Theorem alephadd 7794

Description: The sum of two alephs is their maximum. Equation 6.1 of [Jech] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
alephadd	|- ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B))

Proof of Theorem alephadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 2785	. . . . . . . 8 |- (/) e. V
2	1, 1	cdavali 5070	. . . . . . 7 |- ((/) +c (/)) = (((/) X. {(/)}) u. ((/) X. {1o}))
3		xpundi 3310	. . . . . . 7 |- ((/) X. ({(/)} u. {1o})) = (((/) X. {(/)}) u. ((/) X. {1o}))
4		xp0r 3325	. . . . . . 7 |- ((/) X. ({(/)} u. {1o})) = (/)
5	2, 3, 4	3eqtr2i 1544	. . . . . 6 |- ((/) +c (/)) = (/)
6		ndmfv 3856	. . . . . . 7 |- (-. A e. dom aleph -> (aleph` A) = (/))
7		ndmfv 3856	. . . . . . 7 |- (-. B e. dom aleph -> (aleph` B) = (/))
8	6, 7	opreqan12d 4037	. . . . . 6 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) = ((/) +c (/)))
9	6	adantr 389	. . . . . . . 8 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> (aleph` A) = (/))
10	7	adantl 388	. . . . . . . 8 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> (aleph` B) = (/))
11	9, 10	uneq12d 2237	. . . . . . 7 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> ((aleph` A) u. (aleph` B)) = ((/) u. (/)))
12		un0 2350	. . . . . . 7 |- ((/) u. (/)) = (/)
13	11, 12	syl6eq 1566	. . . . . 6 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> ((aleph` A) u. (aleph` B)) = (/))
14	5, 8, 13	3eqtr4a 1575	. . . . 5 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) = ((aleph` A) u. (aleph` B)))
15		alephfnon 5012	. . . . . . . 8 |- aleph Fn On
16		fndm 3693	. . . . . . . 8 |- (aleph Fn On -> dom aleph = On)
17	15, 16	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- dom aleph = On
18	17	eleq2i 1581	. . . . . 6 |- (A e. dom aleph <-> A e. On)
19	18	notbii 185	. . . . 5 |- (-. A e. dom aleph <-> -. A e. On)
20	17	eleq2i 1581	. . . . . 6 |- (B e. dom aleph <-> B e. On)
21	20	notbii 185	. . . . 5 |- (-. B e. dom aleph <-> -. B e. On)
22	14, 19, 21	syl2anbr 458	. . . 4 |- ((-. A e. On /\ -. B e. On) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) = ((aleph` A) u. (aleph` B)))
23		oprex 4041	. . . . 5 |- ((aleph` A) +c (aleph` B)) e. V
24		eqeng 4533	. . . . 5 |- (((aleph` A) +c (aleph` B)) e. V -> (((aleph` A) +c (aleph` B)) = ((aleph` A) u. (aleph` B)) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B))))
25	23, 24	ax-mp 7	. . . 4 |- (((aleph` A) +c (aleph` B)) = ((aleph` A) u. (aleph` B)) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
26	22, 25	syl 10	. . 3 |- ((-. A e. On /\ -. B e. On) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
27	26	ex 371	. 2 |- (-. A e. On -> (-. B e. On -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B))))
28		alephgeom 5032	. . 3 |- (A e. On <-> om (_ (aleph` A))
29		fvex 3843	. . . . 5 |- (aleph` A) e. V
30		ssdom2g 4550	. . . . 5 |- ((aleph` A) e. V -> (om (_ (aleph` A) -> om ~<_ (aleph` A)))
31	29, 30	ax-mp 7	. . . 4 |- (om (_ (aleph` A) -> om ~<_ (aleph` A))
32		fvex 3843	. . . . 5 |- (aleph` B) e. V
33	29, 32	infcda 7779	. . . 4 |- (om ~<_ (aleph` A) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
34	31, 33	syl 10	. . 3 |- (om (_ (aleph` A) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
35	28, 34	sylbi 197	. 2 |- (A e. On -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
36		alephgeom 5032	. . 3 |- (B e. On <-> om (_ (aleph` B))
37		ssdom2g 4550	. . . . 5 |- ((aleph` B) e. V -> (om (_ (aleph` B) -> om ~<_ (aleph` B)))
38	32, 37	ax-mp 7	. . . 4 |- (om (_ (aleph` B) -> om ~<_ (aleph` B))
39	32, 29	infcda 7779	. . . . . 6 |- (om ~<_ (aleph` B) -> ((aleph` B) +c (aleph` A)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A)))
40	29, 32	cdacomen 5081	. . . . . . 7 |- ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` B) +c (aleph` A))
41		entr 4555	. . . . . . 7 |- ((((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` B) +c (aleph` A)) /\ ((aleph` B) +c (aleph` A)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A))) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A)))
42	40, 41	mpan 699	. . . . . 6 |- (((aleph` B) +c (aleph` A)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A)) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A)))
43	39, 42	syl 10	. . . . 5 |- (om ~<_ (aleph` B) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A)))
44		uncom 2228	. . . . 5 |- ((aleph` B) u. (aleph` A)) = ((aleph` A) u. (aleph` B))
45	43, 44	syl6breq 2727	. . . 4 |- (om ~<_ (aleph` B) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
46	38, 45	syl 10	. . 3 |- (om (_ (aleph` B) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
47	36, 46	sylbi 197	. 2 |- (B e. On -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
48	27, 35, 47	pm2.61ii 128	1 |- ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  Vcvv 1857   u. cun 2097   (_ wss 2099  (/)c0 2332  {csn 2467   class class class wbr 2692  Oncon0 2975  omcom 3218   X. cxp 3249  dom cdm 3251   Fn wfn 3258  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  1oc1o 4264   ~~ cen 4505   ~<_ cdom 4506  alephcale 4960   +c ccda 5067

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-reg 4736  ax-inf2 4770  ax-ac 4890

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-iso 3280  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-2o 4270  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-fin 4512  df-card 4962  df-aleph 4963  df-cda 5068  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-n 6070  df-2 6116  df-n0 6268  df-z 6304  df-seq1 6673  df-exp 6764

Copyright terms: Public domain