MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atanbnd Structured version   Unicode version

Theorem atanbnd 20797
Description: The arctangent function is bounded by  pi  /  2 on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanbnd  |-  ( A  e.  RR  ->  (arctan `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )

Proof of Theorem atanbnd
StepHypRef Expression
1 0re 9122 . . 3  |-  0  e.  RR
2 lttri4 9190 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  <  0  \/  A  =  0  \/  0  <  A ) )
31, 2mpan2 654 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  0  \/  A  =  0  \/  0  <  A ) )
4 atanre 20756 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  dom arctan )
54adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  ->  A  e.  dom arctan )
6 atanneg 20778 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  (arctan `  -u A )  =  -u (arctan `  A ) )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  -> 
(arctan `  -u A )  =  -u (arctan `  A
) )
8 renegcl 9395 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
98adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  ->  -u A  e.  RR )
10 lt0neg1 9565 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  0  <->  0  <  -u A ) )
1110biimpa 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  -> 
0  <  -u A )
129, 11elrpd 10677 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  ->  -u A  e.  RR+ )
13 atanbndlem 20796 . . . . . . 7  |-  ( -u A  e.  RR+  ->  (arctan `  -u A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  -> 
(arctan `  -u A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )
157, 14eqeltrrd 2517 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  ->  -u (arctan `  A )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
16 halfpire 20406 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
1716recni 9133 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
1817negnegi 9401 . . . . . 6  |-  -u -u (
pi  /  2 )  =  ( pi  / 
2 )
1918oveq2i 6121 . . . . 5  |-  ( -u ( pi  /  2
) (,) -u -u (
pi  /  2 ) )  =  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )
2015, 19syl6eleqr 2533 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  ->  -u (arctan `  A )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) -u -u ( pi  / 
2 ) ) )
2116renegcli 9393 . . . . . 6  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
2221a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  ->  -u ( pi  /  2
)  e.  RR )
2316a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  -> 
( pi  /  2
)  e.  RR )
24 atanrecl 20782 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (arctan `  A )  e.  RR )
2524adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  -> 
(arctan `  A )  e.  RR )
26 iooneg 11048 . . . . 5  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  (arctan `  A )  e.  RR )  ->  (
(arctan `  A )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  <->  -u (arctan `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) -u -u (
pi  /  2 ) ) ) )
2722, 23, 25, 26syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  -> 
( (arctan `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  <->  -u (arctan `  A )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) -u -u ( pi  / 
2 ) ) ) )
2820, 27mpbird 225 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  -> 
(arctan `  A )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
29 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  0 )  ->  A  =  0 )
3029fveq2d 5761 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  0 )  ->  (arctan `  A )  =  (arctan `  0 )
)
31 atan0 20779 . . . . 5  |-  (arctan ` 
0 )  =  0
3230, 31syl6eq 2490 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  0 )  ->  (arctan `  A )  =  0 )
33 pire 20403 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
34 pipos 20404 . . . . . . . 8  |-  0  <  pi
3533, 34elrpii 10646 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR+
36 rphalfcl 10667 . . . . . . 7  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
37 rpgt0 10654 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  0  < 
( pi  /  2
) )
3835, 36, 37mp2b 10 . . . . . 6  |-  0  <  ( pi  /  2
)
39 lt0neg2 9566 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
0  <  ( pi  /  2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 ) )
4016, 39ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( 0  <  ( pi  / 
2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 )
4138, 40mpbi 201 . . . . 5  |-  -u (
pi  /  2 )  <  0
4221rexri 9168 . . . . . 6  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
4316rexri 9168 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
44 elioo2 10988 . . . . . 6  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( 0  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( 0  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <  0  /\  0  <  ( pi  /  2
) ) ) )
4542, 43, 44mp2an 655 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( 0  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <  0  /\  0  <  ( pi  /  2
) ) )
461, 41, 38, 45mpbir3an 1137 . . . 4  |-  0  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )
4732, 46syl6eqel 2530 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  0 )  ->  (arctan `  A )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
48 elrp 10645 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
49 atanbndlem 20796 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  (arctan `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )
5048, 49sylbir 206 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
(arctan `  A )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
5128, 47, 503jaodan 1251 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( A  <  0  \/  A  =  0  \/  0  <  A ) )  ->  (arctan `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
523, 51mpdan 651 1  |-  ( A  e.  RR  ->  (arctan `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    \/ w3o 936    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727   class class class wbr 4237   dom cdm 4907   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   RRcr 9020   0cc0 9021   RR*cxr 9150    < clt 9151   -ucneg 9323    / cdiv 9708   2c2 10080   RR+crp 10643   (,)cioo 10947   picpi 12700  arctancatan 20735
This theorem is referenced by:  atanord  20798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099  ax-addf 9100  ax-mulf 9101
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-ioo 10951  df-ioc 10952  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-fl 11233  df-mod 11282  df-seq 11355  df-exp 11414  df-fac 11598  df-bc 11625  df-hash 11650  df-shft 11913  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-limsup 12296  df-clim 12313  df-rlim 12314  df-sum 12511  df-ef 12701  df-sin 12703  df-cos 12704  df-tan 12705  df-pi 12706  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-hom 13584  df-cco 13585  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-pt 13699  df-prds 13702  df-xrs 13757  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-qtop 13764  df-imas 13765  df-xps 13767  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-mulg 14846  df-cntz 15147  df-cmn 15445  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-fbas 16730  df-fg 16731  df-cnfld 16735  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-topsp 16998  df-cld 17114  df-ntr 17115  df-cls 17116  df-nei 17193  df-lp 17231  df-perf 17232  df-cn 17322  df-cnp 17323  df-haus 17410  df-tx 17625  df-hmeo 17818  df-fil 17909  df-fm 18001  df-flim 18002  df-flf 18003  df-xms 18381  df-ms 18382  df-tms 18383  df-cncf 18939  df-limc 19784  df-dv 19785  df-log 20485  df-atan 20738
  Copyright terms: Public domain W3C validator