MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephprc Unicode version

Theorem alephprc 7659
Description: The class of all transfinite cardinal numbers (the range of the aleph function) is a proper class. Proposition 10.26 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephprc  |-  -.  ran  aleph  e.  _V

Proof of Theorem alephprc
StepHypRef Expression
1 cardprc 7546 . . . 4  |-  { x  |  ( card `  x
)  =  x }  e/  _V
2 df-nel 2422 . . . 4  |-  ( { x  |  ( card `  x )  =  x }  e/  _V  <->  -.  { x  |  ( card `  x
)  =  x }  e.  _V )
31, 2mpbi 201 . . 3  |-  -.  {
x  |  ( card `  x )  =  x }  e.  _V
4 cardnum 7654 . . . 4  |-  { x  |  ( card `  x
)  =  x }  =  ( om  u.  ran  aleph )
54eleq1i 2319 . . 3  |-  ( { x  |  ( card `  x )  =  x }  e.  _V  <->  ( om  u.  ran  aleph )  e.  _V )
63, 5mtbi 291 . 2  |-  -.  ( om  u.  ran  aleph )  e. 
_V
7 omex 7277 . . 3  |-  om  e.  _V
8 unexg 4458 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  ran  aleph  e.  _V )  ->  ( om  u.  ran  aleph
)  e.  _V )
97, 8mpan 654 . 2  |-  ( ran  aleph  e.  _V  ->  ( om  u.  ran  aleph )  e. 
_V )
106, 9mto 169 1  |-  -.  ran  aleph  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2242    e/ wnel 2420   _Vcvv 2740    u. cun 3092   omcom 4593   ran crn 4627   ` cfv 4638   cardccrd 7501   alephcale 7502
This theorem is referenced by:  unialeph  7661
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-oi 7158  df-har 7205  df-card 7505  df-aleph 7506
  Copyright terms: Public domain W3C validator