Theorem alephgeom 4862

Description: Every aleph is greater than or equal to the set of natural numbers.

Assertion

Ref	Expression
alephgeom	|- (A e. On <-> om (_ (aleph` A))

Proof of Theorem alephgeom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 2297	. . . 4 |- (/) (_ A
2		0elon 3017	. . . . 5 |- (/) e. On
3		alephord3 4858	. . . . 5 |- (((/) e. On /\ A e. On) -> ((/) (_ A <-> (aleph` (/)) (_ (aleph` A)))
4	2, 3	mpan 694	. . . 4 |- (A e. On -> ((/) (_ A <-> (aleph` (/)) (_ (aleph` A)))
5	1, 4	mpbii 193	. . 3 |- (A e. On -> (aleph` (/)) (_ (aleph` A))
6		aleph0 4843	. . 3 |- (aleph` (/)) = om
7	5, 6	syl5ssr 2102	. 2 |- (A e. On -> om (_ (aleph` A))
8		peano1 3144	. . . . . 6 |- (/) e. om
9		ordom 3136	. . . . . . . 8 |- Ord om
10		ord0 3016	. . . . . . . 8 |- Ord (/)
11		ordtri1 2975	. . . . . . . 8 |- ((Ord om /\ Ord (/)) -> (om (_ (/) <-> -. (/) e. om))
12	9, 10, 11	mp2an 696	. . . . . . 7 |- (om (_ (/) <-> -. (/) e. om)
13	12	con2bii 221	. . . . . 6 |- ((/) e. om <-> -. om (_ (/))
14	8, 13	mpbi 189	. . . . 5 |- -. om (_ (/)
15		ndmfv 3736	. . . . . 6 |- (-. A e. dom aleph -> (aleph` A) = (/))
16	15	sseq2d 2085	. . . . 5 |- (-. A e. dom aleph -> (om (_ (aleph` A) <-> om (_ (/)))
17	14, 16	mtbiri 716	. . . 4 |- (-. A e. dom aleph -> -. om (_ (aleph` A))
18	17	a3i 74	. . 3 |- (om (_ (aleph` A) -> A e. dom aleph)
19		alephfnon 4842	. . . 4 |- aleph Fn On
20		fndm 3579	. . . 4 |- (aleph Fn On -> dom aleph = On)
21	19, 20	ax-mp 7	. . 3 |- dom aleph = On
22	18, 21	syl6eleq 1555	. 2 |- (om (_ (aleph` A) -> A e. On)
23	7, 22	impbi 157	1 |- (A e. On <-> om (_ (aleph` A))

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   = wceq 954   e. wcel 956   (_ wss 2043  (/)c0 2276  Ord word 2942  Oncon0 2943  omcom 3126  dom cdm 3165   Fn wfn 3172  ` cfv 3177  alephcale 4794

This theorem is referenced by:  alephislim 4863  cardalephex 4866  isinfcard 4867  alephval2 4882  alephval3 4883  alephadd 7532  alephmul 7533  alephexp1 7534  alephsuc3 7535  alephexp2 7536

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573  ax-inf2 4605  ax-ac 4724

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-er 4251  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-card 4796  df-aleph 4797

Copyright terms: Public domain