MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephprc Unicode version

Theorem alephprc 7721
Description: The class of all transfinite cardinal numbers (the range of the aleph function) is a proper class. Proposition 10.26 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephprc  |-  -.  ran  aleph  e.  _V

Proof of Theorem alephprc
StepHypRef Expression
1 cardprc 7608 . . . 4  |-  { x  |  ( card `  x
)  =  x }  e/  _V
2 df-nel 2450 . . . 4  |-  ( { x  |  ( card `  x )  =  x }  e/  _V  <->  -.  { x  |  ( card `  x
)  =  x }  e.  _V )
31, 2mpbi 201 . . 3  |-  -.  {
x  |  ( card `  x )  =  x }  e.  _V
4 cardnum 7716 . . . 4  |-  { x  |  ( card `  x
)  =  x }  =  ( om  u.  ran  aleph )
54eleq1i 2347 . . 3  |-  ( { x  |  ( card `  x )  =  x }  e.  _V  <->  ( om  u.  ran  aleph )  e.  _V )
63, 5mtbi 291 . 2  |-  -.  ( om  u.  ran  aleph )  e. 
_V
7 omex 7339 . . 3  |-  om  e.  _V
8 unexg 4520 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  ran  aleph  e.  _V )  ->  ( om  u.  ran  aleph
)  e.  _V )
97, 8mpan 653 . 2  |-  ( ran  aleph  e.  _V  ->  ( om  u.  ran  aleph )  e. 
_V )
106, 9mto 169 1  |-  -.  ran  aleph  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    = wceq 1624    e. wcel 1685   {cab 2270    e/ wnel 2448   _Vcvv 2789    u. cun 3151   omcom 4655   ran crn 4689   ` cfv 5221   cardccrd 7563   alephcale 7564
This theorem is referenced by:  unialeph  7723
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-oi 7220  df-har 7267  df-card 7567  df-aleph 7568
  Copyright terms: Public domain W3C validator