Theorem alephlim 5014

Description: Value of the aleph function at a limit ordinal. Definition 12(iii) of [Suppes] p. 91.

Assertion

Ref	Expression
alephlim	|- ((A e. B /\ Lim A) -> (aleph` A) = U_x e. A (aleph` x))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem alephlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdglim2a 4251	. 2 |- ((A e. B /\ Lim A) -> (rec({<.y, z>. | z = |^|{w e. On | y ~< w}}, om)` A) = U_x e. A (rec({<.y, z>. | z = |^|{w e. On | y ~< w}}, om)` x))
2		df-aleph 4963	. . 3 |- aleph = rec({<.y, z>. | z = |^|{w e. On | y ~< w}}, om)
3	2	fveq1i 3836	. 2 |- (aleph` A) = (rec({<.y, z>. | z = |^|{w e. On | y ~< w}}, om)` A)
4	2	fveq1i 3836	. . . 4 |- (aleph` x) = (rec({<.y, z>. | z = |^|{w e. On | y ~< w}}, om)` x)
5	4	a1i 8	. . 3 |- (x e. A -> (aleph` x) = (rec({<.y, z>. | z = |^|{w e. On | y ~< w}}, om)` x))
6	5	iuneq2i 2648	. 2 |- U_x e. A (aleph` x) = U_x e. A (rec({<.y, z>. | z = |^|{w e. On | y ~< w}}, om)` x)
7	1, 3, 6	3eqtr4g 1574	1 |- ((A e. B /\ Lim A) -> (aleph` A) = U_x e. A (aleph` x))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  {crab 1694  |^|cint 2600  U_ciun 2633   class class class wbr 2692  {copab 2740  Oncon0 2975  Lim wlim 2976  omcom 3218  ` cfv 3263  reccrdg 4232   ~< csdm 4507  alephcale 4960

This theorem is referenced by:  alephon 5015  alephcard 5017  alephordlem2 5023  alephordi 5024  cardaleph 5035  omsubsdomlem2 11441  elomsubsd 11446  omsublim 11448  infenomsub 11450

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-fv 3279  df-rdg 4233  df-aleph 4963

Copyright terms: Public domain