MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephprc Unicode version

Theorem alephprc 7680
Description: The class of all transfinite cardinal numbers (the range of the aleph function) is a proper class. Proposition 10.26 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephprc  |-  -.  ran  aleph  e.  _V

Proof of Theorem alephprc
StepHypRef Expression
1 cardprc 7567 . . . 4  |-  { x  |  ( card `  x
)  =  x }  e/  _V
2 df-nel 2422 . . . 4  |-  ( { x  |  ( card `  x )  =  x }  e/  _V  <->  -.  { x  |  ( card `  x
)  =  x }  e.  _V )
31, 2mpbi 201 . . 3  |-  -.  {
x  |  ( card `  x )  =  x }  e.  _V
4 cardnum 7675 . . . 4  |-  { x  |  ( card `  x
)  =  x }  =  ( om  u.  ran  aleph )
54eleq1i 2319 . . 3  |-  ( { x  |  ( card `  x )  =  x }  e.  _V  <->  ( om  u.  ran  aleph )  e.  _V )
63, 5mtbi 291 . 2  |-  -.  ( om  u.  ran  aleph )  e. 
_V
7 omex 7298 . . 3  |-  om  e.  _V
8 unexg 4479 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  ran  aleph  e.  _V )  ->  ( om  u.  ran  aleph
)  e.  _V )
97, 8mpan 654 . 2  |-  ( ran  aleph  e.  _V  ->  ( om  u.  ran  aleph )  e. 
_V )
106, 9mto 169 1  |-  -.  ran  aleph  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2242    e/ wnel 2420   _Vcvv 2757    u. cun 3111   omcom 4614   ran crn 4648   ` cfv 4659   cardccrd 7522   alephcale 7523
This theorem is referenced by:  unialeph  7682
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-oi 7179  df-har 7226  df-card 7526  df-aleph 7527
  Copyright terms: Public domain W3C validator