MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephgeom Unicode version

Theorem alephgeom 7725
Description: Every aleph is greater than or equal to the set of natural numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephgeom  |-  ( A  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  A ) )

Proof of Theorem alephgeom
StepHypRef Expression
1 aleph0 7709 . . 3  |-  ( aleph `  (/) )  =  om
2 0ss 3496 . . . 4  |-  (/)  C_  A
3 0elon 4461 . . . . 5  |-  (/)  e.  On
4 alephord3 7721 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( (/)  C_  A  <->  ( aleph `  (/) )  C_  ( aleph `  A )
) )
53, 4mpan 651 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/)  C_  A  <->  ( aleph `  (/) )  C_  ( aleph `  A )
) )
62, 5mpbii 202 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( aleph `  (/) )  C_  ( aleph `  A ) )
71, 6syl5eqssr 3236 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  om  C_  ( aleph `  A ) )
8 peano1 4691 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
9 ordom 4681 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
10 ord0 4460 . . . . . . . 8  |-  Ord  (/)
11 ordtri1 4441 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  Ord  (/) )  ->  ( om  C_  (/) 
<->  -.  (/)  e.  om )
)
129, 10, 11mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( om  C_  (/)  <->  -.  (/)  e.  om )
1312con2bii 322 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  om  <->  -.  om  C_  (/) )
148, 13mpbi 199 . . . . 5  |-  -.  om  C_  (/)
15 ndmfv 5568 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  ( aleph `  A )  =  (/) )
1615sseq2d 3219 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  ( om  C_  ( aleph `  A
)  <->  om  C_  (/) ) )
1714, 16mtbiri 294 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  -.  om  C_  ( aleph `  A )
)
1817con4i 122 . . 3  |-  ( om  C_  ( aleph `  A )  ->  A  e.  dom  aleph )
19 alephfnon 7708 . . . 4  |-  aleph  Fn  On
20 fndm 5359 . . . 4  |-  ( aleph  Fn  On  ->  dom  aleph  =  On )
2119, 20ax-mp 8 . . 3  |-  dom  aleph  =  On
2218, 21syl6eleq 2386 . 2  |-  ( om  C_  ( aleph `  A )  ->  A  e.  On )
237, 22impbii 180 1  |-  ( A  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   (/)c0 3468   Ord word 4407   Oncon0 4408   omcom 4672   dom cdm 4705    Fn wfn 5266   ` cfv 5271   alephcale 7585
This theorem is referenced by:  alephislim  7726  cardalephex  7733  isinfcard  7735  alephval3  7753  alephval2  8210  alephadd  8215  alephmul  8216  alephexp1  8217  alephsuc3  8218  alephexp2  8219  alephreg  8220  pwcfsdom  8221  cfpwsdom  8222  gchaleph  8313  gchaleph2  8314
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-har 7288  df-card 7588  df-aleph 7589
  Copyright terms: Public domain W3C validator