MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  angrtmuld Structured version   Unicode version

Theorem angrtmuld 20688
Description: Perpendicularity of two vectors does not change under rescaling the second. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ang.1  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
angrtmuld.1  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
angrtmuld.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
angrtmuld.3  |-  ( ph  ->  Z  e.  CC )
angrtmuld.4  |-  ( ph  ->  X  =/=  0 )
angrtmuld.5  |-  ( ph  ->  Y  =/=  0 )
angrtmuld.6  |-  ( ph  ->  Z  =/=  0 )
angrtmuld.7  |-  ( ph  ->  ( Z  /  Y
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
angrtmuld  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y )  e.  {
( pi  /  2
) ,  -u (
pi  /  2 ) }  <->  ( X F Z )  e.  {
( pi  /  2
) ,  -u (
pi  /  2 ) } ) )
Distinct variable groups:    x, y, X    x, Y, y    x, Z, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem angrtmuld
StepHypRef Expression
1 angrtmuld.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  CC )
2 angrtmuld.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
3 angrtmuld.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  =/=  0 )
4 angrtmuld.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =/=  0 )
51, 2, 3, 4divne0d 9844 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Z  /  Y
)  =/=  0 )
65neneqd 2624 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( Z  /  Y )  =  0 )
7 biorf 396 . . 3  |-  ( -.  ( Z  /  Y
)  =  0  -> 
( ( Re `  ( Y  /  X
) )  =  0  <-> 
( ( Z  /  Y )  =  0  \/  ( Re `  ( Y  /  X
) )  =  0 ) ) )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( Y  /  X
) )  =  0  <-> 
( ( Z  /  Y )  =  0  \/  ( Re `  ( Y  /  X
) )  =  0 ) ) )
9 ang.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
10 angrtmuld.1 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
11 angrtmuld.4 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  0 )
129, 10, 11, 2, 4angrteqvd 20686 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y )  e.  {
( pi  /  2
) ,  -u (
pi  /  2 ) }  <->  ( Re `  ( Y  /  X
) )  =  0 ) )
139, 10, 11, 1, 3angrteqvd 20686 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X F Z )  e.  {
( pi  /  2
) ,  -u (
pi  /  2 ) }  <->  ( Re `  ( Z  /  X
) )  =  0 ) )
141, 2, 10, 4, 11dmdcan2d 9858 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Z  /  Y )  x.  ( Y  /  X ) )  =  ( Z  /  X ) )
1514fveq2d 5767 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( Z  /  Y
)  x.  ( Y  /  X ) ) )  =  ( Re
`  ( Z  /  X ) ) )
16 angrtmuld.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Z  /  Y
)  e.  RR )
172, 10, 11divcld 9828 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  /  X
)  e.  CC )
1816, 17remul2d 12070 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( Z  /  Y
)  x.  ( Y  /  X ) ) )  =  ( ( Z  /  Y )  x.  ( Re `  ( Y  /  X
) ) ) )
1915, 18eqtr3d 2477 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( Z  /  X ) )  =  ( ( Z  /  Y )  x.  ( Re `  ( Y  /  X ) ) ) )
2019eqeq1d 2451 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( Z  /  X
) )  =  0  <-> 
( ( Z  /  Y )  x.  (
Re `  ( Y  /  X ) ) )  =  0 ) )
211, 2, 4divcld 9828 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Z  /  Y
)  e.  CC )
2217recld 12037 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( Y  /  X ) )  e.  RR )
2322recnd 9152 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( Y  /  X ) )  e.  CC )
2421, 23mul0ord 9710 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( Z  /  Y )  x.  ( Re `  ( Y  /  X ) ) )  =  0  <->  (
( Z  /  Y
)  =  0  \/  ( Re `  ( Y  /  X ) )  =  0 ) ) )
2513, 20, 243bitrd 272 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X F Z )  e.  {
( pi  /  2
) ,  -u (
pi  /  2 ) }  <->  ( ( Z  /  Y )  =  0  \/  ( Re
`  ( Y  /  X ) )  =  0 ) ) )
268, 12, 253bitr4d 278 1  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y )  e.  {
( pi  /  2
) ,  -u (
pi  /  2 ) }  <->  ( X F Z )  e.  {
( pi  /  2
) ,  -u (
pi  /  2 ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    = wceq 1654    e. wcel 1728    =/= wne 2606    \ cdif 3306   {csn 3843   {cpr 3844   ` cfv 5489  (class class class)co 6117    e. cmpt2 6119   CCcc 9026   RRcr 9027   0cc0 9028    x. cmul 9033   -ucneg 9330    / cdiv 9715   2c2 10087   Recre 11940   Imcim 11941   picpi 12707   logclog 20490
This theorem is referenced by:  chordthmlem2  20712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-inf2 7632  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106  ax-addf 9107  ax-mulf 9108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-iin 4125  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-se 4577  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-isom 5498  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-of 6341  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-2o 6761  df-oadd 6764  df-er 6941  df-map 7056  df-pm 7057  df-ixp 7100  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-fi 7452  df-sup 7482  df-oi 7515  df-card 7864  df-cda 8086  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-4 10098  df-5 10099  df-6 10100  df-7 10101  df-8 10102  df-9 10103  df-10 10104  df-n0 10260  df-z 10321  df-dec 10421  df-uz 10527  df-q 10613  df-rp 10651  df-xneg 10748  df-xadd 10749  df-xmul 10750  df-ioo 10958  df-ioc 10959  df-ico 10960  df-icc 10961  df-fz 11082  df-fzo 11174  df-fl 11240  df-mod 11289  df-seq 11362  df-exp 11421  df-fac 11605  df-bc 11632  df-hash 11657  df-shft 11920  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-sqr 12078  df-abs 12079  df-limsup 12303  df-clim 12320  df-rlim 12321  df-sum 12518  df-ef 12708  df-sin 12710  df-cos 12711  df-pi 12713  df-struct 13509  df-ndx 13510  df-slot 13511  df-base 13512  df-sets 13513  df-ress 13514  df-plusg 13580  df-mulr 13581  df-starv 13582  df-sca 13583  df-vsca 13584  df-tset 13586  df-ple 13587  df-ds 13589  df-unif 13590  df-hom 13591  df-cco 13592  df-rest 13688  df-topn 13689  df-topgen 13705  df-pt 13706  df-prds 13709  df-xrs 13764  df-0g 13765  df-gsum 13766  df-qtop 13771  df-imas 13772  df-xps 13774  df-mre 13849  df-mrc 13850  df-acs 13852  df-mnd 14728  df-submnd 14777  df-mulg 14853  df-cntz 15154  df-cmn 15452  df-psmet 16732  df-xmet 16733  df-met 16734  df-bl 16735  df-mopn 16736  df-fbas 16737  df-fg 16738  df-cnfld 16742  df-top 17001  df-bases 17003  df-topon 17004  df-topsp 17005  df-cld 17121  df-ntr 17122  df-cls 17123  df-nei 17200  df-lp 17238  df-perf 17239  df-cn 17329  df-cnp 17330  df-haus 17417  df-tx 17632  df-hmeo 17825  df-fil 17916  df-fm 18008  df-flim 18009  df-flf 18010  df-xms 18388  df-ms 18389  df-tms 18390  df-cncf 18946  df-limc 19791  df-dv 19792  df-log 20492
  Copyright terms: Public domain W3C validator