Theorem alephexp1 7563

Description: An exponentiation law for alephs. Lemma 6.1 of [Jech] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
alephexp1	|- (((A e. On /\ B e. On) /\ A (_ B) -> ((aleph` A) ^m (aleph` B)) ~~ (2o ^m (aleph` B)))

Proof of Theorem alephexp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 3729	. . 3 |- (aleph` A) e. V
2		fvex 3729	. . 3 |- (aleph` B) e. V
3	1, 2	infmap1 7552	. 2 |- (((2o ~<_ (aleph` A) /\ om ~<_ (aleph` B)) /\ (aleph` A) ~<_ (aleph` B)) -> ((aleph` A) ^m (aleph` B)) ~~ (2o ^m (aleph` B)))
4		alephgeom 4869	. . . . . 6 |- (A e. On <-> om (_ (aleph` A))
5		ssdom2g 4403	. . . . . . 7 |- ((aleph` A) e. V -> (om (_ (aleph` A) -> om ~<_ (aleph` A)))
6	1, 5	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (om (_ (aleph` A) -> om ~<_ (aleph` A))
7	4, 6	sylbi 199	. . . . 5 |- (A e. On -> om ~<_ (aleph` A))
8		2onn 4251	. . . . . . . 8 |- 2o e. om
9		nnsdom 4622	. . . . . . . 8 |- (2o e. om -> 2o ~< om)
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- 2o ~< om
11		sdomdom 4380	. . . . . . 7 |- (2o ~< om -> 2o ~<_ om)
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . . 6 |- 2o ~<_ om
13		domtr 4409	. . . . . 6 |- ((2o ~<_ om /\ om ~<_ (aleph` A)) -> 2o ~<_ (aleph` A))
14	12, 13	mpan 694	. . . . 5 |- (om ~<_ (aleph` A) -> 2o ~<_ (aleph` A))
15	7, 14	syl 10	. . . 4 |- (A e. On -> 2o ~<_ (aleph` A))
16		alephgeom 4869	. . . . 5 |- (B e. On <-> om (_ (aleph` B))
17		ssdom2g 4403	. . . . . 6 |- ((aleph` B) e. V -> (om (_ (aleph` B) -> om ~<_ (aleph` B)))
18	2, 17	ax-mp 7	. . . . 5 |- (om (_ (aleph` B) -> om ~<_ (aleph` B))
19	16, 18	sylbi 199	. . . 4 |- (B e. On -> om ~<_ (aleph` B))
20	15, 19	anim12i 333	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (2o ~<_ (aleph` A) /\ om ~<_ (aleph` B)))
21	20	adantr 389	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ A (_ B) -> (2o ~<_ (aleph` A) /\ om ~<_ (aleph` B)))
22		alephord3 4865	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ B <-> (aleph` A) (_ (aleph` B)))
23		ssdomg 4402	. . . . 5 |- ((aleph` A) e. V -> ((aleph` A) (_ (aleph` B) -> (aleph` A) ~<_ (aleph` B)))
24	1, 23	ax-mp 7	. . . 4 |- ((aleph` A) (_ (aleph` B) -> (aleph` A) ~<_ (aleph` B))
25	22, 24	syl6bi 214	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ B -> (aleph` A) ~<_ (aleph` B)))
26	25	imp 350	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ A (_ B) -> (aleph` A) ~<_ (aleph` B))
27	3, 21, 26	sylanc 471	1 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ A (_ B) -> ((aleph` A) ^m (aleph` B)) ~~ (2o ^m (aleph` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 957  Vcvv 1809   (_ wss 2045   class class class wbr 2616  Oncon0 2945  omcom 3128  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  2oc2o 4126   ^m cm 4319   ~~ cen 4361   ~<_ cdom 4362   ~< csdm 4363  alephcale 4801

This theorem is referenced by:  alephexp2 7565

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-reg 4580  ax-inf2 4612  ax-ac 4731

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-iso 3196  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-2o 4131  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-map 4321  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-card 4803  df-aleph 4804  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-n 5887  df-2 5931  df-n0 6061  df-z 6097  df-seq1 6263  df-exp 6519

Copyright terms: Public domain