Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephsing Structured version   Unicode version

Theorem alephsing 8187
 Description: The cofinality of a limit aleph is the same as the cofinality of its argument, so if , then is singular. Conversely, if is regular (i.e. weakly inaccessible), then , so has to be rather large (see alephfp 8020). Proposition 11.13 of [TakeutiZaring] p. 103. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
alephsing

Proof of Theorem alephsing
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephfnon 7977 . . . . . . 7
2 fnfun 5571 . . . . . . 7
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6
4 simpl 445 . . . . . 6
5 resfunexg 5986 . . . . . 6
63, 4, 5sylancr 646 . . . . 5
7 limelon 4673 . . . . . . . 8
8 onss 4800 . . . . . . . 8
97, 8syl 16 . . . . . . 7
10 fnssres 5587 . . . . . . 7
111, 9, 10sylancr 646 . . . . . 6
12 fvres 5774 . . . . . . . . . . 11
1312adantl 454 . . . . . . . . . 10
14 alephord2i 7989 . . . . . . . . . . 11
1514imp 420 . . . . . . . . . 10
1613, 15eqeltrd 2516 . . . . . . . . 9
177, 16sylan 459 . . . . . . . 8
1817ralrimiva 2795 . . . . . . 7
19 fnfvrnss 5925 . . . . . . 7
2011, 18, 19syl2anc 644 . . . . . 6
21 df-f 5487 . . . . . 6
2211, 20, 21sylanbrc 647 . . . . 5
23 alephsmo 8014 . . . . . 6
24 fndm 5573 . . . . . . . 8
251, 24ax-mp 5 . . . . . . 7
267, 25syl6eleqr 2533 . . . . . 6
27 smores 6643 . . . . . 6
2823, 26, 27sylancr 646 . . . . 5
29 alephlim 7979 . . . . . . . 8
3029eleq2d 2509 . . . . . . 7
31 eliun 4121 . . . . . . . 8
32 alephon 7981 . . . . . . . . . 10
3332onelssi 4719 . . . . . . . . 9
3433reximi 2819 . . . . . . . 8
3531, 34sylbi 189 . . . . . . 7
3630, 35syl6bi 221 . . . . . 6
3736ralrimiv 2794 . . . . 5
38 feq1 5605 . . . . . . . 8
39 smoeq 6641 . . . . . . . 8
40 fveq1 5756 . . . . . . . . . . . 12
4140, 12sylan9eq 2494 . . . . . . . . . . 11
4241sseq2d 3362 . . . . . . . . . 10
4342rexbidva 2728 . . . . . . . . 9
4443ralbidv 2731 . . . . . . . 8
4538, 39, 443anbi123d 1255 . . . . . . 7
4645spcegv 3043 . . . . . 6
4746imp 420 . . . . 5
486, 22, 28, 37, 47syl13anc 1187 . . . 4
49 alephon 7981 . . . . 5
50 cfcof 8185 . . . . 5
5149, 7, 50sylancr 646 . . . 4
5248, 51mpd 15 . . 3
5352expcom 426 . 2
54 cf0 8162 . . 3
55 fvprc 5751 . . . 4
5655fveq2d 5761 . . 3
57 fvprc 5751 . . 3
5854, 56, 573eqtr4a 2500 . 2
5953, 58pm2.61d1 154 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 360   w3a 937  wex 1551   wceq 1653   wcel 1727  wral 2711  wrex 2712  cvv 2962   wss 3306  c0 3613  ciun 4117  con0 4610   wlim 4611   cdm 4907   crn 4908   cres 4909   wfun 5477   wfn 5478  wf 5479  cfv 5483   wsmo 6636  cale 7854  ccf 7855 This theorem is referenced by:  alephom  8491  winafp  8603 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-smo 6637  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-oi 7508  df-har 7555  df-card 7857  df-aleph 7858  df-cf 7859  df-acn 7860
 Copyright terms: Public domain W3C validator