MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aleph1re Unicode version

Theorem aleph1re 12519
Description: There are at least aleph-one real numbers. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
aleph1re  |-  ( aleph `  1o )  ~<_  RR

Proof of Theorem aleph1re
StepHypRef Expression
1 aleph0 7689 . . . . . 6  |-  ( aleph `  (/) )  =  om
2 nnenom 11038 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
32ensymi 6907 . . . . . 6  |-  om  ~~  NN
41, 3eqbrtri 4043 . . . . 5  |-  ( aleph `  (/) )  ~~  NN
5 ruc 12517 . . . . 5  |-  NN  ~<  RR
6 ensdomtr 6993 . . . . 5  |-  ( ( ( aleph `  (/) )  ~~  NN  /\  NN  ~<  RR )  ->  ( aleph `  (/) )  ~<  RR )
74, 5, 6mp2an 653 . . . 4  |-  ( aleph `  (/) )  ~<  RR
8 alephnbtwn2 7695 . . . 4  |-  -.  (
( aleph `  (/) )  ~<  RR  /\  RR  ~<  ( aleph `  suc  (/) ) )
97, 8mpto1 1523 . . 3  |-  -.  RR  ~<  ( aleph `  suc  (/) )
10 df-1o 6475 . . . . 5  |-  1o  =  suc  (/)
1110fveq2i 5489 . . . 4  |-  ( aleph `  1o )  =  (
aleph `  suc  (/) )
1211breq2i 4032 . . 3  |-  ( RR 
~<  ( aleph `  1o )  <->  RR 
~<  ( aleph `  suc  (/) ) )
139, 12mtbir 290 . 2  |-  -.  RR  ~<  ( aleph `  1o )
14 fvex 5500 . . 3  |-  ( aleph `  1o )  e.  _V
15 reex 8824 . . 3  |-  RR  e.  _V
16 domtri 8174 . . 3  |-  ( ( ( aleph `  1o )  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  ->  ( (
aleph `  1o )  ~<_  RR  <->  -.  RR  ~<  ( aleph `  1o ) ) )
1714, 15, 16mp2an 653 . 2  |-  ( (
aleph `  1o )  ~<_  RR  <->  -.  RR  ~<  ( aleph `  1o ) )
1813, 17mpbir 200 1  |-  ( aleph `  1o )  ~<_  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    e. wcel 1685   _Vcvv 2789   (/)c0 3456   class class class wbr 4024   suc csuc 4393   omcom 4655   ` cfv 5221   1oc1o 6468    ~~ cen 6856    ~<_ cdom 6857    ~< csdm 6858   alephcale 7565   RRcr 8732   NNcn 9742
This theorem is referenced by:  aleph1irr  12520
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338  ax-ac2 8085  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-sup 7190  df-oi 7221  df-har 7268  df-card 7568  df-aleph 7569  df-ac 7739  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-fz 10779  df-seq 11043
  Copyright terms: Public domain W3C validator