HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjlnop Unicode version

Theorem adjlnop 23437
Description: The adjoint of an operator is linear. Proposition 1 of [AkhiezerGlazman] p. 80. (Contributed by NM, 17-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjlnop  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T )  e.  LinOp )

Proof of Theorem adjlnop
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmadjrn 23246 . . 3  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T )  e.  dom  adjh )
2 dmadjop 23239 . . 3  |-  ( (
adjh `  T )  e.  dom  adjh  ->  ( adjh `  T ) : ~H --> ~H )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T ) : ~H --> ~H )
4 simp2 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  ->  w  e.  ~H )
5 adjcl 23283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( adjh `  T
) `  y )  e.  ~H )
6 hvmulcl 22364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( adjh `  T
) `  y )  e.  ~H )  ->  (
x  .h  ( (
adjh `  T ) `  y ) )  e. 
~H )
75, 6sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T  e.  dom  adjh  /\  y  e.  ~H ) )  ->  (
x  .h  ( (
adjh `  T ) `  y ) )  e. 
~H )
87an12s 777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( ( adjh `  T
) `  y )
)  e.  ~H )
98adantrr 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  e. 
~H )
1093adant2 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  e. 
~H )
11 adjcl 23283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( adjh `  T
) `  z )  e.  ~H )
1211adantrl 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( adjh `  T
) `  z )  e.  ~H )
13123adant2 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( adjh `  T
) `  z )  e.  ~H )
14 his7 22440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  ( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  e. 
~H  /\  ( ( adjh `  T ) `  z )  e.  ~H )  ->  ( w  .ih  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T
) `  y )
)  +h  ( (
adjh `  T ) `  z ) ) )  =  ( ( w 
.ih  ( x  .h  ( ( adjh `  T
) `  y )
) )  +  ( w  .ih  ( (
adjh `  T ) `  z ) ) ) )
154, 10, 13, 14syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( w  .ih  (
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) )  =  ( ( w  .ih  (
x  .h  ( (
adjh `  T ) `  y ) ) )  +  ( w  .ih  ( ( adjh `  T
) `  z )
) ) )
16 adj2 23285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  w )  .ih  y
)  =  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  y
) ) )
17163adant3l 1180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  w )  .ih  y )  =  ( w  .ih  ( (
adjh `  T ) `  y ) ) )
1817oveq2d 6036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
* `  x )  x.  ( ( T `  w )  .ih  y
) )  =  ( ( * `  x
)  x.  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  y
) ) ) )
19 simp3l 985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  x  e.  CC )
20 dmadjop 23239 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  T : ~H --> ~H )
2120ffvelrnda 5809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  w
)  e.  ~H )
22213adant3 977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( T `  w )  e.  ~H )
23 simp3r 986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  y  e.  ~H )
24 his5 22436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  w )  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( T `  w
)  .ih  ( x  .h  y ) )  =  ( ( * `  x )  x.  (
( T `  w
)  .ih  y )
) )
2519, 22, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  w )  .ih  ( x  .h  y
) )  =  ( ( * `  x
)  x.  ( ( T `  w ) 
.ih  y ) ) )
26 simp2 958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  w  e.  ~H )
275adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( adjh `  T ) `  y )  e.  ~H )
28273adant2 976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( adjh `  T ) `  y )  e.  ~H )
29 his5 22436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H  /\  (
( adjh `  T ) `  y )  e.  ~H )  ->  ( w  .ih  ( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) ) )  =  ( ( * `
 x )  x.  ( w  .ih  (
( adjh `  T ) `  y ) ) ) )
3019, 26, 28, 29syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( w  .ih  ( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) ) )  =  ( ( * `
 x )  x.  ( w  .ih  (
( adjh `  T ) `  y ) ) ) )
3118, 25, 303eqtr4d 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  w )  .ih  ( x  .h  y
) )  =  ( w  .ih  ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) ) ) )
32313adant3r 1181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( T `  w )  .ih  (
x  .h  y ) )  =  ( w 
.ih  ( x  .h  ( ( adjh `  T
) `  y )
) ) )
33 adj2 23285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `  w )  .ih  z
)  =  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  z
) ) )
34333adant3l 1180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( T `  w )  .ih  z
)  =  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  z
) ) )
3532, 34oveq12d 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( T `
 w )  .ih  ( x  .h  y
) )  +  ( ( T `  w
)  .ih  z )
)  =  ( ( w  .ih  ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) ) )  +  ( w  .ih  (
( adjh `  T ) `  z ) ) ) )
36213adant3 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( T `  w
)  e.  ~H )
37 hvmulcl 22364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
3837adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y )  e.  ~H )
