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Theorem alephval2 8431
Description: An alternate way to express the value of the aleph function for nonzero arguments. Theorem 64 of [Suppes] p. 229. (Contributed by NM, 15-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephval2  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( aleph `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem alephval2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephordi 7939 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  (
y  e.  A  -> 
( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A )
) )
21ralrimiv 2775 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A ) )
3 alephon 7934 . . . . 5  |-  ( aleph `  A )  e.  On
42, 3jctil 524 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  (
( aleph `  A )  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A ) ) )
5 breq2 4203 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( aleph `  A
)  ->  ( ( aleph `  y )  ~<  x 
<->  ( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A )
) )
65ralbidv 2712 . . . . 5  |-  ( x  =  ( aleph `  A
)  ->  ( A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x 
<-> 
A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A )
) )
76elrab 3079 . . . 4  |-  ( (
aleph `  A )  e. 
{ x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  <->  ( ( aleph `  A )  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A ) ) )
84, 7sylibr 204 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( aleph `  A )  e. 
{ x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
98adantr 452 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( aleph `  A )  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
10 cardsdomelir 7844 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( card `  ( aleph `  A ) )  ->  z  ~<  ( aleph `  A ) )
11 alephcard 7935 . . . . . 6  |-  ( card `  ( aleph `  A )
)  =  ( aleph `  A )
1211eqcomi 2434 . . . . 5  |-  ( aleph `  A )  =  (
card `  ( aleph `  A
) )
1310, 12eleq2s 2522 . . . 4  |-  ( z  e.  ( aleph `  A
)  ->  z  ~<  (
aleph `  A ) )
14 omex 7582 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
15 vex 2946 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
16 entri3 8418 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( om  ~<_  z  \/  z  ~<_  om ) )
1714, 15, 16mp2an 654 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  z  \/  z  ~<_  om )
18 carddom 8413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( om  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( ( card `  om )  C_  ( card `  z
)  <->  om  ~<_  z ) )
1914, 15, 18mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  om )  C_  ( card `  z )  <->  om  ~<_  z )
20 cardom 7857 . . . . . . . . . 10  |-  ( card `  om )  =  om
2120sseq1i 3359 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  om )  C_  ( card `  z )  <->  om  C_  ( card `  z
) )
2219, 21bitr3i 243 . . . . . . . 8  |-  ( om  ~<_  z  <->  om  C_  ( card `  z ) )
23 cardidm 7830 . . . . . . . . . 10  |-  ( card `  ( card `  z
) )  =  (
card `  z )
24 cardalephex 7955 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  C_  ( card `  z
)  ->  ( ( card `  ( card `  z
) )  =  (
card `  z )  <->  E. x  e.  On  ( card `  z )  =  ( aleph `  x )
) )
2523, 24mpbii 203 . . . . . . . . 9  |-  ( om  C_  ( card `  z
)  ->  E. x  e.  On  ( card `  z
)  =  ( aleph `  x ) )
26 alephord 7940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( x  e.  A  <->  (
aleph `  x )  ~< 
( aleph `  A )
) )
2726ancoms 440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( x  e.  A  <->  (
aleph `  x )  ~< 
( aleph `  A )
) )
2815cardid 8406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( card `  z )  ~~  z
29 sdomen1 7237 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
card `  z )  ~~  z  ->  ( (
card `  z )  ~<  ( aleph `  A )  <->  z 
~<  ( aleph `  A )
) )
3028, 29ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
card `  z )  ~<  ( aleph `  A )  <->  z 
~<  ( aleph `  A )
)
31 breq1 4202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( ( card `  z )  ~< 
( aleph `  A )  <->  (
aleph `  x )  ~< 
( aleph `  A )
) )
3230, 31syl5rbbr 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( ( aleph `  x )  ~< 
( aleph `  A )  <->  z 
~<  ( aleph `  A )
) )
3327, 32sylan9bb 681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  ( card `  z
)  =  ( aleph `  x ) )  -> 
( x  e.  A  <->  z 
~<  ( aleph `  A )
) )
34 fveq2 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  ( aleph `  y )  =  ( aleph `  x )
)
3534breq1d 4209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
( aleph `  y )  ~<  z  <->  ( aleph `  x
)  ~<  z ) )
3635rspcv 3035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z  ->  ( aleph `  x )  ~<  z
) )
37 sdomirr 7230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  ( aleph `  x )  ~< 
( aleph `  x )
38 sdomen2 7238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
card `  z )  ~~  z  ->  ( (
aleph `  x )  ~< 
( card `  z )  <->  (
aleph `  x )  ~< 
z ) )
3928, 38ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
aleph `  x )  ~< 
( card `  z )  <->  (
aleph `  x )  ~< 
z )
40 breq2 4203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( ( aleph `  x )  ~< 
( card `  z )  <->  (
aleph `  x )  ~< 
( aleph `  x )
) )
4139, 40syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( ( aleph `  x )  ~< 
z  <->  ( aleph `  x
)  ~<  ( aleph `  x
) ) )
4237, 41mtbiri 295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  -.  ( aleph `  x )  ~< 
z )
4336, 42nsyli 135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  (
( card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
) )
4443com12 29 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( x  e.  A  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~< 
z ) )
4544adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  ( card `  z
)  =  ( aleph `  x ) )  -> 
( x  e.  A  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y
)  ~<  z ) )
4633, 45sylbird 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  ( card `  z
)  =  ( aleph `  x ) )  -> 
( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z ) )
4746exp31 588 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  (
x  e.  On  ->  ( ( card `  z
)  =  ( aleph `  x )  ->  (
