Theorem alephordlem2 4873

Description: Lemma for alephordi 4874.

Assertion

Ref	Expression
alephordlem2	|- ((B e. V /\ Lim B) -> (A e. B -> (aleph` A) ~<_ (aleph` B)))

Proof of Theorem alephordlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephlim 4864	. . . 4 |- ((B e. V /\ Lim B) -> (aleph` B) = U_x e. B (aleph` x))
2	1	sseq2d 2089	. . 3 |- ((B e. V /\ Lim B) -> ((aleph` A) (_ (aleph` B) <-> (aleph` A) (_ U_x e. B (aleph` x)))
3		fveq2 3724	. . . 4 |- (x = A -> (aleph` x) = (aleph` A))
4	3	ssiun2s 2594	. . 3 |- (A e. B -> (aleph` A) (_ U_x e. B (aleph` x))
5	2, 4	syl5bir 210	. 2 |- ((B e. V /\ Lim B) -> (A e. B -> (aleph` A) (_ (aleph` B)))
6		alephon 4865	. . 3 |- (aleph` A) e. On
7		ssdomg 4408	. . 3 |- ((aleph` A) e. On -> ((aleph` A) (_ (aleph` B) -> (aleph` A) ~<_ (aleph` B)))
8	6, 7	ax-mp 7	. 2 |- ((aleph` A) (_ (aleph` B) -> (aleph` A) ~<_ (aleph` B))
9	5, 8	syl6 22	1 |- ((B e. V /\ Lim B) -> (A e. B -> (aleph` A) ~<_ (aleph` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958  Vcvv 1811   (_ wss 2047  U_ciun 2566   class class class wbr 2619  Oncon0 2948  Lim wlim 2949  ` cfv 3182   ~<_ cdom 4365  alephcale 4814

This theorem is referenced by:  alephordi 4874

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-en 4368  df-dom 4369  df-aleph 4817

Copyright terms: Public domain