Theorem alephord2i 7700

Description: Ordering property of the aleph function. Theorem 66 of [Suppes] p. 229. (Contributed by NM, 25-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
alephord2i	|- ( B e. On -> ( A e. B -> ( aleph ` A ) e. ( aleph ` B ) ) )

Proof of Theorem alephord2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onelon 4416	. . 3 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> A e. On )
2		alephord2 7699	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A e. B <-> ( aleph ` A ) e. ( aleph ` B ) ) )
3	2	biimpd 198	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A e. B -> ( aleph ` A ) e. ( aleph ` B ) ) )
4	3	expimpd 586	. . 3 |- ( A e. On -> ( ( B e. On /\ A e. B ) -> ( aleph ` A ) e. ( aleph ` B ) ) )
5	1, 4	mpcom 32	. 2 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> ( aleph ` A ) e. ( aleph ` B ) )
6	5	ex 423	1 |- ( B e. On -> ( A e. B -> ( aleph ` A ) e. ( aleph ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 358   e. wcel 1685   Oncon0 4391   ` cfv 5221   alephcale 7565

This theorem is referenced by:  alephle  7711  alephsmo  7725  alephfp  7731  alephval3  7733  alephsing  7898  pwcfsdom  8201  winalim2  8314

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-oi 7221  df-har 7268  df-card 7568  df-aleph 7569