Theorem alephlim 4844

Description: Value of the aleph function at a limit ordinal. Definition 12(iii) of [Suppes] p. 91.

Assertion

Ref	Expression
alephlim	|- ((A e. B /\ Lim A) -> (aleph` A) = U_x e. A (aleph` x))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem alephlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdglim2a 3941	. 2 |- ((A e. B /\ Lim A) -> (rec({<.y, z>. | z = |^|{w e. On | y ~< w}}, om)` A) = U_x e. A (rec({<.y, z>. | z = |^|{w e. On | y ~< w}}, om)` x))
2		df-aleph 4797	. . 3 |- aleph = rec({<.y, z>. | z = |^|{w e. On | y ~< w}}, om)
3	2	fveq1i 3716	. 2 |- (aleph` A) = (rec({<.y, z>. | z = |^|{w e. On | y ~< w}}, om)` A)
4	2	fveq1i 3716	. . . 4 |- (aleph` x) = (rec({<.y, z>. | z = |^|{w e. On | y ~< w}}, om)` x)
5	4	a1i 8	. . 3 |- (x e. A -> (aleph` x) = (rec({<.y, z>. | z = |^|{w e. On | y ~< w}}, om)` x))
6	5	iuneq2i 2575	. 2 |- U_x e. A (aleph` x) = U_x e. A (rec({<.y, z>. | z = |^|{w e. On | y ~< w}}, om)` x)
7	1, 3, 6	3eqtr4g 1528	1 |- ((A e. B /\ Lim A) -> (aleph` A) = U_x e. A (aleph` x))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  {crab 1645  |^|cint 2528  U_ciun 2561   class class class wbr 2614  {copab 2661  Oncon0 2943  Lim wlim 2944  omcom 3126  ` cfv 3177  reccrdg 3922   ~< csdm 4356  alephcale 4794

This theorem is referenced by:  alephon 4845  alephcard 4847  alephordlem2 4853  alephordi 4854  cardaleph 4865

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-aleph 4797

Copyright terms: Public domain