MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atanbnd Unicode version

Theorem atanbnd 20723
Description: The arctangent function is bounded by  pi  /  2 on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanbnd  |-  ( A  e.  RR  ->  (arctan `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )

Proof of Theorem atanbnd
StepHypRef Expression
1 0re 9051 . . 3  |-  0  e.  RR
2 lttri4 9119 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  <  0  \/  A  =  0  \/  0  <  A ) )
31, 2mpan2 653 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  0  \/  A  =  0  \/  0  <  A ) )
4 atanre 20682 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  dom arctan )
54adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  ->  A  e.  dom arctan )
6 atanneg 20704 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  (arctan `  -u A )  =  -u (arctan `  A ) )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  -> 
(arctan `  -u A )  =  -u (arctan `  A
) )
8 renegcl 9324 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
98adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  ->  -u A  e.  RR )
10 lt0neg1 9494 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  0  <->  0  <  -u A ) )
1110biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  -> 
0  <  -u A )
129, 11elrpd 10606 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  ->  -u A  e.  RR+ )
13 atanbndlem 20722 . . . . . . 7  |-  ( -u A  e.  RR+  ->  (arctan `  -u A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  -> 
(arctan `  -u A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )
157, 14eqeltrrd 2483 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  ->  -u (arctan `  A )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
16 halfpire 20332 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
1716recni 9062 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
1817negnegi 9330 . . . . . 6  |-  -u -u (
pi  /  2 )  =  ( pi  / 
2 )
1918oveq2i 6055 . . . . 5  |-  ( -u ( pi  /  2
) (,) -u -u (
pi  /  2 ) )  =  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )
2015, 19syl6eleqr 2499 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  ->  -u (arctan `  A )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) -u -u ( pi  / 
2 ) ) )
2116renegcli 9322 . . . . . 6  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
2221a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  ->  -u ( pi  /  2
)  e.  RR )
2316a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  -> 
( pi  /  2
)  e.  RR )
24 atanrecl 20708 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (arctan `  A )  e.  RR )
2524adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  -> 
(arctan `  A )  e.  RR )
26 iooneg 10977 . . . . 5  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  (arctan `  A )  e.  RR )  ->  (
(arctan `  A )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  <->  -u (arctan `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) -u -u (
pi  /  2 ) ) ) )
2722, 23, 25, 26syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  -> 
( (arctan `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  <->  -u (arctan `  A )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) -u -u ( pi  / 
2 ) ) ) )
2820, 27mpbird 224 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  -> 
(arctan `  A )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
29 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  0 )  ->  A  =  0 )
3029fveq2d 5695 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  0 )  ->  (arctan `  A )  =  (arctan `  0 )
)
31 atan0 20705 . . . . 5  |-  (arctan ` 
0 )  =  0
3230, 31syl6eq 2456 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  0 )  ->  (arctan `  A )  =  0 )
33 pire 20329 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
34 pipos 20330 . . . . . . . 8  |-  0  <  pi
3533, 34elrpii 10575 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR+
36 rphalfcl 10596 . . . . . . 7  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
37 rpgt0 10583 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  0  < 
( pi  /  2
) )
3835, 36, 37mp2b 10 . . . . . 6  |-  0  <  ( pi  /  2
)
39 lt0neg2 9495 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
0  <  ( pi  /  2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 ) )
4016, 39ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( 0  <  ( pi  / 
2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 )
4138, 40mpbi 200 . . . . 5  |-  -u (
pi  /  2 )  <  0
4221rexri 9097 . . . . . 6  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
4316rexri 9097 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
44 elioo2 10917 . . . . . 6  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( 0  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( 0  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <  0  /\  0  <  ( pi  /  2
) ) ) )
4542, 43, 44mp2an 654 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( 0  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <  0  /\  0  <  ( pi  /  2
) ) )
461, 41, 38, 45mpbir3an 1136 . . . 4  |-  0  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )
4732, 46syl6eqel 2496 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  0 )  ->  (arctan `  A )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
48 elrp 10574 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
49 atanbndlem 20722 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  (arctan `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )
5048, 49sylbir 205 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
(arctan `  A )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
5128, 47, 503jaodan 1250 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( A  <  0  \/  A  =  0  \/  0  <  A ) )  ->  (arctan `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
523, 51mpdan 650 1  |-  ( A  e.  RR  ->  (arctan `  A )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    \/ w3o 935    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4176   dom cdm 4841   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   RRcr 8949   0cc0 8950   RR*cxr 9079    < clt 9080   -ucneg 9252    / cdiv 9637   2c2 10009   RR+crp 10572   (,)cioo 10876   picpi 12628  arctancatan 20661
This theorem is referenced by:  atanord  20724
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ioo 10880  df-ioc 10881  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-mod 11210  df-seq 11283  df-exp 11342  df-fac 11526  df-bc 11553  df-hash 11578  df-shft 11841  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-limsup 12224  df-clim 12241  df-rlim 12242  df-sum 12439  df-ef 12629  df-sin 12631  df-cos 12632  df-tan 12633  df-pi 12634  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-hom 13512  df-cco 13513  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-pt 13627  df-prds 13630  df-xrs 13685  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-qtop 13692  df-imas 13693  df-xps 13695  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-mulg 14774  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-lp 17159  df-perf 17160  df-cn 17249  df-cnp 17250  df-haus 17337  df-tx 17551  df-hmeo 17744  df-fil 17835  df-fm 17927  df-flim 17928  df-flf 17929  df-xms 18307  df-ms 18308  df-tms 18309  df-cncf 18865  df-limc 19710  df-dv 19711  df-log 20411  df-atan 20664
  Copyright terms: Public domain W3C validator