Theorem alephordlem2 5023

Description: Lemma for alephordi 5024.

Assertion

Ref	Expression
alephordlem2	|- ((B e. V /\ Lim B) -> (A e. B -> (aleph` A) ~<_ (aleph` B)))

Proof of Theorem alephordlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephlim 5014	. . . 4 |- ((B e. V /\ Lim B) -> (aleph` B) = U_x e. B (aleph` x))
2	1	sseq2d 2141	. . 3 |- ((B e. V /\ Lim B) -> ((aleph` A) (_ (aleph` B) <-> (aleph` A) (_ U_x e. B (aleph` x)))
3		fveq2 3835	. . . 4 |- (x = A -> (aleph` x) = (aleph` A))
4	3	ssiun2s 2662	. . 3 |- (A e. B -> (aleph` A) (_ U_x e. B (aleph` x))
5	2, 4	syl5bir 208	. 2 |- ((B e. V /\ Lim B) -> (A e. B -> (aleph` A) (_ (aleph` B)))
6		alephon 5015	. . 3 |- (aleph` A) e. On
7		ssdomg 4549	. . 3 |- ((aleph` A) e. On -> ((aleph` A) (_ (aleph` B) -> (aleph` A) ~<_ (aleph` B)))
8	6, 7	ax-mp 7	. 2 |- ((aleph` A) (_ (aleph` B) -> (aleph` A) ~<_ (aleph` B))
9	5, 8	syl6 22	1 |- ((B e. V /\ Lim B) -> (A e. B -> (aleph` A) ~<_ (aleph` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   e. wcel 994  Vcvv 1857   (_ wss 2099  U_ciun 2633   class class class wbr 2692  Oncon0 2975  Lim wlim 2976  ` cfv 3263   ~<_ cdom 4506  alephcale 4960

This theorem is referenced by:  alephordi 5024

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-rdg 4233  df-en 4509  df-dom 4510  df-aleph 4963

Copyright terms: Public domain