MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  angpined Unicode version

Theorem angpined 20121
Description: If the angle at ABC is  pi, then A is not equal to C. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
angpieqvd.angdef  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
angpieqvd.A  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
angpieqvd.B  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
angpieqvd.C  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
angpieqvd.AneB  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
angpieqvd.BneC  |-  ( ph  ->  B  =/=  C )
Assertion
Ref Expression
angpined  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  B ) F ( C  -  B
) )  =  pi 
->  A  =/=  C
) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem angpined
StepHypRef Expression
1 angpieqvd.angdef . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
2 angpieqvd.A . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 angpieqvd.B . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 angpieqvd.C . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
5 angpieqvd.AneB . . 3  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
6 angpieqvd.BneC . . 3  |-  ( ph  ->  B  =/=  C )
71, 2, 3, 4, 5, 6angpieqvdlem2 20120 . 2  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( C  -  B )  /  ( A  -  B ) )  e.  RR+ 
<->  ( ( A  -  B ) F ( C  -  B ) )  =  pi ) )
8 1rp 10353 . . . . . 6  |-  1  e.  RR+
9 1re 8832 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
10 ax-1ne0 8801 . . . . . . 7  |-  1  =/=  0
11 rpneg 10378 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  1  =/=  0 )  -> 
( 1  e.  RR+  <->  -.  -u 1  e.  RR+ )
)
129, 10, 11mp2an 655 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  RR+  <->  -.  -u 1  e.  RR+ )
138, 12mpbi 201 . . . . 5  |-  -.  -u 1  e.  RR+
142, 3subcld 9152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
1514adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
162, 3, 5subne0d 9161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  =/=  0 )
1716adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( A  -  B )  =/=  0 )
18 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  C  =  A )
1918oveq1d 5834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( C  -  B )  =  ( A  -  B ) )
2015, 17, 19diveq1bd 9579 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( C  -  B
)  /  ( A  -  B ) )  =  1 )
2120adantlr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -u (
( C  -  B
)  /  ( A  -  B ) )  e.  RR+ )  /\  C  =  A )  ->  (
( C  -  B
)  /  ( A  -  B ) )  =  1 )
2221negeqd 9041 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -u (
( C  -  B
)  /  ( A  -  B ) )  e.  RR+ )  /\  C  =  A )  ->  -u (
( C  -  B
)  /  ( A  -  B ) )  =  -u 1 )
23 simplr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -u (
( C  -  B
)  /  ( A  -  B ) )  e.  RR+ )  /\  C  =  A )  ->  -u (
( C  -  B
)  /  ( A  -  B ) )  e.  RR+ )
2422, 23eqeltrrd 2359 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -u (
( C  -  B
)  /  ( A  -  B ) )  e.  RR+ )  /\  C  =  A )  ->  -u 1  e.  RR+ )
2524ex 425 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -u ( ( C  -  B )  /  ( A  -  B ) )  e.  RR+ )  ->  ( C  =  A  ->  -u 1  e.  RR+ ) )
2625necon3bd 2484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -u ( ( C  -  B )  /  ( A  -  B ) )  e.  RR+ )  ->  ( -.  -u 1  e.  RR+  ->  C  =/=  A ) )
2713, 26mpi 18 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -u ( ( C  -  B )  /  ( A  -  B ) )  e.  RR+ )  ->  C  =/= 
A )
2827ex 425 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( C  -  B )  /  ( A  -  B ) )  e.  RR+  ->  C  =/=  A
) )
29 necom 2528 . . 3  |-  ( C  =/=  A  <->  A  =/=  C )
3028, 29syl6ib 219 . 2  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( C  -  B )  /  ( A  -  B ) )  e.  RR+  ->  A  =/=  C
) )
317, 30sylbird 228 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  B ) F ( C  -  B
) )  =  pi 
->  A  =/=  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2447    \ cdif 3150   {csn 3641   ` cfv 5221  (class class class)co 5819    e. cmpt2 5821   CCcc 8730   RRcr 8731   0cc0 8732   1c1 8733    - cmin 9032   -ucneg 9033    / cdiv 9418   RR+crp 10349   Imcim 11577   picpi 12342   logclog 19906
This theorem is referenced by:  angpieqvd  20122
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ioc 10655  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-mod 10968  df-seq 11041  df-exp 11099  df-fac 11283  df-bc 11310  df-hash 11332  df-shft 11556  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-limsup 11939  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-sum 12153  df-ef 12343  df-sin 12345  df-cos 12346  df-pi 12348  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-hom 13226  df-cco 13227  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-pt 13339  df-prds 13342  df-xrs 13397  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-qtop 13404  df-imas 13405  df-xps 13407  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-mulg 14486  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cld 16750  df-ntr 16751  df-cls 16752  df-nei 16829  df-lp 16862  df-perf 16863  df-cn 16951  df-cnp 16952  df-haus 17037  df-tx 17251  df-hmeo 17440  df-fbas 17514  df-fg 17515  df-fil 17535  df-fm 17627  df-flim 17628  df-flf 17629  df-xms 17879  df-ms 17880  df-tms 17881  df-cncf 18376  df-limc 19210  df-dv 19211  df-log 19908
  Copyright terms: Public domain W3C validator