MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephgeom Unicode version

Theorem alephgeom 7952
Description: Every aleph is greater than or equal to the set of natural numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephgeom  |-  ( A  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  A ) )

Proof of Theorem alephgeom
StepHypRef Expression
1 aleph0 7936 . . 3  |-  ( aleph `  (/) )  =  om
2 0ss 3648 . . . 4  |-  (/)  C_  A
3 0elon 4626 . . . . 5  |-  (/)  e.  On
4 alephord3 7948 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( (/)  C_  A  <->  ( aleph `  (/) )  C_  ( aleph `  A )
) )
53, 4mpan 652 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/)  C_  A  <->  ( aleph `  (/) )  C_  ( aleph `  A )
) )
62, 5mpbii 203 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( aleph `  (/) )  C_  ( aleph `  A ) )
71, 6syl5eqssr 3385 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  om  C_  ( aleph `  A ) )
8 peano1 4855 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
9 ordom 4845 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
10 ord0 4625 . . . . . . . 8  |-  Ord  (/)
11 ordtri1 4606 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  Ord  (/) )  ->  ( om  C_  (/) 
<->  -.  (/)  e.  om )
)
129, 10, 11mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( om  C_  (/)  <->  -.  (/)  e.  om )
1312con2bii 323 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  om  <->  -.  om  C_  (/) )
148, 13mpbi 200 . . . . 5  |-  -.  om  C_  (/)
15 ndmfv 5746 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  ( aleph `  A )  =  (/) )
1615sseq2d 3368 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  ( om  C_  ( aleph `  A
)  <->  om  C_  (/) ) )
1714, 16mtbiri 295 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  -.  om  C_  ( aleph `  A )
)
1817con4i 124 . . 3  |-  ( om  C_  ( aleph `  A )  ->  A  e.  dom  aleph )
19 alephfnon 7935 . . . 4  |-  aleph  Fn  On
20 fndm 5535 . . . 4  |-  ( aleph  Fn  On  ->  dom  aleph  =  On )
2119, 20ax-mp 8 . . 3  |-  dom  aleph  =  On
2218, 21syl6eleq 2525 . 2  |-  ( om  C_  ( aleph `  A )  ->  A  e.  On )
237, 22impbii 181 1  |-  ( A  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   (/)c0 3620   Ord word 4572   Oncon0 4573   omcom 4836   dom cdm 4869    Fn wfn 5440   ` cfv 5445   alephcale 7812
This theorem is referenced by:  alephislim  7953  cardalephex  7960  isinfcard  7962  alephval3  7980  alephval2  8436  alephadd  8441  alephmul  8442  alephexp1  8443  alephsuc3  8444  alephexp2  8445  alephreg  8446  pwcfsdom  8447  cfpwsdom  8448  gchaleph  8539  gchaleph2  8540
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-oi 7468  df-har 7515  df-card 7815  df-aleph 7816
  Copyright terms: Public domain W3C validator