Theorem arch 5969

Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26.

Assertion

Ref	Expression
arch	|- (A e. RR -> E.n e. NN A < n)

Distinct variable group:   A,n

Proof of Theorem arch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2590	. . 3 |- (y = A -> (y < n <-> A < n))
2	1	rexbidv 1640	. 2 |- (y = A -> (E.n e. NN y < n <-> E.n e. NN A < n))
3		nnunb 5968	. . . 4 |- -. E.y e. RR A.n e. NN (n < y \/ n = y)
4		ralnex 1629	. . . 4 |- (A.y e. RR -. A.n e. NN (n < y \/ n = y) <-> -. E.y e. RR A.n e. NN (n < y \/ n = y))
5	3, 4	mpbir 190	. . 3 |- A.y e. RR -. A.n e. NN (n < y \/ n = y)
6		axlttri 5426	. . . . . . . . 9 |- ((y e. RR /\ n e. RR) -> (y < n <-> -. (y = n \/ n < y)))
7		nnret 5828	. . . . . . . . 9 |- (n e. NN -> n e. RR)
8	6, 7	sylan2 451	. . . . . . . 8 |- ((y e. RR /\ n e. NN) -> (y < n <-> -. (y = n \/ n < y)))
9		eqcom 1453	. . . . . . . . . . 11 |- (y = n <-> n = y)
10	9	orbi1i 256	. . . . . . . . . 10 |- ((y = n \/ n < y) <-> (n = y \/ n < y))
11		orcom 246	. . . . . . . . . 10 |- ((n = y \/ n < y) <-> (n < y \/ n = y))
12	10, 11	bitr 173	. . . . . . . . 9 |- ((y = n \/ n < y) <-> (n < y \/ n = y))
13	12	negbii 187	. . . . . . . 8 |- (-. (y = n \/ n < y) <-> -. (n < y \/ n = y))
14	8, 13	syl6bb 534	. . . . . . 7 |- ((y e. RR /\ n e. NN) -> (y < n <-> -. (n < y \/ n = y)))
15	14	biimprd 154	. . . . . 6 |- ((y e. RR /\ n e. NN) -> (-. (n < y \/ n = y) -> y < n))
16	15	r19.22dva 1715	. . . . 5 |- (y e. RR -> (E.n e. NN -. (n < y \/ n = y) -> E.n e. NN y < n))
17		rexnal 1630	. . . . 5 |- (E.n e. NN -. (n < y \/ n = y) <-> -. A.n e. NN (n < y \/ n = y))
18	16, 17	syl5ibr 207	. . . 4 |- (y e. RR -> (-. A.n e. NN (n < y \/ n = y) -> E.n e. NN y < n))
19	18	r19.20i 1680	. . 3 |- (A.y e. RR -. A.n e. NN (n < y \/ n = y) -> A.y e. RR E.n e. NN y < n)
20	5, 19	ax-mp 7	. 2 |- A.y e. RR E.n e. NN y < n
21	2, 20	vtoclri 1834	1 |- (A e. RR -> E.n e. NN A < n)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 1099   e. wcel 1105  A.wral 1621  E.wrex 1622   class class class wbr 2587  RRcr 5156  NNcn 5219   < clt 5409

This theorem is referenced by:  nnreclt 5970  bndndx 5971  btwnz 6114  ubthlem5 8399  projlem1 9316  projlem26 9341

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-nel 1564  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-en 4305  df-dom 4306  df-sdom 4307  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-ltr 5093  df-0r 5094  df-1r 5095  df-m1r 5096  df-c 5163  df-0 5164  df-1 5165  df-i 5166  df-r 5167  df-plus 5168  df-mul 5169  df-lt 5170  df-sub 5279  df-neg 5281  df-pnf 5410  df-mnf 5411  df-xr 5412  df-ltxr 5413  df-le 5414  df-n 5824

Copyright terms: Public domain