HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atabsi Unicode version

Theorem atabsi 22981
Description: Absorption of an incomparable atom. Similar to Exercise 7.1 of [MaedaMaeda] p. 34. (Contributed by NM, 15-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
atabs.1  |-  A  e. 
CH
atabs.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
atabsi  |-  ( C  e. HAtoms  ->  ( -.  C  C_  ( A  vH  B
)  ->  ( ( A  vH  C )  i^i 
B )  =  ( A  i^i  B ) ) )

Proof of Theorem atabsi
StepHypRef Expression
1 inass 3379 . . . 4  |-  ( ( ( A  vH  C
)  i^i  ( A  vH  B ) )  i^i 
B )  =  ( ( A  vH  C
)  i^i  ( ( A  vH  B )  i^i 
B ) )
2 atabs.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
CH
3 atabs.2 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
CH
42, 3chjcomi 22047 . . . . . . 7  |-  ( A  vH  B )  =  ( B  vH  A
)
54ineq1i 3366 . . . . . 6  |-  ( ( A  vH  B )  i^i  B )  =  ( ( B  vH  A )  i^i  B
)
6 incom 3361 . . . . . 6  |-  ( ( B  vH  A )  i^i  B )  =  ( B  i^i  ( B  vH  A ) )
73, 2chabs2i 22098 . . . . . 6  |-  ( B  i^i  ( B  vH  A ) )  =  B
85, 6, 73eqtri 2307 . . . . 5  |-  ( ( A  vH  B )  i^i  B )  =  B
98ineq2i 3367 . . . 4  |-  ( ( A  vH  C )  i^i  ( ( A  vH  B )  i^i 
B ) )  =  ( ( A  vH  C )  i^i  B
)
101, 9eqtr2i 2304 . . 3  |-  ( ( A  vH  C )  i^i  B )  =  ( ( ( A  vH  C )  i^i  ( A  vH  B
) )  i^i  B
)
112, 3chub1i 22048 . . . . . . 7  |-  A  C_  ( A  vH  B )
12 atelch 22924 . . . . . . . 8  |-  ( C  e. HAtoms  ->  C  e.  CH )
132, 3chjcli 22036 . . . . . . . . 9  |-  ( A  vH  B )  e. 
CH
14 atmd 22979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  ( A  vH  B )  e. 
CH )  ->  C  MH  ( A  vH  B
) )
1513, 14mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( C  e. HAtoms  ->  C  MH  ( A  vH  B ) )
16 mdi 22875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  CH  /\  ( A  vH  B
)  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  ( C  MH  ( A  vH  B )  /\  A  C_  ( A  vH  B ) ) )  ->  ( ( A  vH  C )  i^i  ( A  vH  B
) )  =  ( A  vH  ( C  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
1716exp32 588 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  CH  /\  ( A  vH  B )  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( C  MH  ( A  vH  B )  ->  ( A  C_  ( A  vH  B )  ->  (
( A  vH  C
)  i^i  ( A  vH  B ) )  =  ( A  vH  ( C  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) ) )
1813, 2, 17mp3an23 1269 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  CH  ->  ( C  MH  ( A  vH  B )  ->  ( A  C_  ( A  vH  B )  ->  (
( A  vH  C
)  i^i  ( A  vH  B ) )  =  ( A  vH  ( C  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) ) )
1912, 15, 18sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( C  e. HAtoms  ->  ( A  C_  ( A  vH  B )  ->  ( ( A  vH  C )  i^i  ( A  vH  B
) )  =  ( A  vH  ( C  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
2011, 19mpi 16 . . . . . 6  |-  ( C  e. HAtoms  ->  ( ( A  vH  C )  i^i  ( A  vH  B
) )  =  ( A  vH  ( C  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
2120adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  -.  C  C_  ( A  vH  B
) )  ->  (
( A  vH  C
)  i^i  ( A  vH  B ) )  =  ( A  vH  ( C  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
22 incom 3361 . . . . . . . 8  |-  ( C  i^i  ( A  vH  B ) )  =  ( ( A  vH  B )  i^i  C
)
23 atnssm0 22956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  vH  B
)  e.  CH  /\  C  e. HAtoms )  ->  ( -.  C  C_  ( A  vH  B )  <->  ( ( A  vH  B )  i^i 
C )  =  0H ) )
2413, 23mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e. HAtoms  ->  ( -.  C  C_  ( A  vH  B
)  <->  ( ( A  vH  B )  i^i 
C )  =  0H ) )
2524biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  -.  C  C_  ( A  vH  B
) )  ->  (
( A  vH  B
)  i^i  C )  =  0H )
2622, 25syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  -.  C  C_  ( A  vH  B
) )  ->  ( C  i^i  ( A  vH  B ) )  =  0H )
2726oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  -.  C  C_  ( A  vH  B
) )  ->  ( A  vH  ( C  i^i  ( A  vH  B ) ) )  =  ( A  vH  0H ) )
282chj0i 22034 . . . . . 6  |-  ( A  vH  0H )  =  A
2927, 28syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  -.  C  C_  ( A  vH  B
) )  ->  ( A  vH  ( C  i^i  ( A  vH  B ) ) )  =  A )
3021, 29eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  -.  C  C_  ( A  vH  B
) )  ->  (
( A  vH  C
)  i^i  ( A  vH  B ) )  =  A )
3130ineq1d 3369 . . 3  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  -.  C  C_  ( A  vH  B
) )  ->  (
( ( A  vH  C )  i^i  ( A  vH  B ) )  i^i  B )  =  ( A  i^i  B
) )
3210, 31syl5eq 2327 . 2  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  -.  C  C_  ( A  vH  B
) )  ->  (
( A  vH  C
)  i^i  B )  =  ( A  i^i  B ) )
3332ex 423 1  |-  ( C  e. HAtoms  ->  ( -.  C  C_  ( A  vH  B
)  ->  ( ( A  vH  C )  i^i 
B )  =  ( A  i^i  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    i^i cin 3151    C_ wss 3152   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   CHcch 21509    vH chj 21513   0Hc0h 21515  HAtomscat 21545    MH cmd 21546
This theorem is referenced by:  atabs2i  22982
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvmulass 21587  ax-hvdistr1 21588  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his1 21661  ax-his2 21662  ax-his3 21663  ax-his4 21664  ax-hcompl 21781
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-lm 16959  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cfil 18681  df-cau 18682  df-cmet 18683  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-subgo 20969  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-dip 21274  df-ssp 21298  df-ph 21391  df-cbn 21442  df-hnorm 21548  df-hba 21549  df-hvsub 21551  df-hlim 21552  df-hcau 21553  df-sh 21786  df-ch 21801  df-oc 21831  df-ch0 21832  df-shs 21887  df-span 21888  df-chj 21889  df-chsup 21890  df-pjh 21974  df-cv 22859  df-md 22860  df-dmd 22861  df-at 22918
  Copyright terms: Public domain W3C validator