MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  angrtmuld Unicode version

Theorem angrtmuld 20106
Description: Perpendicularity of two vectors does not change under rescaling the second. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ang.1  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
angrtmuld.1  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
angrtmuld.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
angrtmuld.3  |-  ( ph  ->  Z  e.  CC )
angrtmuld.4  |-  ( ph  ->  X  =/=  0 )
angrtmuld.5  |-  ( ph  ->  Y  =/=  0 )
angrtmuld.6  |-  ( ph  ->  Z  =/=  0 )
angrtmuld.7  |-  ( ph  ->  ( Z  /  Y
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
angrtmuld  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y )  e.  {
( pi  /  2
) ,  -u (
pi  /  2 ) }  <->  ( X F Z )  e.  {
( pi  /  2
) ,  -u (
pi  /  2 ) } ) )
Distinct variable groups:    x, y, X    x, Y, y    x, Z, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem angrtmuld
StepHypRef Expression
1 angrtmuld.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  CC )
2 angrtmuld.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
3 angrtmuld.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  =/=  0 )
4 angrtmuld.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =/=  0 )
51, 2, 3, 4divne0d 9552 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Z  /  Y
)  =/=  0 )
65neneqd 2462 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( Z  /  Y )  =  0 )
7 biorf 394 . . 3  |-  ( -.  ( Z  /  Y
)  =  0  -> 
( ( Re `  ( Y  /  X
) )  =  0  <-> 
( ( Z  /  Y )  =  0  \/  ( Re `  ( Y  /  X
) )  =  0 ) ) )
86, 7syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( Y  /  X
) )  =  0  <-> 
( ( Z  /  Y )  =  0  \/  ( Re `  ( Y  /  X
) )  =  0 ) ) )
9 ang.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
10 angrtmuld.1 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
11 angrtmuld.4 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  0 )
129, 10, 11, 2, 4angrteqvd 20104 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y )  e.  {
( pi  /  2
) ,  -u (
pi  /  2 ) }  <->  ( Re `  ( Y  /  X
) )  =  0 ) )
139, 10, 11, 1, 3angrteqvd 20104 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X F Z )  e.  {
( pi  /  2
) ,  -u (
pi  /  2 ) }  <->  ( Re `  ( Z  /  X
) )  =  0 ) )
141, 2, 10, 4, 11dmdcan2d 9566 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Z  /  Y )  x.  ( Y  /  X ) )  =  ( Z  /  X ) )
1514fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( Z  /  Y
)  x.  ( Y  /  X ) ) )  =  ( Re
`  ( Z  /  X ) ) )
16 angrtmuld.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Z  /  Y
)  e.  RR )
172, 10, 11divcld 9536 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  /  X
)  e.  CC )
1816, 17remul2d 11712 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( Z  /  Y
)  x.  ( Y  /  X ) ) )  =  ( ( Z  /  Y )  x.  ( Re `  ( Y  /  X
) ) ) )
1915, 18eqtr3d 2317 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( Z  /  X ) )  =  ( ( Z  /  Y )  x.  ( Re `  ( Y  /  X ) ) ) )
2019eqeq1d 2291 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( Z  /  X
) )  =  0  <-> 
( ( Z  /  Y )  x.  (
Re `  ( Y  /  X ) ) )  =  0 ) )
211, 2, 4divcld 9536 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Z  /  Y
)  e.  CC )
2217recld 11679 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( Y  /  X ) )  e.  RR )
2322recnd 8861 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( Y  /  X ) )  e.  CC )
2421, 23mul0ord 9418 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( Z  /  Y )  x.  ( Re `  ( Y  /  X ) ) )  =  0  <->  (
( Z  /  Y
)  =  0  \/  ( Re `  ( Y  /  X ) )  =  0 ) ) )
2513, 20, 243bitrd 270 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X F Z )  e.  {
( pi  /  2
) ,  -u (
pi  /  2 ) }  <->  ( ( Z  /  Y )  =  0  \/  ( Re
`  ( Y  /  X ) )  =  0 ) ) )
268, 12, 253bitr4d 276 1  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y )  e.  {
( pi  /  2
) ,  -u (
pi  /  2 ) }  <->  ( X F Z )  e.  {
( pi  /  2
) ,  -u (
pi  /  2 ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149   {csn 3640   {cpr 3641   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    x. cmul 8742   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   Recre 11582   Imcim 11583   picpi 12348   logclog 19912
This theorem is referenced by:  chordthmlem2  20130
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914
  Copyright terms: Public domain W3C validator