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Theorem asinlem3 20183
Description: The argument to the logarithm in df-asin 20177 has nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem asinlem3
StepHypRef Expression
1 0re 8854 . . 3  |-  0  e.  RR
21a1i 10 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  RR )
3 imcl 11612 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
4 ax-icn 8812 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
5 negcl 9068 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
65adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  ->  -u A  e.  CC )
7 mulcl 8837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  -u A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u A )  e.  CC )
84, 6, 7sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( _i  x.  -u A
)  e.  CC )
9 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
106sqcld 11259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( -u A ^ 2 )  e.  CC )
11 subcl 9067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( -u A ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( -u A ^
2 ) )  e.  CC )
129, 10, 11sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  -  ( -u A ^ 2 ) )  e.  CC )
1312sqrcld 11935 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
148, 13addcld 8870 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
15 asinlem 20180 . . . . . . . 8  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
166, 15syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)
1714, 16absrpcld 11946 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR+ )
18 2z 10070 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
19 rpexpcl 11138 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
2017, 18, 19sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
2120rprecred 10417 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  /  (
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
2214cjcld 11697 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
2322recld 11695 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Re `  (
* `  ( (
_i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )  e.  RR )
2420rpreccld 10416 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  /  (
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR+ )
2524rpge0d 10410 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ( abs `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^
2 ) ) )
26 imneg 11634 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u A )  =  -u ( Im `  A ) )
2726adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  -u A
)  =  -u (
Im `  A )
)
283le0neg2d 9361 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  <_  ( Im `  A )  <->  -u ( Im
`  A )  <_ 
0 ) )
2928biimpa 470 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  ->  -u ( Im `  A
)  <_  0 )
3027, 29eqbrtrd 4059 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  -u A
)  <_  0 )
31 asinlem3a 20182 . . . . . 6  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  ( Im `  -u A
)  <_  0 )  ->  0  <_  (
Re `  ( (
_i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
326, 30, 31syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
3314recjd 11705 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Re `  (
* `  ( (
_i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( Re `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
3432, 33breqtrrd 4065 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( Re `  ( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
3521, 23, 25, 34mulge0d 9365 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( (
1  /  ( ( abs `  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( Re `  ( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
36 recval 11822 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)  ->  ( 1  /  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( * `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
3714, 16, 36syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  /  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( * `
 ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
38 asinlem2 20181 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  1 )
3938adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  1 )
4039eqcomd 2301 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
1  =  ( ( ( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) )
419a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
1  e.  CC )
42 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  ->  A  e.  CC )
43 mulcl 8837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
444, 42, 43sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( _i  x.  A
)  e.  CC )
45 sqcl 11182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
4645adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( A ^ 2 )  e.  CC )
47 subcl 9067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
489, 46, 47sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
4948sqrcld 11935 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
5044, 49addcld 8870 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  e.  CC )
5141, 50, 14, 16divmul3d 9586 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  <->  1  =  ( ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
5240, 51mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( 1  /  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
5320rpcnd 10408 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
5420rpne0d 10411 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
5522, 53, 54divrec2d 9556 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( * `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  /  ( ( abs `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^
2 ) )  x.  ( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
5637, 52, 553eqtr3d 2336 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( abs `  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( * `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
5756fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( Re `  (
( 1  /  (
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( * `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
5821, 22remul2d 11728 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Re `  (
( 1  /  (
( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( * `  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( abs `  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( Re `  ( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
5957, 58eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( abs `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( Re `  ( * `  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
6035, 59breqtrrd 4065 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <_  ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
61 asinlem3a 20182 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <_  0 )  -> 
0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) ) )
622, 3, 60, 61lecasei 8942 1  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754   _ici 8755    + caddc 8756    x. cmul 8758    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   2c2 9811   ZZcz 10040   RR+crp 10370   ^cexp 11120   *ccj 11597   Recre 11598   Imcim 11599   sqrcsqr 11734   abscabs 11735
This theorem is referenced by:  asinneg  20198  asinbnd  20211  dvreasin  25026
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737
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