Theorem alephordlem1 5022

Description: Lemma for alephordi 5024.

Assertion

Ref	Expression
alephordlem1	|- (A e. On -> (aleph` A) ~< (aleph` suc A))

Proof of Theorem alephordlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephsuc 5016	. 2 |- (A e. On -> (aleph` suc A) = |^|{x e. On | (aleph` A) ~< x})
2		alephon 5015	. . . 4 |- (aleph` A) e. On
3		numthcor 4932	. . . 4 |- ((aleph` A) e. On -> E.x e. On (aleph` A) ~< x)
4	2, 3	ax-mp 7	. . 3 |- E.x e. On (aleph` A) ~< x
5		ax-17 1007	. . . . 5 |- (y e. (aleph` A) -> A.x y e. (aleph` A))
6		ax-17 1007	. . . . 5 |- (y e. ~< -> A.x y e. ~< )
7		hbrab1 1818	. . . . . 6 |- (y e. {x e. On | (aleph` A) ~< x} -> A.x y e. {x e. On | (aleph` A) ~< x})
8	7	hbint 2610	. . . . 5 |- (y e. |^|{x e. On | (aleph` A) ~< x} -> A.x y e. |^|{x e. On | (aleph` A) ~< x})
9	5, 6, 8	hbbr 2731	. . . 4 |- ((aleph` A) ~< |^|{x e. On | (aleph` A) ~< x} -> A.x(aleph` A) ~< |^|{x e. On | (aleph` A) ~< x})
10		breq2 2696	. . . 4 |- (x = |^|{x e. On | (aleph` A) ~< x} -> ((aleph` A) ~< x <-> (aleph` A) ~< |^|{x e. On | (aleph` A) ~< x}))
11	9, 10	onminsb 3155	. . 3 |- (E.x e. On (aleph` A) ~< x -> (aleph` A) ~< |^|{x e. On | (aleph` A) ~< x})
12	4, 11	ax-mp 7	. 2 |- (aleph` A) ~< |^|{x e. On | (aleph` A) ~< x}
13	1, 12	syl5breqr 2724	1 |- (A e. On -> (aleph` A) ~< (aleph` suc A))

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 994  E.wrex 1692  {crab 1694  |^|cint 2600   class class class wbr 2692  Oncon0 2975  suc csuc 2977  ` cfv 3263   ~< csdm 4507  alephcale 4960

This theorem is referenced by:  alephordi 5024  alephsucdom 5030  alephsuc3 7797

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770  ax-ac 4890

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-rdg 4233  df-er 4401  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-aleph 4963

Copyright terms: Public domain