MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aleph1re Unicode version

Theorem aleph1re 12397
Description: There are at least aleph-one real numbers. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
aleph1re  |-  ( aleph `  1o )  ~<_  RR

Proof of Theorem aleph1re
StepHypRef Expression
1 aleph0 7577 . . . . . 6  |-  ( aleph `  (/) )  =  om
2 nnenom 10920 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
32ensymi 6797 . . . . . 6  |-  om  ~~  NN
41, 3eqbrtri 3939 . . . . 5  |-  ( aleph `  (/) )  ~~  NN
5 ruc 12395 . . . . 5  |-  NN  ~<  RR
6 ensdomtr 6882 . . . . 5  |-  ( ( ( aleph `  (/) )  ~~  NN  /\  NN  ~<  RR )  ->  ( aleph `  (/) )  ~<  RR )
74, 5, 6mp2an 656 . . . 4  |-  ( aleph `  (/) )  ~<  RR
8 alephnbtwn2 7583 . . . 4  |-  -.  (
( aleph `  (/) )  ~<  RR  /\  RR  ~<  ( aleph `  suc  (/) ) )
97, 8mpto1 1528 . . 3  |-  -.  RR  ~<  ( aleph `  suc  (/) )
10 df-1o 6365 . . . . 5  |-  1o  =  suc  (/)
1110fveq2i 5380 . . . 4  |-  ( aleph `  1o )  =  (
aleph `  suc  (/) )
1211breq2i 3928 . . 3  |-  ( RR 
~<  ( aleph `  1o )  <->  RR 
~<  ( aleph `  suc  (/) ) )
139, 12mtbir 292 . 2  |-  -.  RR  ~<  ( aleph `  1o )
14 fvex 5391 . . 3  |-  ( aleph `  1o )  e.  _V
15 reex 8708 . . 3  |-  RR  e.  _V
16 domtri 8060 . . 3  |-  ( ( ( aleph `  1o )  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  ->  ( (
aleph `  1o )  ~<_  RR  <->  -.  RR  ~<  ( aleph `  1o ) ) )
1714, 15, 16mp2an 656 . 2  |-  ( (
aleph `  1o )  ~<_  RR  <->  -.  RR  ~<  ( aleph `  1o ) )
1813, 17mpbir 202 1  |-  ( aleph `  1o )  ~<_  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    <-> wb 178    e. wcel 1621   _Vcvv 2727   (/)c0 3362   class class class wbr 3920   suc csuc 4287   omcom 4547   ` cfv 4592   1oc1o 6358    ~~ cen 6746    ~<_ cdom 6747    ~< csdm 6748   alephcale 7453   RRcr 8616   NNcn 9626
This theorem is referenced by:  aleph1irr  12398
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-ac2 7973  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-oi 7109  df-har 7156  df-card 7456  df-aleph 7457  df-ac 7627  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-fz 10661  df-seq 10925
  Copyright terms: Public domain W3C validator