Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephcard Structured version   Unicode version

Theorem alephcard 7956
 Description: Every aleph is a cardinal number. Theorem 65 of [Suppes] p. 229. (Contributed by NM, 25-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
alephcard

Proof of Theorem alephcard
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5731 . . . . 5
21fveq2d 5735 . . . 4
32, 1eqeq12d 2452 . . 3
4 fveq2 5731 . . . . 5
54fveq2d 5735 . . . 4
65, 4eqeq12d 2452 . . 3
7 fveq2 5731 . . . . 5
87fveq2d 5735 . . . 4
98, 7eqeq12d 2452 . . 3
10 fveq2 5731 . . . . 5
1110fveq2d 5735 . . . 4
1211, 10eqeq12d 2452 . . 3
13 cardom 7878 . . . 4
14 aleph0 7952 . . . . 5
1514fveq2i 5734 . . . 4
1613, 15, 143eqtr4i 2468 . . 3
17 harcard 7870 . . . . 5 har har
18 alephsuc 7954 . . . . . 6 har
1918fveq2d 5735 . . . . 5 har
2017, 19, 183eqtr4a 2496 . . . 4
2120a1d 24 . . 3
22 vex 2961 . . . . . . 7
23 cardiun 7874 . . . . . . 7
2422, 23ax-mp 5 . . . . . 6
2524adantl 454 . . . . 5
26 alephlim 7953 . . . . . . . 8
2722, 26mpan 653 . . . . . . 7
2827adantr 453 . . . . . 6
2928fveq2d 5735 . . . . 5
3025, 29, 283eqtr4d 2480 . . . 4
3130ex 425 . . 3
323, 6, 9, 12, 16, 21, 31tfinds 4842 . 2
33 card0 7850 . . 3
34 alephfnon 7951 . . . . . . 7
35 fndm 5547 . . . . . . 7
3634, 35ax-mp 5 . . . . . 6
3736eleq2i 2502 . . . . 5
38 ndmfv 5758 . . . . 5
3937, 38sylnbir 300 . . . 4
4039fveq2d 5735 . . 3
4133, 40, 393eqtr4a 2496 . 2
4232, 41pm2.61i 159 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958  c0 3630  ciun 4095  con0 4584   wlim 4585   csuc 4586  com 4848   cdm 4881   wfn 5452  cfv 5457  harchar 7527  ccrd 7827  cale 7828 This theorem is referenced by:  alephnbtwn2  7958  alephord2  7962  alephsuc2  7966  alephislim  7969  alephsdom  7972  cardaleph  7975  cardalephex  7976  alephval3  7996  alephval2  8452  alephsuc3  8460  alephreg  8462  pwcfsdom  8463 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-oi 7482  df-har 7529  df-card 7831  df-aleph 7832
 Copyright terms: Public domain W3C validator