Theorem adjmo 9675

Description: Every Hilbert space operator has at most one adjoint.

Assertion

Ref	Expression
adjmo	|- E*u(u:H~-->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih (T` y)) = ((u` x) .ih y))

Distinct variable group:   x,y,u,T

Proof of Theorem adjmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoeq1t 9673	. . . . . 6 |- ((u:H~-->H~ /\ v:H~-->H~) -> (A.x e. H~ A.y e. H~ ((u` x) .ih y) = ((v` x) .ih y) <-> u = v))
2	1	biimpa 416	. . . . 5 |- (((u:H~-->H~ /\ v:H~-->H~) /\ A.x e. H~ A.y e. H~ ((u` x) .ih y) = ((v` x) .ih y)) -> u = v)
3		r19.26-2 1743	. . . . . 6 |- (A.x e. H~ A.y e. H~ ((x .ih (T` y)) = ((u` x) .ih y) /\ (x .ih (T` y)) = ((v` x) .ih y)) <-> (A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih (T` y)) = ((u` x) .ih y) /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih (T` y)) = ((v` x) .ih y)))
4		eqtr2t 1485	. . . . . . . 8 |- (((x .ih (T` y)) = ((u` x) .ih y) /\ (x .ih (T` y)) = ((v` x) .ih y)) -> ((u` x) .ih y) = ((v` x) .ih y))
5	4	r19.20si 1698	. . . . . . 7 |- (A.y e. H~ ((x .ih (T` y)) = ((u` x) .ih y) /\ (x .ih (T` y)) = ((v` x) .ih y)) -> A.y e. H~ ((u` x) .ih y) = ((v` x) .ih y))
6	5	r19.20si 1698	. . . . . 6 |- (A.x e. H~ A.y e. H~ ((x .ih (T` y)) = ((u` x) .ih y) /\ (x .ih (T` y)) = ((v` x) .ih y)) -> A.x e. H~ A.y e. H~ ((u` x) .ih y) = ((v` x) .ih y))
7	3, 6	sylbir 201	. . . . 5 |- ((A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih (T` y)) = ((u` x) .ih y) /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih (T` y)) = ((v` x) .ih y)) -> A.x e. H~ A.y e. H~ ((u` x) .ih y) = ((v` x) .ih y))
8	2, 7	sylan2 451	. . . 4 |- (((u:H~-->H~ /\ v:H~-->H~) /\ (A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih (T` y)) = ((u` x) .ih y) /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih (T` y)) = ((v` x) .ih y))) -> u = v)
9	8	an4s 507	. . 3 |- (((u:H~-->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih (T` y)) = ((u` x) .ih y)) /\ (v:H~-->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih (T` y)) = ((v` x) .ih y))) -> u = v)
10	9	gen2 980	. 2 |- A.uA.v(((u:H~-->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih (T` y)) = ((u` x) .ih y)) /\ (v:H~-->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih (T` y)) = ((v` x) .ih y))) -> u = v)
11		feq1 3606	. . . 4 |- (u = v -> (u:H~-->H~ <-> v:H~-->H~))
12		fveq1 3708	. . . . . . 7 |- (u = v -> (u` x) = (v` x))
13	12	opreq1d 3960	. . . . . 6 |- (u = v -> ((u` x) .ih y) = ((v` x) .ih y))
14	13	eqeq2d 1478	. . . . 5 |- (u = v -> ((x .ih (T` y)) = ((u` x) .ih y) <-> (x .ih (T` y)) = ((v` x) .ih y)))
15	14	2ralbidv 1672	. . . 4 |- (u = v -> (A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih (T` y)) = ((u` x) .ih y) <-> A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih (T` y)) = ((v` x) .ih y)))
16	11, 15	anbi12d 626	. . 3 |- (u = v -> ((u:H~-->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih (T` y)) = ((u` x) .ih y)) <-> (v:H~-->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih (T` y)) = ((v` x) .ih y))))
17	16	mo4 1396	. 2 |- (E*u(u:H~-->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih (T` y)) = ((u` x) .ih y)) <-> A.uA.v(((u:H~-->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih (T` y)) = ((u` x) .ih y)) /\ (v:H~-->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih (T` y)) = ((v` x) .ih y))) -> u = v))
18	10, 17	mpbir 190	1 |- E*u(u:H~-->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih (T` y)) = ((u` x) .ih y))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953  E*wmo 1374  A.wral 1637  -->wf 3168  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  H~chil 8727   .ih csp 8732

This theorem is referenced by:  funadj 9730  cnlnadjeu 9925  adjbdlnt 9931

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-hvsub 8779

Copyright terms: Public domain