Theorem alephord2i 4864

Description: Ordering property of the aleph function. Theorem 66 of [Suppes] p. 229.

Assertion

Ref	Expression
alephord2i	|- (B e. On -> (A e. B -> (aleph` A) e. (aleph` B)))

Proof of Theorem alephord2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onelon 2969	. . 3 |- ((B e. On /\ A e. B) -> A e. On)
2		alephord2 4863	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A e. B <-> (aleph` A) e. (aleph` B)))
3	2	biimpd 153	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A e. B -> (aleph` A) e. (aleph` B)))
4	3	ex 373	. . . 4 |- (A e. On -> (B e. On -> (A e. B -> (aleph` A) e. (aleph` B))))
5	4	imp3a 361	. . 3 |- (A e. On -> ((B e. On /\ A e. B) -> (aleph` A) e. (aleph` B)))
6	1, 5	mpcom 49	. 2 |- ((B e. On /\ A e. B) -> (aleph` A) e. (aleph` B))
7	6	ex 373	1 |- (B e. On -> (A e. B -> (aleph` A) e. (aleph` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 957  Oncon0 2945  ` cfv 3179  alephcale 4801

This theorem is referenced by:  alephle 4871  alephfp 4887  alephval3 4890

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-reg 4580  ax-inf2 4612  ax-ac 4731

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-er 4258  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-card 4803  df-aleph 4804

Copyright terms: Public domain