Theorem aleph1irr 7790

Description: There are at least aleph-one irrationals.

Assertion

Ref	Expression
aleph1irr	|- (aleph` 1o) ~<_ (RR \ QQ)

Proof of Theorem aleph1irr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aleph1re 7763	. 2 |- (aleph` 1o) ~<_ RR
2		reex 5466	. . 3 |- RR e. V
3		omex 4772	. . . . . . 7 |- om e. V
4		nnenom 7710	. . . . . . 7 |- NN ~~ om
5	3, 4	ensymi 4554	. . . . . 6 |- om ~~ NN
6		ruc 7761	. . . . . 6 |- NN ~< RR
7		ensdomtr 4616	. . . . . 6 |- ((om ~~ NN /\ NN ~< RR) -> om ~< RR)
8	5, 6, 7	mp2an 701	. . . . 5 |- om ~< RR
9		sdomdom 4527	. . . . 5 |- (om ~< RR -> om ~<_ RR)
10	8, 9	ax-mp 7	. . . 4 |- om ~<_ RR
11		resdomq 7762	. . . 4 |- QQ ~< RR
12		qex 6407	. . . . 5 |- QQ e. V
13	2, 12	infdif 7780	. . . 4 |- ((om ~<_ RR /\ QQ ~< RR) -> (RR \ QQ) ~~ RR)
14	10, 11, 13	mp2an 701	. . 3 |- (RR \ QQ) ~~ RR
15	2, 14	ensymi 4554	. 2 |- RR ~~ (RR \ QQ)
16		domentr 4562	. 2 |- (((aleph` 1o) ~<_ RR /\ RR ~~ (RR \ QQ)) -> (aleph` 1o) ~<_ (RR \ QQ))
17	1, 15, 16	mp2an 701	1 |- (aleph` 1o) ~<_ (RR \ QQ)

Syntax hints:   \ cdif 2096   class class class wbr 2692  omcom 3218  ` cfv 3263  1oc1o 4264   ~~ cen 4505   ~<_ cdom 4506   ~< csdm 4507  alephcale 4960  RRcr 5387  NNcn 5450  QQcq 5453

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-reg 4736  ax-inf2 4770  ax-ac 4890

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-iso 3280  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-2o 4270  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-fin 4512  df-sup 4717  df-card 4962  df-aleph 4963  df-cda 5068  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-div 5855  df-n 6070  df-2 6116  df-3 6117  df-n0 6268  df-z 6304  df-q 6395  df-seq1 6673  df-exp 6764

Copyright terms: Public domain