MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephgeom Unicode version

Theorem alephgeom 7889
Description: Every aleph is greater than or equal to the set of natural numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephgeom  |-  ( A  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  A ) )

Proof of Theorem alephgeom
StepHypRef Expression
1 aleph0 7873 . . 3  |-  ( aleph `  (/) )  =  om
2 0ss 3592 . . . 4  |-  (/)  C_  A
3 0elon 4568 . . . . 5  |-  (/)  e.  On
4 alephord3 7885 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( (/)  C_  A  <->  ( aleph `  (/) )  C_  ( aleph `  A )
) )
53, 4mpan 652 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/)  C_  A  <->  ( aleph `  (/) )  C_  ( aleph `  A )
) )
62, 5mpbii 203 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( aleph `  (/) )  C_  ( aleph `  A ) )
71, 6syl5eqssr 3329 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  om  C_  ( aleph `  A ) )
8 peano1 4797 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
9 ordom 4787 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
10 ord0 4567 . . . . . . . 8  |-  Ord  (/)
11 ordtri1 4548 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  Ord  (/) )  ->  ( om  C_  (/) 
<->  -.  (/)  e.  om )
)
129, 10, 11mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( om  C_  (/)  <->  -.  (/)  e.  om )
1312con2bii 323 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  om  <->  -.  om  C_  (/) )
148, 13mpbi 200 . . . . 5  |-  -.  om  C_  (/)
15 ndmfv 5688 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  ( aleph `  A )  =  (/) )
1615sseq2d 3312 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  ( om  C_  ( aleph `  A
)  <->  om  C_  (/) ) )
1714, 16mtbiri 295 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  -.  om  C_  ( aleph `  A )
)
1817con4i 124 . . 3  |-  ( om  C_  ( aleph `  A )  ->  A  e.  dom  aleph )
19 alephfnon 7872 . . . 4  |-  aleph  Fn  On
20 fndm 5477 . . . 4  |-  ( aleph  Fn  On  ->  dom  aleph  =  On )
2119, 20ax-mp 8 . . 3  |-  dom  aleph  =  On
2218, 21syl6eleq 2470 . 2  |-  ( om  C_  ( aleph `  A )  ->  A  e.  On )
237, 22impbii 181 1  |-  ( A  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3256   (/)c0 3564   Ord word 4514   Oncon0 4515   omcom 4778   dom cdm 4811    Fn wfn 5382   ` cfv 5387   alephcale 7749
This theorem is referenced by:  alephislim  7890  cardalephex  7897  isinfcard  7899  alephval3  7917  alephval2  8373  alephadd  8378  alephmul  8379  alephexp1  8380  alephsuc3  8381  alephexp2  8382  alephreg  8383  pwcfsdom  8384  cfpwsdom  8385  gchaleph  8476  gchaleph2  8477
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-oi 7405  df-har 7452  df-card 7752  df-aleph 7753
  Copyright terms: Public domain W3C validator