Theorem alephprc 4865

Description: The class of all transfinite cardinal numbers (the range of the aleph function) is a proper class. Proposition 10.26 of [TakeutiZaring] p. 90.

Assertion

Ref	Expression
alephprc	|- -. ran aleph e. V

Proof of Theorem alephprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardprc 4833	. . 3 |- -. {x | (card` x) = x} e. V
2		cardnum 4861	. . . 4 |- {x | (card` x) = x} = (om u. ran aleph)
3	2	eleq1i 1529	. . 3 |- ({x | (card` x) = x} e. V <-> (om u. ran aleph) e. V)
4	1, 3	mtbi 191	. 2 |- -. (om u. ran aleph) e. V
5		omex 4599	. . 3 |- om e. V
6		unexg 2865	. . 3 |- ((om e. V /\ ran aleph e. V) -> (om u. ran aleph) e. V)
7	5, 6	mpan 693	. 2 |- (ran aleph e. V -> (om u. ran aleph) e. V)
8	4, 7	mto 106	1 |- -. ran aleph e. V

Syntax hints:  -. wn 2   = wceq 953   e. wcel 955  {cab 1456  Vcvv 1802   u. cun 2035  omcom 3121  ran crn 3161  ` cfv 3172  cardccrd 4785  alephcale 4786

This theorem is referenced by:  unialeph 4867

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-er 4245  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-card 4788  df-aleph 4789

Copyright terms: Public domain