Theorem alephord2i 7672

Description: Ordering property of the aleph function. Theorem 66 of [Suppes] p. 229. (Contributed by NM, 25-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
alephord2i	|- ( B e. On -> ( A e. B -> ( aleph ` A ) e. ( aleph ` B ) ) )

Proof of Theorem alephord2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onelon 4389	. . 3 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> A e. On )
2		alephord2 7671	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A e. B <-> ( aleph ` A ) e. ( aleph ` B ) ) )
3	2	biimpd 200	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A e. B -> ( aleph ` A ) e. ( aleph ` B ) ) )
4	3	expimpd 589	. . 3 |- ( A e. On -> ( ( B e. On /\ A e. B ) -> ( aleph ` A ) e. ( aleph ` B ) ) )
5	1, 4	mpcom 34	. 2 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> ( aleph ` A ) e. ( aleph ` B ) )
6	5	ex 425	1 |- ( B e. On -> ( A e. B -> ( aleph ` A ) e. ( aleph ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 6   /\ wa 360   e. wcel 1621   Oncon0 4364   ` cfv 4673   alephcale 7537

This theorem is referenced by:  alephle  7683  alephsmo  7697  alephfp  7703  alephval3  7705  alephsing  7870  pwcfsdom  8173  winalim2  8286

This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-oi 7193  df-har 7240  df-card 7540  df-aleph 7541