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Theorem adjlnop 23582
Description: The adjoint of an operator is linear. Proposition 1 of [AkhiezerGlazman] p. 80. (Contributed by NM, 17-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjlnop  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T )  e.  LinOp )

Proof of Theorem adjlnop
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmadjrn 23391 . . 3  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T )  e.  dom  adjh )
2 dmadjop 23384 . . 3  |-  ( (
adjh `  T )  e.  dom  adjh  ->  ( adjh `  T ) : ~H --> ~H )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T ) : ~H --> ~H )
4 simp2 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  ->  w  e.  ~H )
5 adjcl 23428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( adjh `  T
) `  y )  e.  ~H )
6 hvmulcl 22509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( adjh `  T
) `  y )  e.  ~H )  ->  (
x  .h  ( (
adjh `  T ) `  y ) )  e. 
~H )
75, 6sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T  e.  dom  adjh  /\  y  e.  ~H ) )  ->  (
x  .h  ( (
adjh `  T ) `  y ) )  e. 
~H )
87an12s 777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( ( adjh `  T
) `  y )
)  e.  ~H )
98adantrr 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  e. 
~H )
1093adant2 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  e. 
~H )
11 adjcl 23428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( adjh `  T
) `  z )  e.  ~H )
1211adantrl 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( adjh `  T
) `  z )  e.  ~H )
13123adant2 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( adjh `  T
) `  z )  e.  ~H )
14 his7 22585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  ( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  e. 
~H  /\  ( ( adjh `  T ) `  z )  e.  ~H )  ->  ( w  .ih  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T
) `  y )
)  +h  ( (
adjh `  T ) `  z ) ) )  =  ( ( w 
.ih  ( x  .h  ( ( adjh `  T
) `  y )
) )  +  ( w  .ih  ( (
adjh `  T ) `  z ) ) ) )
154, 10, 13, 14syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( w  .ih  (
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) )  =  ( ( w  .ih  (
x  .h  ( (
adjh `  T ) `  y ) ) )  +  ( w  .ih  ( ( adjh `  T
) `  z )
) ) )
16 adj2 23430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  w )  .ih  y
)  =  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  y
) ) )
17163adant3l 1180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  w )  .ih  y )  =  ( w  .ih  ( (
adjh `  T ) `  y ) ) )
1817oveq2d 6090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
* `  x )  x.  ( ( T `  w )  .ih  y
) )  =  ( ( * `  x
)  x.  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  y
) ) ) )
19 simp3l 985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  x  e.  CC )
20 dmadjop 23384 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  T : ~H --> ~H )
2120ffvelrnda 5863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  w
)  e.  ~H )
22213adant3 977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( T `  w )  e.  ~H )
23 simp3r 986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  y  e.  ~H )
24 his5 22581 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  w )  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( T `  w
)  .ih  ( x  .h  y ) )  =  ( ( * `  x )  x.  (
( T `  w
)  .ih  y )
) )
2519, 22, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  w )  .ih  ( x  .h  y
) )  =  ( ( * `  x
)  x.  ( ( T `  w ) 
.ih  y ) ) )
26 simp2 958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  w  e.  ~H )
275adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( adjh `  T ) `  y )  e.  ~H )
28273adant2 976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( adjh `  T ) `  y )  e.  ~H )
29 his5 22581 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H  /\  (
( adjh `  T ) `  y )  e.  ~H )  ->  ( w  .ih  ( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) ) )  =  ( ( * `
 x )  x.  ( w  .ih  (
( adjh `  T ) `  y ) ) ) )
3019, 26, 28, 29syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( w  .ih  ( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) ) )  =  ( ( * `
 x )  x.  ( w  .ih  (
( adjh `  T ) `  y ) ) ) )
3118, 25, 303eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  w )  .ih  ( x  .h  y
) )  =  ( w  .ih  ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) ) ) )
32313adant3r 1181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( T `  w )  .ih  (
x  .h  y ) )  =  ( w 
.ih  ( x  .h  ( ( adjh `  T
) `  y )
) ) )
33 adj2 23430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `  w )  .ih  z
)  =  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  z
) ) )
34333adant3l 1180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( T `  w )  .ih  z
)  =  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  z
) ) )
3532, 34oveq12d 6092 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( T `
 w )  .ih  ( x  .h  y
) )  +  ( ( T `  w
)  .ih  z )
)  =  ( ( w  .ih  ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) ) )  +  ( w  .ih  (
( adjh `  T ) `  z ) ) ) )
36213adant3 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( T `  w
)  e.  ~H )
37 hvmulcl 22509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
3837adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y )  e.  ~H )
39383ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( x  .h  y
)  e.  ~H )
