Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  affineequiv Structured version   Unicode version

Theorem affineequiv 20705
 Description: Equivalence between two ways of expressing as an affine combination of and . (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
affineequiv.A
affineequiv.B
affineequiv.C
affineequiv.D
Assertion
Ref Expression
affineequiv

Proof of Theorem affineequiv
StepHypRef Expression
1 affineequiv.C . . . . . . . 8
2 affineequiv.D . . . . . . . . 9
32, 1mulcld 9146 . . . . . . . 8
4 affineequiv.A . . . . . . . . 9
52, 4mulcld 9146 . . . . . . . 8
61, 3, 5subsubd 9477 . . . . . . 7
71, 3subcld 9449 . . . . . . . 8
87, 5addcomd 9306 . . . . . . 7
96, 8eqtr2d 2476 . . . . . 6
10 ax-1cn 9086 . . . . . . . . . 10
1110a1i 11 . . . . . . . . 9
1211, 2, 1subdird 9528 . . . . . . . 8
131mulid2d 9144 . . . . . . . . 9
1413oveq1d 6132 . . . . . . . 8
1512, 14eqtrd 2475 . . . . . . 7
1615oveq2d 6133 . . . . . 6
17 affineequiv.B . . . . . . . 8
181, 17subcld 9449 . . . . . . . 8
191, 4subcld 9449 . . . . . . . . 9
202, 19mulcld 9146 . . . . . . . 8
2117, 18, 20addsubassd 9469 . . . . . . 7
2217, 1pncan3d 9452 . . . . . . . 8
232, 1, 4subdid 9527 . . . . . . . 8
2422, 23oveq12d 6135 . . . . . . 7
2521, 24eqtr3d 2477 . . . . . 6
269, 16, 253eqtr4d 2485 . . . . 5
2726eqeq2d 2454 . . . 4
2817addid1d 9304 . . . . 5
2928eqeq1d 2451 . . . 4
30 0cn 9122 . . . . . 6
3130a1i 11 . . . . 5
3218, 20subcld 9449 . . . . 5
3317, 31, 32addcand 9307 . . . 4
3427, 29, 333bitr2d 274 . . 3
35 eqcom 2445 . . 3
3634, 35syl6bb 254 . 2
3718, 20subeq0ad 9459 . 2
3836, 37bitrd 246 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wceq 1654   wcel 1728  (class class class)co 6117  cc 9026  cc0 9028  c1 9029   caddc 9031   cmul 9033   cmin 9329 This theorem is referenced by:  affineequiv2  20706  angpieqvd  20710  chordthmlem2  20712  chordthmlem4  20714 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-op 3852  df-uni 4045  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-riota 6585  df-er 6941  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-ltxr 9163  df-sub 9331
 Copyright terms: Public domain W3C validator