Theorem alephord3 4889

Description: Ordering property of the aleph function.

Assertion

Ref	Expression
alephord3	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ B <-> (aleph` A) (_ (aleph` B)))

Proof of Theorem alephord3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephord2 4887	. . . 4 |- ((B e. On /\ A e. On) -> (B e. A <-> (aleph` B) e. (aleph` A)))
2	1	ancoms 438	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (B e. A <-> (aleph` B) e. (aleph` A)))
3	2	negbid 613	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (-. B e. A <-> -. (aleph` B) e. (aleph` A)))
4		ontri1 2987	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ B <-> -. B e. A))
5		alephon 4876	. . . 4 |- (aleph` A) e. On
6		alephon 4876	. . . 4 |- (aleph` B) e. On
7		ontri1 2987	. . . 4 |- (((aleph` A) e. On /\ (aleph` B) e. On) -> ((aleph` A) (_ (aleph` B) <-> -. (aleph` B) e. (aleph` A)))
8	5, 6, 7	mp2an 699	. . 3 |- ((aleph` A) (_ (aleph` B) <-> -. (aleph` B) e. (aleph` A))
9	8	a1i 8	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((aleph` A) (_ (aleph` B) <-> -. (aleph` B) e. (aleph` A)))
10	3, 4, 9	3bitr4d 552	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ B <-> (aleph` A) (_ (aleph` B)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 960   (_ wss 2050  Oncon0 2954  ` cfv 3188  alephcale 4824

This theorem is referenced by:  aleph11 4890  alephgeom 4893  alephexp1 7586

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-er 4267  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-fin 4377  df-card 4826  df-aleph 4827

Copyright terms: Public domain