MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephval2 Unicode version

Theorem alephval2 8127
Description: An alternate way to express the value of the aleph function for nonzero arguments. Theorem 64 of [Suppes] p. 229. (Contributed by NM, 15-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephval2  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( aleph `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem alephval2
StepHypRef Expression
1 alephordi 7634 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  (
y  e.  A  -> 
( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A )
) )
21ralrimiv 2596 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A ) )
3 alephon 7629 . . . . 5  |-  ( aleph `  A )  e.  On
42, 3jctil 525 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  (
( aleph `  A )  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A ) ) )
5 breq2 3967 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( aleph `  A
)  ->  ( ( aleph `  y )  ~<  x 
<->  ( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A )
) )
65ralbidv 2534 . . . . 5  |-  ( x  =  ( aleph `  A
)  ->  ( A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x 
<-> 
A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A )
) )
76elrab 2874 . . . 4  |-  ( (
aleph `  A )  e. 
{ x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  <->  ( ( aleph `  A )  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A ) ) )
84, 7sylibr 205 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( aleph `  A )  e. 
{ x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
98adantr 453 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( aleph `  A )  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
10 cardsdomelir 7539 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( card `  ( aleph `  A ) )  ->  z  ~<  ( aleph `  A ) )
11 alephcard 7630 . . . . . 6  |-  ( card `  ( aleph `  A )
)  =  ( aleph `  A )
1211eqcomi 2260 . . . . 5  |-  ( aleph `  A )  =  (
card `  ( aleph `  A
) )
1310, 12eleq2s 2348 . . . 4  |-  ( z  e.  ( aleph `  A
)  ->  z  ~<  (
aleph `  A ) )
14 omex 7277 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
15 vex 2743 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
16 entri3 8114 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( om  ~<_  z  \/  z  ~<_  om ) )
1714, 15, 16mp2an 656 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  z  \/  z  ~<_  om )
18 carddom 8109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( om  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( ( card `  om )  C_  ( card `  z
)  <->  om  ~<_  z ) )
1914, 15, 18mp2an 656 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  om )  C_  ( card `  z )  <->  om  ~<_  z )
20 cardom 7552 . . . . . . . . . 10  |-  ( card `  om )  =  om
2120sseq1i 3144 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  om )  C_  ( card `  z )  <->  om  C_  ( card `  z
) )
2219, 21bitr3i 244 . . . . . . . 8  |-  ( om  ~<_  z  <->  om  C_  ( card `  z ) )
23 cardidm 7525 . . . . . . . . . 10  |-  ( card `  ( card `  z
) )  =  (
card `  z )
24 cardalephex 7650 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  C_  ( card `  z
)  ->  ( ( card `  ( card `  z
) )  =  (
card `  z )  <->  E. x  e.  On  ( card `  z )  =  ( aleph `  x )
) )
2523, 24mpbii 204 . . . . . . . . 9  |-  ( om  C_  ( card `  z
)  ->  E. x  e.  On  ( card `  z
)  =  ( aleph `  x ) )
26 alephord 7635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( x  e.  A  <->  (
aleph `  x )  ~< 
( aleph `  A )
) )
2726ancoms 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( x  e.  A  <->  (
aleph `  x )  ~< 
( aleph `  A )
) )
2815cardid 8102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( card `  z )  ~~  z
29 sdomen1 6938 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
card `  z )  ~~  z  ->  ( (
card `  z )  ~<  ( aleph `  A )  <->  z 
~<  ( aleph `  A )
) )
3028, 29ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
card `  z )  ~<  ( aleph `  A )  <->  z 
~<  ( aleph `  A )
)
31 breq1 3966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( ( card `  z )  ~< 
( aleph `  A )  <->  (
aleph `  x )  ~< 
( aleph `  A )
) )
3230, 31syl5rbbr 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( ( aleph `  x )  ~< 
( aleph `  A )  <->  z 
~<  ( aleph `  A )
) )
3327, 32sylan9bb 683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  ( card `  z
)  =  ( aleph `  x ) )  -> 
( x  e.  A  <->  z 
~<  ( aleph `  A )
) )
34 fveq2 5423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  ( aleph `  y )  =  ( aleph `  x )
)
3534breq1d 3973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
( aleph `  y )  ~<  z  <->  ( aleph `  x
)  ~<  z ) )
3635rcla4v 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z  ->  ( aleph `  x )  ~<  z
) )
37 sdomirr 6931 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  ( aleph `  x )  ~< 
( aleph `  x )
38 sdomen2 6939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
card `  z )  ~~  z  ->  ( (
aleph `  x )  ~< 
( card `  z )  <->  (
aleph `  x )  ~< 
z ) )
3928, 38ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
aleph `  x )  ~< 
( card `  z )  <->  (
aleph `  x )  ~< 
z )
40 breq2 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( ( aleph `  x )  ~< 
( card `  z )  <->  (
aleph `  x )  ~< 
( aleph `  x )
) )
4139, 40syl5bbr 252 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( ( aleph `  x )  ~< 
z  <->  ( aleph `  x
)  ~<  ( aleph `  x
) ) )
4237, 41mtbiri 296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  -.  ( aleph `  x )  ~< 
z )
4336, 42nsyli 135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  (
( card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
) )
4443com12 29 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( x  e.  A  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~< 
z ) )
4544adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  ( card `  z
)  =  ( aleph `  x ) )  -> 
( x  e.  A  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y
)  ~<  z ) )
4633, 45sylbird 228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  ( card `  z
)  =  ( aleph `  x ) )  -> 
( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z ) )
