Theorem adjmult 9939

Description: The adjoint of the scalar product of an operator. Theorem 3.11(ii) of [Beran] p. 106.

Assertion

Ref	Expression
adjmult	|- ((A e. CC /\ T e. dom adjh) -> (adjh` (A .op T)) = ((*` A) .op (adjh` T)))

Proof of Theorem adjmult

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adjeqt 9775	. 2 |- (((A .op T):H~-->H~ /\ ((*` A) .op (adjh` T)):H~-->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (((A .op T)` x) .ih y) = (x .ih (((*` A) .op (adjh` T))` y))) -> (adjh` (A .op T)) = ((*` A) .op (adjh` T)))
2		homulclt 9602	. . 3 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~) -> (A .op T):H~-->H~)
3		dmadjopt 9737	. . 3 |- (T e. dom adjh -> T:H~-->H~)
4	2, 3	sylan2 451	. 2 |- ((A e. CC /\ T e. dom adjh) -> (A .op T):H~-->H~)
5		homulclt 9602	. . 3 |- (((*` A) e. CC /\ (adjh` T):H~-->H~) -> ((*` A) .op (adjh` T)):H~-->H~)
6		cjclt 6696	. . 3 |- (A e. CC -> (*` A) e. CC)
7		dmadjrnt 9738	. . . 4 |- (T e. dom adjh -> (adjh` T) e. dom adjh)
8		dmadjopt 9737	. . . 4 |- ((adjh` T) e. dom adjh -> (adjh` T):H~-->H~)
9	7, 8	syl 10	. . 3 |- (T e. dom adjh -> (adjh` T):H~-->H~)
10	5, 6, 9	syl2an 454	. 2 |- ((A e. CC /\ T e. dom adjh) -> ((*` A) .op (adjh` T)):H~-->H~)
11		adj2t 9774	. . . . . . . . 9 |- ((T e. dom adjh /\ x e. H~ /\ y e. H~) -> ((T` x) .ih y) = (x .ih ((adjh` T)` y)))
12	11	3expb 832	. . . . . . . 8 |- ((T e. dom adjh /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((T` x) .ih y) = (x .ih ((adjh` T)` y)))
13	12	adantll 392	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((T` x) .ih y) = (x .ih ((adjh` T)` y)))
14	13	opreq2d 3961	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (A x. ((T` x) .ih y)) = (A x. (x .ih ((adjh` T)` y))))
15		ax-his3 8872	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ (T` x) e. H~ /\ y e. H~) -> ((A .h (T` x)) .ih y) = (A x. ((T` x) .ih y)))
16		ffvelrn 3799	. . . . . . . . . . 11 |- ((T:H~-->H~ /\ x e. H~) -> (T` x) e. H~)
17	16, 3	sylan 448	. . . . . . . . . 10 |- ((T e. dom adjh /\ x e. H~) -> (T` x) e. H~)
18	15, 17	syl3an2 858	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ (T e. dom adjh /\ x e. H~) /\ y e. H~) -> ((A .h (T` x)) .ih y) = (A x. ((T` x) .ih y)))
19	18	3exp 830	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> ((T e. dom adjh /\ x e. H~) -> (y e. H~ -> ((A .h (T` x)) .ih y) = (A x. ((T` x) .ih y)))))
20	19	exp3a 375	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (T e. dom adjh -> (x e. H~ -> (y e. H~ -> ((A .h (T` x)) .ih y) = (A x. ((T` x) .ih y))))))
21	20	imp43 370	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((A .h (T` x)) .ih y) = (A x. ((T` x) .ih y)))
22		his52t 8875	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ x e. H~ /\ ((adjh` T)` y) e. H~) -> (x .ih ((*` A) .h ((adjh` T)` y))) = (A x. (x .ih ((adjh` T)` y))))
23		simpll 412	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> A e. CC)
24		simprl 414	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> x e. H~)
25		adjclt 9772	. . . . . . . 8 |- ((T e. dom adjh /\ y e. H~) -> ((adjh` T)` y) e. H~)
26	25	ad2ant2l 408	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((adjh` T)` y) e. H~)
27	22, 23, 24, 26	syl3anc 856	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (x .ih ((*` A) .h ((adjh` T)` y))) = (A x. (x .ih ((adjh` T)` y))))
28	14, 21, 27	3eqtr4d 1509	. . . . 5 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((A .h (T` x)) .ih y) = (x .ih ((*` A) .h ((adjh` T)` y))))
29		homvalt 9435	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ x e. H~) -> ((A .op T)` x) = (A .h (T` x)))
30	29, 3	syl3an2 858	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ T e. dom adjh /\ x e. H~) -> ((A .op T)` x) = (A .h (T` x)))
31	30	3expa 831	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ x e. H~) -> ((A .op T)` x) = (A .h (T` x)))
32	31	adantrr 395	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((A .op T)` x) = (A .h (T` x)))
33	32	opreq1d 3960	. . . . 5 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (((A .op T)` x) .ih y) = ((A .h (T` x)) .ih y))
34		homvalt 9435	. . . . . . . . 9 |- (((*` A) e. CC /\ (adjh` T):H~-->H~ /\ y e. H~) -> (((*` A) .op (adjh` T))` y) = ((*` A) .h ((adjh` T)` y)))
35		id 59	. . . . . . . . 9 |- (y e. H~ -> y e. H~)
36	34, 6, 9, 35	syl3an 866	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ T e. dom adjh /\ y e. H~) -> (((*` A) .op (adjh` T))` y) = ((*` A) .h ((adjh` T)` y)))
37	36	3expa 831	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ y e. H~) -> (((*` A) .op (adjh` T))` y) = ((*` A) .h ((adjh` T)` y)))
38	37	adantrl 394	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (((*` A) .op (adjh` T))` y) = ((*` A) .h ((adjh` T)` y)))
39	38	opreq2d 3961	. . . . 5 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (x .ih (((*` A) .op (adjh` T))` y)) = (x .ih ((*` A) .h ((adjh` T)` y))))
40	28, 33, 39	3eqtr4d 1509	. . . 4 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (((A .op T)` x) .ih y) = (x .ih (((*` A) .op (adjh` T))` y)))
41	40	ex 373	. . 3 |- ((A e. CC /\ T e. dom adjh) -> ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((A .op T)` x) .ih y) = (x .ih (((*` A) .op (adjh` T))` y))))
42	41	r19.21aivv 1712	. 2 |- ((A e. CC /\ T e. dom adjh) -> A.x e. H~ A.y e. H~ (((A .op T)` x) .ih y) = (x .ih (((*` A) .op (adjh` T))` y)))
43	1, 4, 10, 42	syl3anc 856	1 |- ((A e. CC /\ T e. dom adjh) -> (adjh` (A .op T)) = ((*` A) .op (adjh` T)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  dom cdm 3160  -->wf 3168  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204   x. cmul 5211  *ccj 6680  H~chil 8727   .h csm 8729   .ih csp 8732   .op chot 8747  adj_hcado 8763

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-map 4308  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013