39383ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( x  .h  y
)  e.  ~H )
40 simp3r 986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
z  e.  ~H )
41 his7 22440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T `  w
)  e.  ~H  /\  ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `  w )  .ih  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( ( T `  w
)  .ih  ( x  .h  y ) )  +  ( ( T `  w )  .ih  z
) ) )
4236, 39, 40, 41syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( T `  w )  .ih  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( ( T `  w
)  .ih  ( x  .h  y ) )  +  ( ( T `  w )  .ih  z
) ) )
43 hvaddcl 22363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )
4437, 43sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
45 adj2 23285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )  ->  ( ( T `  w )  .ih  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) ) )
4644, 45syl3an3 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( T `  w )  .ih  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) ) )
4742, 46eqtr3d 2421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( T `
 w )  .ih  ( x  .h  y
) )  +  ( ( T `  w
)  .ih  z )
)  =  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) ) )
4815, 35, 473eqtr2rd 2426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( w  .ih  (
( adjh `  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) ) )  =  ( w  .ih  (
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) ) )
49483com23 1159 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  (
w  .ih  ( ( adjh `  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) ) )  =  ( w  .ih  (
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) ) )
50493expa 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( w  .ih  (
( adjh `  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) ) )  =  ( w  .ih  (
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) ) )
5150ralrimiva 2732 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  ->  A. w  e.  ~H  ( w  .ih  ( (
adjh `  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) ) )  =  ( w  .ih  (
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) ) )
52 adjcl 23283 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )  ->  ( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  e.  ~H )
5344, 52sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  e.  ~H )
54 hvaddcl 22363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  e. 
~H  /\  ( ( adjh `  T ) `  z )  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) )  e. 
~H )
558, 11, 54syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  ( T  e.  dom  adjh  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( x  .h  ( ( adjh `  T
) `  y )
)  +h  ( (
adjh `  T ) `  z ) )  e. 
~H )
5655anandis 804 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( x  .h  ( ( adjh `  T
) `  y )
)  +h  ( (
adjh `  T ) `  z ) )  e. 
~H )
57 hial2eq2 22457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  e.  ~H  /\  (
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
)  e.  ~H )  ->  ( A. w  e. 
~H  ( w  .ih  ( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) ) )  =  ( w 
.ih  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) )  <-> 
( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) ) )
5853, 56, 57syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( A. w  e. 
~H  ( w  .ih  ( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) ) )  =  ( w 
.ih  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) )  <-> 
( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) ) )
5951, 58mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) )
6059exp32 589 . . . 4  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( z  e.  ~H  ->  ( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) ) ) )
6160ralrimdv 2738 . . 3  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  A. z  e.  ~H  ( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) ) )
6261ralrimivv 2740 . 2  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  A. z  e.  ~H  ( ( adjh `  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( (
adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) )
63 ellnop 23209 . 2  |-  ( (
adjh `  T )  e.  LinOp 
<->  ( ( adjh `  T
) : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  A. z  e.  ~H  ( ( adjh `  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( (
adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) ) )
643, 62, 63sylanbrc 646 1  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T )  e.  LinOp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   dom cdm 4818   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921    + caddc 8926    x. cmul 8928   *ccj 11828   ~Hchil 22270    +h cva 22271    .h csm 22272    .ih csp 22273   LinOpclo 22298   adjhcado 22306
This theorem is referenced by:  adjsslnop  23438
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-hilex 22350  ax-hfvadd 22351  ax-hvcom 22352  ax-hvass 22353  ax-hv0cl 22354  ax-hvaddid 22355  ax-hfvmul 22356  ax-hvmulid 22357  ax-hvdistr2 22360  ax-hvmul0 22361  ax-hfi 22429  ax-his1 22432  ax-his2 22433  ax-his3 22434  ax-his4 22435
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-2 9990  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-hvsub 22322  df-lnop 23192  df-adjh 23200
  Copyright terms: Public domain W3C validator