Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephval3 Unicode version

Theorem alephval3 7980
 Description: An alternate way to express the value of the aleph function: it is the least infinite cardinal different from all values at smaller arguments. Definition of aleph in [Enderton] p. 212 and definition of aleph in [BellMachover] p. 490 . (Contributed by NM, 16-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephval3
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem alephval3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephcard 7940 . . . 4
21a1i 11 . . 3
3 alephgeom 7952 . . . 4
43biimpi 187 . . 3
5 alephord2i 7947 . . . . 5
6 elirr 7555 . . . . . . 7
7 eleq2 2496 . . . . . . 7
86, 7mtbiri 295 . . . . . 6
98con2i 114 . . . . 5
105, 9syl6 31 . . . 4
1110ralrimiv 2780 . . 3
12 fvex 5733 . . . 4
13 fveq2 5719 . . . . . 6
14 id 20 . . . . . 6
1513, 14eqeq12d 2449 . . . . 5
16 sseq2 3362 . . . . 5
17 eqeq1 2441 . . . . . . 7
1817notbid 286 . . . . . 6
1918ralbidv 2717 . . . . 5
2015, 16, 193anbi123d 1254 . . . 4
2112, 20elab 3074 . . 3
222, 4, 11, 21syl3anbrc 1138 . 2
23 cardalephex 7960 . . . . . . . . . 10
2423biimpac 473 . . . . . . . . 9
25 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . 16
26 alephord2 7946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2726bicomd 193 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2825, 27sylan9bbr 682 . . . . . . . . . . . . . . 15
2928biimpcd 216 . . . . . . . . . . . . . 14
30 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
3229, 31jcad 520 . . . . . . . . . . . . 13
3332exp4c 592 . . . . . . . . . . . 12
3433com3r 75 . . . . . . . . . . 11
3534imp4b 574 . . . . . . . . . 10
3635reximdv2 2807 . . . . . . . . 9
3724, 36syl5 30 . . . . . . . 8
3837imp 419 . . . . . . 7
39 dfrex2 2710 . . . . . . 7
4038, 39sylib 189 . . . . . 6
41 nan 564 . . . . . 6
4240, 41mpbir 201 . . . . 5
4342ex 424 . . . 4
44 vex 2951 . . . . . . 7
45 fveq2 5719 . . . . . . . . 9
46 id 20 . . . . . . . . 9
4745, 46eqeq12d 2449 . . . . . . . 8
48 sseq2 3362 . . . . . . . 8
49 eqeq1 2441 . . . . . . . . . 10
5049notbid 286 . . . . . . . . 9
5150ralbidv 2717 . . . . . . . 8
5247, 48, 513anbi123d 1254 . . . . . . 7
5344, 52elab 3074 . . . . . 6
54 df-3an 938 . . . . . 6
5553, 54bitri 241 . . . . 5
5655notbii 288 . . . 4
5743, 56syl6ibr 219 . . 3
5857ralrimiv 2780 . 2
59 cardon 7820 . . . . . 6
60 eleq1 2495 . . . . . 6
6159, 60mpbii 203 . . . . 5
62613ad2ant1 978 . . . 4
6362abssi 3410 . . 3
64 oneqmini 4624 . . 3
6563, 64ax-mp 8 . 2
6622, 58, 65syl2anc 643 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cab 2421  wral 2697  wrex 2698   wss 3312  cint 4042  con0 4573  com 4836  cfv 5445  ccrd 7811  cale 7812 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-reg 7549  ax-inf2 7585 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-oi 7468  df-har 7515  df-card 7815  df-aleph 7816
 Copyright terms: Public domain W3C validator