Theorem alephadd 7524

Description: The sum of two alephs is their maximum. Equation 6.1 of [Jech] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
alephadd	|- ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B))

Proof of Theorem alephadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 2701	. . . . . . . 8 |- (/) e. V
2	1, 1	cdaval 4892	. . . . . . 7 |- ((/) +c (/)) = (((/) X. {(/)}) u. ((/) X. {1o}))
3		xpundi 3215	. . . . . . 7 |- ((/) X. ({(/)} u. {1o})) = (((/) X. {(/)}) u. ((/) X. {1o}))
4		xp0r 3229	. . . . . . 7 |- ((/) X. ({(/)} u. {1o})) = (/)
5	2, 3, 4	3eqtr2 1493	. . . . . 6 |- ((/) +c (/)) = (/)
6		ndmfv 3730	. . . . . . 7 |- (-. A e. dom aleph -> (aleph` A) = (/))
7		ndmfv 3730	. . . . . . 7 |- (-. B e. dom aleph -> (aleph` B) = (/))
8	6, 7	opreqan12d 3964	. . . . . 6 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) = ((/) +c (/)))
9	6	adantr 389	. . . . . . . 8 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> (aleph` A) = (/))
10	7	adantl 388	. . . . . . . 8 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> (aleph` B) = (/))
11	9, 10	uneq12d 2175	. . . . . . 7 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> ((aleph` A) u. (aleph` B)) = ((/) u. (/)))
12		un0 2287	. . . . . . 7 |- ((/) u. (/)) = (/)
13	11, 12	syl6eq 1515	. . . . . 6 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> ((aleph` A) u. (aleph` B)) = (/))
14	5, 8, 13	3eqtr4a 1524	. . . . 5 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) = ((aleph` A) u. (aleph` B)))
15		alephfnon 4834	. . . . . . . 8 |- aleph Fn On
16		fndm 3573	. . . . . . . 8 |- (aleph Fn On -> dom aleph = On)
17	15, 16	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- dom aleph = On
18	17	eleq2i 1530	. . . . . 6 |- (A e. dom aleph <-> A e. On)
19	18	negbii 187	. . . . 5 |- (-. A e. dom aleph <-> -. A e. On)
20	17	eleq2i 1530	. . . . . 6 |- (B e. dom aleph <-> B e. On)
21	20	negbii 187	. . . . 5 |- (-. B e. dom aleph <-> -. B e. On)
22	14, 19, 21	syl2anbr 456	. . . 4 |- ((-. A e. On /\ -. B e. On) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) = ((aleph` A) u. (aleph` B)))
23		oprex 3968	. . . . 5 |- ((aleph` A) +c (aleph` B)) e. V
24		eqeng 4373	. . . . 5 |- (((aleph` A) +c (aleph` B)) e. V -> (((aleph` A) +c (aleph` B)) = ((aleph` A) u. (aleph` B)) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B))))
25	23, 24	ax-mp 7	. . . 4 |- (((aleph` A) +c (aleph` B)) = ((aleph` A) u. (aleph` B)) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
26	22, 25	syl 10	. . 3 |- ((-. A e. On /\ -. B e. On) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
27	26	ex 373	. 2 |- (-. A e. On -> (-. B e. On -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B))))
28		alephgeom 4854	. . 3 |- (A e. On <-> om (_ (aleph` A))
29		fvex 3717	. . . . 5 |- (aleph` A) e. V
30		ssdom2g 4390	. . . . 5 |- ((aleph` A) e. V -> (om (_ (aleph` A) -> om ~<_ (aleph` A)))
31	29, 30	ax-mp 7	. . . 4 |- (om (_ (aleph` A) -> om ~<_ (aleph` A))
32		fvex 3717	. . . . 5 |- (aleph` B) e. V
33	29, 32	infcda 7510	. . . 4 |- (om ~<_ (aleph` A) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
34	31, 33	syl 10	. . 3 |- (om (_ (aleph` A) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
35	28, 34	sylbi 199	. 2 |- (A e. On -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
36		alephgeom 4854	. . 3 |- (B e. On <-> om (_ (aleph` B))
37		ssdom2g 4390	. . . . 5 |- ((aleph` B) e. V -> (om (_ (aleph` B) -> om ~<_ (aleph` B)))
38	32, 37	ax-mp 7	. . . 4 |- (om (_ (aleph` B) -> om ~<_ (aleph` B))
39	32, 29	infcda 7510	. . . . . 6 |- (om ~<_ (aleph` B) -> ((aleph` B) +c (aleph` A)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A)))
40	29, 32	cdacomen 4901	. . . . . . 7 |- ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` B) +c (aleph` A))
41		entrt 4395	. . . . . . 7 |- ((((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` B) +c (aleph` A)) /\ ((aleph` B) +c (aleph` A)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A))) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A)))
42	40, 41	mpan 693	. . . . . 6 |- (((aleph` B) +c (aleph` A)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A)) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A)))
43	39, 42	syl 10	. . . . 5 |- (om ~<_ (aleph` B) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A)))
44		uncom 2166	. . . . 5 |- ((aleph` B) u. (aleph` A)) = ((aleph` A) u. (aleph` B))
45	43, 44	syl6breq 2644	. . . 4 |- (om ~<_ (aleph` B) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
46	38, 45	syl 10	. . 3 |- (om (_ (aleph` B) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
47	36, 46	sylbi 199	. 2 |- (B e. On -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
48	27, 35, 47	pm2.61ii 130	1 |- ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802   u. cun 2035   (_ wss 2037  (/)c0 2270  {csn 2399   class class class wbr 2609  Oncon0 2938  omcom 3121   X. cxp 3158  dom cdm 3160   Fn wfn 3167  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  1oc1o 4112   ~~ cen 4348   ~<_ cdom 4349  alephcale 4786   +c ccda 4889

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-iso 3189  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-2o 4118  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-card 4788  df-aleph 4789  df-cda 4890  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501

Copyright terms: Public domain