40 simp3r 986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
z  e.  ~H )
41 his7 22585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T `  w
)  e.  ~H  /\  ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `  w )  .ih  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( ( T `  w
)  .ih  ( x  .h  y ) )  +  ( ( T `  w )  .ih  z
) ) )
4236, 39, 40, 41syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( T `  w )  .ih  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( ( T `  w
)  .ih  ( x  .h  y ) )  +  ( ( T `  w )  .ih  z
) ) )
43 hvaddcl 22508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )
4437, 43sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
45 adj2 23430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )  ->  ( ( T `  w )  .ih  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) ) )
4644, 45syl3an3 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( T `  w )  .ih  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) ) )
4742, 46eqtr3d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( T `
 w )  .ih  ( x  .h  y
) )  +  ( ( T `  w
)  .ih  z )
)  =  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) ) )
4815, 35, 473eqtr2rd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( w  .ih  (
( adjh `  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) ) )  =  ( w  .ih  (
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) ) )
49483com23 1159 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  (
w  .ih  ( ( adjh `  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) ) )  =  ( w  .ih  (
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) ) )
50493expa 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( w  .ih  (
( adjh `  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) ) )  =  ( w  .ih  (
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) ) )
5150ralrimiva 2782 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  ->  A. w  e.  ~H  ( w  .ih  ( (
adjh `  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) ) )  =  ( w  .ih  (
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) ) )
52 adjcl 23428 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )  ->  ( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  e.  ~H )
5344, 52sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  e.  ~H )
54 hvaddcl 22508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  e. 
~H  /\  ( ( adjh `  T ) `  z )  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) )  e. 
~H )
558, 11, 54syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  ( T  e.  dom  adjh  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( x  .h  ( ( adjh `  T
) `  y )
)  +h  ( (
adjh `  T ) `  z ) )  e. 
~H )
5655anandis 804 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( x  .h  ( ( adjh `  T
) `  y )
)  +h  ( (
adjh `  T ) `  z ) )  e. 
~H )
57 hial2eq2 22602 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  e.  ~H  /\  (
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
)  e.  ~H )  ->  ( A. w  e. 
~H  ( w  .ih  ( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) ) )  =  ( w 
.ih  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) )  <-> 
( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) ) )
5853, 56, 57syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( A. w  e. 
~H  ( w  .ih  ( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) ) )  =  ( w 
.ih  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) )  <-> 
( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) ) )
5951, 58mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) )
6059exp32 589 . . . 4  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( z  e.  ~H  ->  ( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) ) ) )
6160ralrimdv 2788 . . 3  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  A. z  e.  ~H  ( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) ) )
6261ralrimivv 2790 . 2  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  A. z  e.  ~H  ( ( adjh `  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( (
adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) )
63 ellnop 23354 . 2  |-  ( (
adjh `  T )  e.  LinOp 
<->  ( ( adjh `  T
) : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  A. z  e.  ~H  ( ( adjh `  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( (
adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) ) )
643, 62, 63sylanbrc 646 1  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T )  e.  LinOp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2698   dom cdm 4871   -->wf 5443   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   CCcc 8981    + caddc 8986    x. cmul 8988   *ccj 11894   ~Hchil 22415    +h cva 22416    .h csm 22417    .ih csp 22418   LinOpclo 22443   adjhcado 22451
This theorem is referenced by:  adjsslnop  23583
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060  ax-hilex 22495  ax-hfvadd 22496  ax-hvcom 22497  ax-hvass 22498  ax-hv0cl 22499  ax-hvaddid 22500  ax-hfvmul 22501  ax-hvmulid 22502  ax-hvdistr2 22505  ax-hvmul0 22506  ax-hfi 22574  ax-his1 22577  ax-his2 22578  ax-his3 22579  ax-his4 22580
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-riota 6542  df-er 6898  df-map 7013  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-div 9671  df-2 10051  df-cj 11897  df-re 11898  df-im 11899  df-hvsub 22467  df-lnop 23337  df-adjh 23345
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