Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  altopthsn Unicode version

Theorem altopthsn 25054
Description: Two alternate ordered pairs are equal iff the singletons of their respective elements are equal. Note that this holds regardless of sethood of any of the elements. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
altopthsn  |-  ( << A ,  B >>  =  << C ,  D >>  <->  ( { A }  =  { C }  /\  { B }  =  { D } ) )

Proof of Theorem altopthsn
StepHypRef Expression
1 df-altop 25051 . . 3  |-  << A ,  B >>  =  { { A } ,  { A ,  { B } } }
2 df-altop 25051 . . 3  |-  << C ,  D >>  =  { { C } ,  { C ,  { D } } }
31, 2eqeq12i 2371 . 2  |-  ( << A ,  B >>  =  << C ,  D >>  <->  { { A } ,  { A ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } } )
4 snex 4297 . . . . . 6  |-  { A }  e.  _V
5 prex 4298 . . . . . 6  |-  { A ,  { B } }  e.  _V
6 snex 4297 . . . . . 6  |-  { C }  e.  _V
7 prex 4298 . . . . . 6  |-  { C ,  { D } }  e.  _V
84, 5, 6, 7preq12b 3869 . . . . 5  |-  ( { { A } ,  { A ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } }  <->  ( ( { A }  =  { C }  /\  { A ,  { B } }  =  { C ,  { D } } )  \/  ( { A }  =  { C ,  { D } }  /\  { A ,  { B } }  =  { C } ) ) )
9 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( { A }  =  { C }  /\  { A ,  { B } }  =  { C ,  { D } } )  ->  { A }  =  { C } )
10 snsspr1 3843 . . . . . . . . 9  |-  { A }  C_  { A ,  { B } }
11 sseq2 3276 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  { B } }  =  { C }  ->  ( { A }  C_  { A ,  { B } }  <->  { A }  C_  { C } ) )
1210, 11mpbii 202 . . . . . . . 8  |-  ( { A ,  { B } }  =  { C }  ->  { A }  C_  { C }
)
1312adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( { A }  =  { C ,  { D } }  /\  { A ,  { B } }  =  { C } )  ->  { A }  C_ 
{ C } )
14 snsspr1 3843 . . . . . . . . 9  |-  { C }  C_  { C ,  { D } }
15 sseq2 3276 . . . . . . . . 9  |-  ( { A }  =  { C ,  { D } }  ->  ( { C }  C_  { A } 
<->  { C }  C_  { C ,  { D } } ) )
1614, 15mpbiri 224 . . . . . . . 8  |-  ( { A }  =  { C ,  { D } }  ->  { C }  C_  { A }
)
1716adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( { A }  =  { C ,  { D } }  /\  { A ,  { B } }  =  { C } )  ->  { C }  C_ 
{ A } )
1813, 17eqssd 3272 . . . . . 6  |-  ( ( { A }  =  { C ,  { D } }  /\  { A ,  { B } }  =  { C } )  ->  { A }  =  { C } )
199, 18jaoi 368 . . . . 5  |-  ( ( ( { A }  =  { C }  /\  { A ,  { B } }  =  { C ,  { D } } )  \/  ( { A }  =  { C ,  { D } }  /\  { A ,  { B } }  =  { C } ) )  ->  { A }  =  { C } )
208, 19sylbi 187 . . . 4  |-  ( { { A } ,  { A ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } }  ->  { A }  =  { C } )
21 uneq1 3398 . . . . . . . . . 10  |-  ( { A }  =  { C }  ->  ( { A }  u.  { { B } } )  =  ( { C }  u.  { { B } } ) )
22 df-pr 3723 . . . . . . . . . 10  |-  { A ,  { B } }  =  ( { A }  u.  { { B } } )
23 df-pr 3723 . . . . . . . . . 10  |-  { C ,  { B } }  =  ( { C }  u.  { { B } } )
2421, 22, 233eqtr4g 2415 . . . . . . . . 9  |-  ( { A }  =  { C }  ->  { A ,  { B } }  =  { C ,  { B } } )
2524preq2d 3789 . . . . . . . 8  |-  ( { A }  =  { C }  ->  { { A } ,  { A ,  { B } } }  =  { { A } ,  { C ,  { B } } } )
26 preq1 3782 . . . . . . . 8  |-  ( { A }  =  { C }  ->  { { A } ,  { C ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { B } } } )
2725, 26eqtrd 2390 . . . . . . 7  |-  ( { A }  =  { C }  ->  { { A } ,  { A ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { B } } } )
2827eqeq1d 2366 . . . . . 6  |-  ( { A }  =  { C }  ->  ( { { A } ,  { A ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } }  <->  { { C } ,  { C ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } } ) )
2928biimpd 198 . . . . 5  |-  ( { A }  =  { C }  ->  ( { { A } ,  { A ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } }  ->  { { C } ,  { C ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } } ) )
30 prex 4298 . . . . . . 7  |-  { C ,  { B } }  e.  _V
3130, 7preqr2 3868 . . . . . 6  |-  ( { { C } ,  { C ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } }  ->  { C ,  { B } }  =  { C ,  { D } } )
32 snex 4297 . . . . . . 7  |-  { B }  e.  _V
33 snex 4297 . . . . . . 7  |-  { D }  e.  _V
3432, 33preqr2 3868 . . . . . 6  |-  ( { C ,  { B } }  =  { C ,  { D } }  ->  { B }  =  { D } )
3531, 34syl 15 . . . . 5  |-  ( { { C } ,  { C ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } }  ->  { B }  =  { D } )
3629, 35syl6com 31 . . . 4  |-  ( { { A } ,  { A ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } }  ->  ( { A }  =  { C }  ->  { B }  =  { D } ) )
3720, 36jcai 522 . . 3  |-  ( { { A } ,  { A ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } }  ->  ( { A }  =  { C }  /\  { B }  =  { D } ) )
38 preq2 3783 . . . . 5  |-  ( { B }  =  { D }  ->  { C ,  { B } }  =  { C ,  { D } } )
3938preq2d 3789 . . . 4  |-  ( { B }  =  { D }  ->  { { C } ,  { C ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } } )
4027, 39sylan9eq 2410 . . 3  |-  ( ( { A }  =  { C }  /\  { B }  =  { D } )  ->  { { A } ,  { A ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } } )
4137, 40impbii 180 . 2  |-  ( { { A } ,  { A ,  { B } } }  =  { { C } ,  { C ,  { D } } }  <->  ( { A }  =  { C }  /\  { B }  =  { D } ) )
423, 41bitri 240 1  |-  ( << A ,  B >>  =  << C ,  D >>  <->  ( { A }  =  { C }  /\  { B }  =  { D } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1642    u. cun 3226    C_ wss 3228   {csn 3716   {cpr 3717   <<caltop 25049
This theorem is referenced by:  altopeq12  25055  altopth1  25058  altopth2  25059  altopthg  25060  altopthbg  25061
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pr 4295
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-v 2866  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-sn 3722  df-pr 3723  df-altop 25051
  Copyright terms: Public domain W3C validator