z  ~<  ( aleph `  A
)  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
) ) ) )
4847rexlimdv 2816 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. x  e.  On  ( card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y
)  ~<  z ) ) )
4925, 48syl5 30 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  ( om  C_  ( card `  z
)  ->  ( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y
)  ~<  z ) ) )
5022, 49syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( om 
~<_  z  ->  ( z 
~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y
)  ~<  z ) ) )
5150adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( om  ~<_  z  -> 
( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z ) ) )
52 ne0i 3621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
53 onelon 4593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
54 alephgeom 7947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  y ) )
55 alephon 7934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( aleph `  y )  e.  On
56 ssdomg 7139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
aleph `  y )  e.  On  ->  ( om  C_  ( aleph `  y )  ->  om  ~<_  ( aleph `  y
) ) )
5755, 56ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( om  C_  ( aleph `  y )  ->  om  ~<_  ( aleph `  y
) )
5854, 57sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  On  ->  om  ~<_  ( aleph `  y ) )
59 domtr 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  om  ~<_  ( aleph `  y ) )  -> 
z  ~<_  ( aleph `  y
) )
6058, 59sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  y  e.  On )  ->  z  ~<_  ( aleph `  y )
)
61 domnsym 7219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  ~<_  ( aleph `  y )  ->  -.  ( aleph `  y
)  ~<  z )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  y  e.  On )  ->  -.  ( aleph `  y )  ~<  z )
6353, 62sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  ( A  e.  On  /\  y  e.  A ) )  ->  -.  ( aleph `  y )  ~<  z )
6463expr 599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  A  e.  On )  ->  (
y  e.  A  ->  -.  ( aleph `  y )  ~<  z ) )
6564ralrimiv 2775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  A  e.  On )  ->  A. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~< 
z )
66 r19.2z 3704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~<  z )  ->  E. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~< 
z )
6766ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~<  z  ->  E. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~< 
z ) )
6852, 65, 67syl2im 36 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  A  ->  ( ( z  ~<_  om  /\  A  e.  On )  ->  E. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~< 
z ) )
69 rexnal 2703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~<  z  <->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
)
7068, 69syl6ib 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  A  ->  ( ( z  ~<_  om  /\  A  e.  On )  ->  -.  A. y  e.  A  (
aleph `  y )  ~< 
z ) )
7170com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  A  e.  On )  ->  ( (/) 
e.  A  ->  -.  A. y  e.  A  (
aleph `  y )  ~< 
z ) )
7271expimpd 587 . . . . . . . 8  |-  ( z  ~<_  om  ->  ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
) )
7372a1d 23 . . . . . . 7  |-  ( z  ~<_  om  ->  ( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
) ) )
7473com3r 75 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( z  ~<_  om  ->  ( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  (
aleph `  y )  ~< 
z ) ) )
7551, 74jaod 370 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( ( om  ~<_  z  \/  z  ~<_  om )  ->  (
z  ~<  ( aleph `  A
)  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
) ) )
7617, 75mpi 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z ) )
77 breq2 4203 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( aleph `  y )  ~<  x  <->  ( aleph `  y
)  ~<  z ) )
7877ralbidv 2712 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x  <->  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z ) )
7978elrab 3079 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } 
<->  ( z  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z ) )
8079simprbi 451 . . . . 5  |-  ( z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  ->  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z )
8180con3i 129 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z  ->  -.  z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
8213, 76, 81syl56 32 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( z  e.  (
aleph `  A )  ->  -.  z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } ) )
8382ralrimiv 2775 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  ->  A. z  e.  ( aleph `  A )  -.  z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
84 ssrab2 3415 . . 3  |-  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  C_  On
85 oneqmini 4619 . . 3  |-  ( { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  C_  On  ->  ( ( ( aleph `  A )  e.  {
x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  /\  A. z  e.  ( aleph `  A )  -.  z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )  -> 
( aleph `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } ) )
8684, 85ax-mp 8 . 2  |-  ( ( ( aleph `  A )  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  /\  A. z  e.  ( aleph `  A )  -.  z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )  -> 
( aleph `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
879, 83, 86syl2anc 643 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( aleph `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2593   A.wral 2692   E.wrex 2693   {crab 2696   _Vcvv 2943    C_ wss 3307   (/)c0 3615   |^|cint 4037   class class class wbr 4199   Oncon0 4568   omcom 4831   ` cfv 5440    ~~ cen 7092    ~<_ cdom 7093    ~< csdm 7094   cardccrd 7806   alephcale 7807
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-inf2 7580  ax-ac2 8327
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-se 4529  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-isom 5449  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-er 6891  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-fin 7099  df-oi 7463  df-har 7510  df-card 7810  df-aleph 7811  df-ac 7981
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