Theorem alephfplem2 4880

Description: Lemma for alephfp 4883.

Hypothesis

Ref	Expression
alephfplem.1	|- H = (rec({<.x, y>. | y = (aleph` x)}, (aleph` (/))) |` om)

Assertion

Ref	Expression
alephfplem2	|- (w e. om -> (H` suc w) = (aleph` (H` w)))

Distinct variable groups:   x,y,w   w,H

Proof of Theorem alephfplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 3727	. 2 |- (aleph` (H` w)) e. V
2		ax-17 970	. . 3 |- (z e. (aleph` (/)) -> A.x z e. (aleph` (/)))
3		ax-17 970	. . 3 |- (z e. w -> A.x z e. w)
4		ax-17 970	. . . 4 |- (z e. aleph -> A.x z e. aleph)
5		alephfplem.1	. . . . . 6 |- H = (rec({<.x, y>. | y = (aleph` x)}, (aleph` (/))) |` om)
6		hbopab1 2809	. . . . . . . 8 |- (z e. {<.x, y>. | y = (aleph` x)} -> A.x z e. {<.x, y>. | y = (aleph` x)})
7	6, 2	hbrdg 3931	. . . . . . 7 |- (z e. rec({<.x, y>. | y = (aleph` x)}, (aleph` (/))) -> A.x z e. rec({<.x, y>. | y = (aleph` x)}, (aleph` (/))))
8		ax-17 970	. . . . . . 7 |- (z e. om -> A.x z e. om)
9	7, 8	hbres 3366	. . . . . 6 |- (z e. (rec({<.x, y>. | y = (aleph` x)}, (aleph` (/))) |` om) -> A.x z e. (rec({<.x, y>. | y = (aleph` x)}, (aleph` (/))) |` om))
10	5, 9	hbxfr 1561	. . . . 5 |- (z e. H -> A.x z e. H)
11	10, 3	hbfv 3724	. . . 4 |- (z e. (H` w) -> A.x z e. (H` w))
12	4, 11	hbfv 3724	. . 3 |- (z e. (aleph` (H` w)) -> A.x z e. (aleph` (H` w)))
13		fveq2 3719	. . 3 |- (x = (H` w) -> (aleph` x) = (aleph` (H` w)))
14	2, 3, 12, 5, 13	frsucopab 3949	. 2 |- ((w e. om /\ (aleph` (H` w)) e. V) -> (H` suc w) = (aleph` (H` w)))
15	1, 14	mpan2 695	1 |- (w e. om -> (H` suc w) = (aleph` (H` w)))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 955   e. wcel 957  Vcvv 1808  (/)c0 2277  {copab 2662  suc csuc 2946  omcom 3127   |` cres 3168  ` cfv 3178  reccrdg 3926  alephcale 4797

This theorem is referenced by:  alephfplem3 4881  alephfp 4883

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-fv 3194  df-rdg 3927

Copyright terms: Public domain