MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aleph1re Unicode version

Theorem aleph1re 12486
Description: There are at least aleph-one real numbers. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
aleph1re  |-  ( aleph `  1o )  ~<_  RR

Proof of Theorem aleph1re
StepHypRef Expression
1 aleph0 7661 . . . . . 6  |-  ( aleph `  (/) )  =  om
2 nnenom 11009 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
32ensymi 6879 . . . . . 6  |-  om  ~~  NN
41, 3eqbrtri 4016 . . . . 5  |-  ( aleph `  (/) )  ~~  NN
5 ruc 12484 . . . . 5  |-  NN  ~<  RR
6 ensdomtr 6965 . . . . 5  |-  ( ( ( aleph `  (/) )  ~~  NN  /\  NN  ~<  RR )  ->  ( aleph `  (/) )  ~<  RR )
74, 5, 6mp2an 656 . . . 4  |-  ( aleph `  (/) )  ~<  RR
8 alephnbtwn2 7667 . . . 4  |-  -.  (
( aleph `  (/) )  ~<  RR  /\  RR  ~<  ( aleph `  suc  (/) ) )
97, 8mpto1 1528 . . 3  |-  -.  RR  ~<  ( aleph `  suc  (/) )
10 df-1o 6447 . . . . 5  |-  1o  =  suc  (/)
1110fveq2i 5461 . . . 4  |-  ( aleph `  1o )  =  (
aleph `  suc  (/) )
1211breq2i 4005 . . 3  |-  ( RR 
~<  ( aleph `  1o )  <->  RR 
~<  ( aleph `  suc  (/) ) )
139, 12mtbir 292 . 2  |-  -.  RR  ~<  ( aleph `  1o )
14 fvex 5472 . . 3  |-  ( aleph `  1o )  e.  _V
15 reex 8796 . . 3  |-  RR  e.  _V
16 domtri 8146 . . 3  |-  ( ( ( aleph `  1o )  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  ->  ( (
aleph `  1o )  ~<_  RR  <->  -.  RR  ~<  ( aleph `  1o ) ) )
1714, 15, 16mp2an 656 . 2  |-  ( (
aleph `  1o )  ~<_  RR  <->  -.  RR  ~<  ( aleph `  1o ) )
1813, 17mpbir 202 1  |-  ( aleph `  1o )  ~<_  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    <-> wb 178    e. wcel 1621   _Vcvv 2763   (/)c0 3430   class class class wbr 3997   suc csuc 4366   omcom 4628   ` cfv 4673   1oc1o 6440    ~~ cen 6828    ~<_ cdom 6829    ~< csdm 6830   alephcale 7537   RRcr 8704   NNcn 9714
This theorem is referenced by:  aleph1irr  12487
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-ac2 8057  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-sup 7162  df-oi 7193  df-har 7240  df-card 7540  df-aleph 7541  df-ac 7711  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-n0 9934  df-z 9993  df-uz 10199  df-fz 10750  df-seq 11014
  Copyright terms: Public domain W3C validator