4746exp31 590 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  (
x  e.  On  ->  ( ( card `  z
)  =  ( aleph `  x )  ->  (
z  ~<  ( aleph `  A
)  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
) ) ) )
4847rexlimdv 2637 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. x  e.  On  ( card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y
)  ~<  z ) ) )
4925, 48syl5 30 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  ( om  C_  ( card `  z
)  ->  ( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y
)  ~<  z ) ) )
5022, 49syl5bi 210 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( om 
~<_  z  ->  ( z 
~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y
)  ~<  z ) ) )
5150adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( om  ~<_  z  -> 
( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z ) ) )
52 ne0i 3403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
53 onelon 4354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
54 alephgeom 7642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  y ) )
55 alephon 7629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( aleph `  y )  e.  On
56 ssdomg 6840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
aleph `  y )  e.  On  ->  ( om  C_  ( aleph `  y )  ->  om  ~<_  ( aleph `  y
) ) )
5755, 56ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( om  C_  ( aleph `  y )  ->  om  ~<_  ( aleph `  y
) )
5854, 57sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  On  ->  om  ~<_  ( aleph `  y ) )
59 domtr 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  om  ~<_  ( aleph `  y ) )  -> 
z  ~<_  ( aleph `  y
) )
6058, 59sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  y  e.  On )  ->  z  ~<_  ( aleph `  y )
)
61 domnsym 6920 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  ~<_  ( aleph `  y )  ->  -.  ( aleph `  y
)  ~<  z )
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  y  e.  On )  ->  -.  ( aleph `  y )  ~<  z )
6353, 62sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  ( A  e.  On  /\  y  e.  A ) )  ->  -.  ( aleph `  y )  ~<  z )
6463expr 601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  A  e.  On )  ->  (
y  e.  A  ->  -.  ( aleph `  y )  ~<  z ) )
6564ralrimiv 2596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  A  e.  On )  ->  A. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~< 
z )
66 r19.2z 3485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~<  z )  ->  E. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~< 
z )
6766ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~<  z  ->  E. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~< 
z ) )
6852, 65, 67syl2im 36 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  A  ->  ( ( z  ~<_  om  /\  A  e.  On )  ->  E. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~< 
z ) )
69 rexnal 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~<  z  <->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
)
7068, 69syl6ib 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  A  ->  ( ( z  ~<_  om  /\  A  e.  On )  ->  -.  A. y  e.  A  (
aleph `  y )  ~< 
z ) )
7170com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  A  e.  On )  ->  ( (/) 
e.  A  ->  -.  A. y  e.  A  (
aleph `  y )  ~< 
z ) )
7271expimpd 589 . . . . . . . 8  |-  ( z  ~<_  om  ->  ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
) )
7372a1d 24 . . . . . . 7  |-  ( z  ~<_  om  ->  ( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
) ) )
7473com3r 75 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( z  ~<_  om  ->  ( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  (
aleph `  y )  ~< 
z ) ) )
7551, 74jaod 371 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( ( om  ~<_  z  \/  z  ~<_  om )  ->  (
z  ~<  ( aleph `  A
)  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
) ) )
7617, 75mpi 18 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z ) )
77 breq2 3967 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( aleph `  y )  ~<  x  <->  ( aleph `  y
)  ~<  z ) )
7877ralbidv 2534 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x  <->  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z ) )
7978elrab 2874 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } 
<->  ( z  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z ) )
8079simprbi 452 . . . . 5  |-  ( z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  ->  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z )
8180con3i 129 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z  ->  -.  z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
8213, 76, 81syl56 32 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( z  e.  (
aleph `  A )  ->  -.  z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } ) )
8382ralrimiv 2596 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  ->  A. z  e.  ( aleph `  A )  -.  z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
84 ssrab2 3200 . . 3  |-  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  C_  On
85 oneqmini 4380 . . 3  |-  ( { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  C_  On  ->  ( ( ( aleph `  A )  e.  {
x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  /\  A. z  e.  ( aleph `  A )  -.  z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )  -> 
( aleph `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } ) )
8684, 85ax-mp 10 . 2  |-  ( ( ( aleph `  A )  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  /\  A. z  e.  ( aleph `  A )  -.  z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )  -> 
( aleph `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
879, 83, 86syl2anc 645 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( aleph `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   A.wral 2516   E.wrex 2517   {crab 2519   _Vcvv 2740    C_ wss 3094   (/)c0 3397   |^|cint 3803   class class class wbr 3963   Oncon0 4329   omcom 4593   ` cfv 4638    ~~ cen 6793    ~<_ cdom 6794    ~< csdm 6795   cardccrd 7501   alephcale 7502
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-ac2 8022
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-oi 7158  df-har 7205  df-card 7505  df-aleph 7506  df-ac 7676
  Copyright terms: Public domain W3C validator