Theorem alephgeom 5032

Description: Every aleph is greater than or equal to the set of natural numbers.

Assertion

Ref	Expression
alephgeom	|- (A e. On <-> om (_ (aleph` A))

Proof of Theorem alephgeom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 2354	. . . 4 |- (/) (_ A
2		0elon 3026	. . . . 5 |- (/) e. On
3		alephord3 5028	. . . . 5 |- (((/) e. On /\ A e. On) -> ((/) (_ A <-> (aleph` (/)) (_ (aleph` A)))
4	2, 3	mpan 699	. . . 4 |- (A e. On -> ((/) (_ A <-> (aleph` (/)) (_ (aleph` A)))
5	1, 4	mpbii 191	. . 3 |- (A e. On -> (aleph` (/)) (_ (aleph` A))
6		aleph0 5013	. . 3 |- (aleph` (/)) = om
7	5, 6	syl5ssr 2158	. 2 |- (A e. On -> om (_ (aleph` A))
8		peano1 3237	. . . . . 6 |- (/) e. om
9		ordom 3228	. . . . . . . 8 |- Ord om
10		ord0 3025	. . . . . . . 8 |- Ord (/)
11		ordtri1 3008	. . . . . . . 8 |- ((Ord om /\ Ord (/)) -> (om (_ (/) <-> -. (/) e. om))
12	9, 10, 11	mp2an 701	. . . . . . 7 |- (om (_ (/) <-> -. (/) e. om)
13	12	con2bii 219	. . . . . 6 |- ((/) e. om <-> -. om (_ (/))
14	8, 13	mpbi 187	. . . . 5 |- -. om (_ (/)
15		ndmfv 3856	. . . . . 6 |- (-. A e. dom aleph -> (aleph` A) = (/))
16	15	sseq2d 2141	. . . . 5 |- (-. A e. dom aleph -> (om (_ (aleph` A) <-> om (_ (/)))
17	14, 16	mtbiri 722	. . . 4 |- (-. A e. dom aleph -> -. om (_ (aleph` A))
18	17	con4i 74	. . 3 |- (om (_ (aleph` A) -> A e. dom aleph)
19		alephfnon 5012	. . . 4 |- aleph Fn On
20		fndm 3693	. . . 4 |- (aleph Fn On -> dom aleph = On)
21	19, 20	ax-mp 7	. . 3 |- dom aleph = On
22	18, 21	syl6eleq 1601	. 2 |- (om (_ (aleph` A) -> A e. On)
23	7, 22	impbii 155	1 |- (A e. On <-> om (_ (aleph` A))

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 144   = wceq 992   e. wcel 994   (_ wss 2099  (/)c0 2332  Ord word 2974  Oncon0 2975  omcom 3218  dom cdm 3251   Fn wfn 3258  ` cfv 3263  alephcale 4960

This theorem is referenced by:  alephislim 5033  cardalephex 5036  isinfcard 5037  alephval2 5052  alephval3 5053  alephadd 7794  alephmul 7795  alephexp1 7796  alephsuc3 7797  alephexp2 7798

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-reg 4736  ax-inf2 4770  ax-ac 4890

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-rdg 4233  df-er 4401  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-fin 4512  df-card 4962  df-aleph 4963

Copyright terms: Public domain