . . . . 5  |-  ( ( ( S  o.  T
)  e.  dom  adjh  /\  x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( S  o.  T ) `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( adjh `  ( S  o.  T
) ) `  y
) ) )
3634, 35mp3an1 1266 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( S  o.  T ) `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( adjh `  ( S  o.  T
) ) `  y
) ) )
3711, 31, 363eqtr2rd 2443 . . 3  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  (
( adjh `  ( S  o.  T ) ) `  y ) )  =  ( x  .ih  (
( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) ) `  y ) ) )
3837rgen2a 2732 . 2  |-  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( ( adjh `  ( S  o.  T )
) `  y )
)  =  ( x 
.ih  ( ( (
adjh `  T )  o.  ( adjh `  S
) ) `  y
) )
39 adjbdln 23539 . . . 4  |-  ( ( S  o.  T )  e.  BndLinOp  ->  ( adjh `  ( S  o.  T )
)  e.  BndLinOp )
40 bdopf 23318 . . . 4  |-  ( (
adjh `  ( S  o.  T ) )  e.  BndLinOp 
->  ( adjh `  ( S  o.  T )
) : ~H --> ~H )
4132, 39, 40mp2b 10 . . 3  |-  ( adjh `  ( S  o.  T
) ) : ~H --> ~H
424, 8hocofi 23222 . . 3  |-  ( (
adjh `  T )  o.  ( adjh `  S
) ) : ~H --> ~H
43 hoeq2 23287 . . 3  |-  ( ( ( adjh `  ( S  o.  T )
) : ~H --> ~H  /\  ( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) ) : ~H --> ~H )  -> 
( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( (
adjh `  ( S  o.  T ) ) `  y ) )  =  ( x  .ih  (
( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) ) `  y ) )  <->  ( adjh `  ( S  o.  T
) )  =  ( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) ) ) )
4441, 42, 43mp2an 654 . 2  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( ( adjh `  ( S  o.  T )
) `  y )
)  =  ( x 
.ih  ( ( (
adjh `  T )  o.  ( adjh `  S
) ) `  y
) )  <->  ( adjh `  ( S  o.  T
) )  =  ( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) ) )
4538, 44mpbi 200 1  |-  ( adjh `  ( S  o.  T
) )  =  ( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   dom cdm 4837    o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ~Hchil 22375    .ih csp 22378   BndLinOpcbo 22404   adjhcado 22411
This theorem is referenced by:  pjcmul1i  23657
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026  ax-hilex 22455  ax-hfvadd 22456  ax-hvcom 22457  ax-hvass 22458  ax-hv0cl 22459  ax-hvaddid 22460  ax-hfvmul 22461  ax-hvmulid 22462  ax-hvmulass 22463  ax-hvdistr1 22464  ax-hvdistr2 22465  ax-hvmul0 22466  ax-hfi 22534  ax-his1 22537  ax-his2 22538  ax-his3 22539  ax-his4 22540  ax-hcompl 22657
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-lm 17247  df-t1 17332  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cfil 19161  df-cau 19162  df-cmet 19163  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735  df-ablo 21823  df-subgo 21843  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-vs 22031  df-nmcv 22032  df-ims 22033  df-dip 22150  df-ssp 22174  df-lno 22198  df-nmoo 22199  df-0o 22201  df-ph 22267  df-cbn 22318  df-hnorm 22424  df-hba 22425  df-hvsub 22427  df-hlim 22428  df-hcau 22429  df-sh 22662  df-ch 22677  df-oc 22707  df-ch0 22708  df-shs 22763  df-pjh 22850  df-h0op 23204  df-nmop 23295  df-cnop 23296  df-lnop 23297  df-bdop 23298  df-unop 23299  df-hmop 23300  df-nmfn 23301  df-nlfn 23302  df-cnfn 23303  df-lnfn 23304  df-adjh 23305
  Copyright terms: Public domain W3C validator