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Theorem argregt0 19966
Description: Closure of the argument of a complex number with positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
argregt0  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )

Proof of Theorem argregt0
StepHypRef Expression
1 recl 11597 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
2 gt0ne0 9241 . . . . . 6  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Re `  A
)  =/=  0 )
31, 2sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Re `  A
)  =/=  0 )
4 fveq2 5527 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  (
Re `  A )  =  ( Re ` 
0 ) )
5 re0 11639 . . . . . . 7  |-  ( Re
`  0 )  =  0
64, 5syl6eq 2333 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
Re `  A )  =  0 )
76necon3i 2487 . . . . 5  |-  ( ( Re `  A )  =/=  0  ->  A  =/=  0 )
83, 7syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  ->  A  =/=  0 )
9 logcl 19928 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
108, 9syldan 456 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
1110imcld 11682 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
12 coshalfpi 19839 . . . . . 6  |-  ( cos `  ( pi  /  2
) )  =  0
13 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
0  <  ( Re `  A ) )
14 abscl 11765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
1514adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
1615recnd 8863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  CC )
1716mul01d 9013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  0 )  =  0 )
18 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  ->  A  e.  CC )
19 absrpcl 11775 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
208, 19syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
2120rpne0d 10397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( abs `  A
)  =/=  0 )
2218, 16, 21divcld 9538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( A  /  ( abs `  A ) )  e.  CC )
2315, 22remul2d 11714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Re `  (
( abs `  A
)  x.  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  (
Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
2418, 16, 21divcan2d 9540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  =  A )
2524fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Re `  (
( abs `  A
)  x.  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( Re `  A ) )
2623, 25eqtr3d 2319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( Re
`  ( A  / 
( abs `  A
) ) ) )  =  ( Re `  A ) )
2713, 17, 263brtr4d 4055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  0 )  <  ( ( abs `  A )  x.  (
Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
28 0re 8840 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
2928a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
0  e.  RR )
3022recld 11681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  e.  RR )
3129, 30, 20ltmul2d 10430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( 0  <  (
Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) )  <->  ( ( abs `  A )  x.  0 )  <  (
( abs `  A
)  x.  ( Re
`  ( A  / 
( abs `  A
) ) ) ) ) )
3227, 31mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
0  <  ( Re `  ( A  /  ( abs `  A ) ) ) )
33 efiarg 19963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )  =  ( A  / 
( abs `  A
) ) )
348, 33syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )  =  ( A  / 
( abs `  A
) ) )
3534fveq2d 5531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Re `  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( Re `  ( A  /  ( abs `  A
) ) ) )
3632, 35breqtrrd 4051 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
0  <  ( Re `  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ) )
37 recosval 12418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  ->  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Re
`  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ) )
3811, 37syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
3936, 38breqtrrd 4051 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
0  <  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
40 fveq2 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  =  ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( cos `  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
4140a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
4211recnd 8863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
43 cosneg 12429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC  ->  ( cos `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4442, 43syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( cos `  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
45 fveq2 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4645eqeq1d 2293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  ( cos `  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
4744, 46syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  -u ( Im `  ( log `  A ) )  ->  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
4811absord 11900 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  A ) )  \/  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
4941, 47, 48mpjaod 370 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( cos `  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( cos `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
5039, 49breqtrrd 4051 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
0  <  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
5112, 50syl5eqbr 4058 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( cos `  (
pi  /  2 ) )  <  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
52 abscl 11765 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
5342, 52syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
5442absge0d 11928 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
0  <_  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
55 logimcl 19929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
568, 55syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
5756simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  ->  -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) ) )
58 pire 19834 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
5958renegcli 9110 . . . . . . . . . 10  |-  -u pi  e.  RR
60 ltle 8912 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
6159, 11, 60sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
6257, 61mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) )
6356simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
64 absle 11801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi  <->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
) )
6511, 58, 64sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi  <->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
) )
6662, 63, 65mpbir2and 888 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
6728, 58elicc2i 10718 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  ( 0 [,] pi ) 
<->  ( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  /\  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi ) )
6853, 54, 66, 67syl3anbrc 1136 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  ( 0 [,] pi ) )
69 rehalfcl 9940 . . . . . . . 8  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
7058, 69ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
71 pipos 19835 . . . . . . . . 9  |-  0  <  pi
7258, 71elrpii 10359 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR+
73 rphalfcl 10380 . . . . . . . 8  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
74 rpge0 10368 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( pi  /  2
) )
7572, 73, 74mp2b 9 . . . . . . 7  |-  0  <_  ( pi  /  2
)
76 rphalflt 10382 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
7772, 76ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  < 
pi
7870, 58, 77ltleii 8943 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  <_  pi
7928, 58elicc2i 10718 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( (
pi  /  2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( pi  /  2
)  /\  ( pi  /  2 )  <_  pi ) )
8070, 75, 78, 79mpbir3an 1134 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  e.  ( 0 [,] pi )
81 cosord 19896 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  ( 0 [,] pi )  /\  (
pi  /  2 )  e.  ( 0 [,] pi ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( pi  / 
2 )  <->  ( cos `  ( pi  /  2
) )  <  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
8268, 80, 81sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( pi  / 
2 )  <->  ( cos `  ( pi  /  2
) )  <  ( cos `  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
8351, 82mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( pi  / 
2 ) )
84 abslt 11800 . . . . 5  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( pi  / 
2 )  <->  ( -u (
pi  /  2 )  <  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
8511, 70, 84sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( pi  / 
2 )  <->  ( -u (
pi  /  2 )  <  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
8683, 85mpbid 201 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  < 
( pi  /  2
) ) )
8786simpld 445 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  ->  -u ( pi  /  2
)  <  ( Im `  ( log `  A
) ) )
8886simprd 449 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  <  ( pi  / 
2 ) )
89 ressxr 8878 . . . 4  |-  RR  C_  RR*
9070renegcli 9110 . . . 4  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
9189, 90sselii 3179 . . 3  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
9289, 70sselii 3179 . . 3  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
93 elioo2 10699 . . 3  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  -u ( pi  /  2
)  <  ( Im `  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  < 
( pi  /  2
) ) ) )
9491, 92, 93mp2an 653 . 2  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <  (
pi  /  2 ) ) )
9511, 87, 88, 94syl3anbrc 1136 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   class class class wbr 4025   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CCcc 8737   RRcr 8738   0cc0 8739   _ici 8741    x. cmul 8744   RR*cxr 8868    < clt 8869    <_ cle 8870   -ucneg 9040    / cdiv 9425   2c2 9797   RR+crp 10356   (,)cioo 10658   [,]cicc 10661   Recre 11584   Imcim 11585   abscabs 11721   expce 12345   cosccos 12348   picpi 12350   logclog 19914
This theorem is referenced by:  logcnlem4  19994  atanlogsublem  20213
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-mod 10976  df-seq 11049  df-exp 11107  df-fac 11291  df-bc 11318  df-hash 11340  df-shft 11564  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-limsup 11947  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-ef 12351  df-sin 12353  df-cos 12354  df-pi 12356  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-mulg 14494  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-lp 16870  df-perf 16871  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-haus 17045  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-cncf 18384  df-limc 19218  df-dv 19219  df-log 19916
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