MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atantayl Unicode version

Theorem atantayl 20646
Description: The Taylor series for arctan ( A
). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
atantayl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
atantayl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  (arctan `  A ) )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem atantayl
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10455 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10245 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
1  e.  ZZ )
4 ax-icn 8984 . . . 4  |-  _i  e.  CC
5 halfcl 10127 . . . 4  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i  /  2 )  e.  CC )
64, 5mp1i 12 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( _i  /  2
)  e.  CC )
7 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  A  e.  CC )
8 mulcl 9009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
94, 7, 8sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( _i  x.  A
)  e.  CC )
109negcld 9332 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  -u ( _i  x.  A
)  e.  CC )
119absnegd 12180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  -u (
_i  x.  A )
)  =  ( abs `  ( _i  x.  A
) ) )
12 absmul 12028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( abs `  (
_i  x.  A )
)  =  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  A
) ) )
134, 7, 12sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  (
_i  x.  A )
)  =  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  A
) ) )
14 absi 12020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs `  _i )  =  1
1514oveq1i 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  A
) )  =  ( 1  x.  ( abs `  A ) )
16 abscl 12012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
1716adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
1817recnd 9049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  e.  CC )
1918mulid2d 9041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  x.  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  A
) )
2015, 19syl5eq 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  A
) )
2111, 13, 203eqtrd 2425 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  -u (
_i  x.  A )
)  =  ( abs `  A ) )
22 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  <  1 )
2321, 22eqbrtrd 4175 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  -u (
_i  x.  A )
)  <  1 )
24 logtayl 20420 . . . . . . 7  |-  ( (
-u ( _i  x.  A )  e.  CC  /\  ( abs `  -u (
_i  x.  A )
)  <  1 )  ->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) )  ~~>  -u ( log `  ( 1  - 
-u ( _i  x.  A ) ) ) )
2510, 23, 24syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) )  ~~> 
-u ( log `  (
1  -  -u (
_i  x.  A )
) ) )
26 ax-1cn 8983 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
27 subneg 9284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  - 
-u ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
2826, 9, 27sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  -  -u (
_i  x.  A )
)  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
2928fveq2d 5674 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( log `  (
1  -  -u (
_i  x.  A )
) )  =  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
3029negeqd 9234 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  -u ( log `  (
1  -  -u (
_i  x.  A )
) )  =  -u ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
3125, 30breqtrd 4179 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) )  ~~> 
-u ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
32 seqex 11254 . . . . . 6  |-  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n )  -  (
( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) ) )  e. 
_V
3332a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) )  e.  _V )
3411, 23eqbrtrrd 4177 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  (
_i  x.  A )
)  <  1 )
35 logtayl 20420 . . . . . 6  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( _i  x.  A ) )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )
369, 34, 35syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )
37 oveq2 6030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  =  ( -u (
_i  x.  A ) ^ m ) )
38 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  n  =  m )
3937, 38oveq12d 6040 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( -u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n )  =  ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m ) )
40 eqid 2389 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) )
41 ovex 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ m
)  /  m )  e.  _V
4239, 40, 41fvmpt 5747 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) `  m )  =  ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
) )
4342adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) `  m )  =  ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m ) )
44 nnnn0 10162 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
45 expcl 11328 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( _i  x.  A )  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( -u ( _i  x.  A ) ^
m )  e.  CC )
4610, 44, 45syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( -u (
_i  x.  A ) ^ m )  e.  CC )
47 nncn 9942 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
4847adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
49 nnne0 9966 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
5049adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  m  =/=  0
)
5146, 48, 50divcld 9724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m )  e.  CC )
5243, 51eqeltrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) `  m )  e.  CC )
531, 3, 52serf 11280 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) ) : NN --> CC )
5453ffvelrnda 5811 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) `  k )  e.  CC )
55 oveq2 6030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( _i  x.  A
) ^ n )  =  ( ( _i  x.  A ) ^
m ) )
5655, 38oveq12d 6040 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n )  =  ( ( ( _i  x.  A ) ^ m )  /  m ) )
57 eqid 2389 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  /  n ) )
58 ovex 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m )  e. 
_V
5956, 57, 58fvmpt 5747 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) `  m
)  =  ( ( ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m ) )
6059adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) `
 m )  =  ( ( ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
) )
61 expcl 11328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( _i  x.  A ) ^ m
)  e.  CC )
629, 44, 61syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( _i  x.  A ) ^
m )  e.  CC )
6362, 48, 50divcld 9724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ m )  /  m )  e.  CC )
6460, 63eqeltrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) `
 m )  e.  CC )
651, 3, 64serf 11280 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) : NN --> CC )
6665ffvelrnda 5811 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) ) `  k
)  e.  CC )
67 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
6867, 1syl6eleq 2479 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
69 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
) )
70 elfznn 11014 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( 1 ... k )  ->  m  e.  NN )
7169, 70, 52syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) `  m )  e.  CC )
7269, 70, 64syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) `  m
)  e.  CC )
7339, 56oveq12d 6040 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n )  -  (
( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) )  =  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m ) ) )
74 eqid 2389 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) )
75 ovex 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m ) )  e.  _V
7673, 74, 75fvmpt 5747 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) `  m )  =  ( ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ m )  /  m )  -  (
( ( _i  x.  A ) ^ m
)  /  m ) ) )
7776adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) ) `  m )  =  ( ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ m
)  /  m )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^ m )  /  m ) ) )
7843, 60oveq12d 6040 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) `  m
)  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) `  m ) )  =  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m ) ) )
7977, 78eqtr4d 2424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) ) `  m )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) `  m
)  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) `  m ) ) )
8069, 70, 79syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) `  m )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) `
 m )  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) `  m ) ) )
8168, 71, 72, 80sersub 11295 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n )  -  (
( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) ) ) `  k )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) ) `  k
)  -  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) `  k ) ) )
821, 3, 31, 33, 36, 54, 66, 81climsub 12356 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) )  ~~>  ( -u ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  -u ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )
83 addcl 9007 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
8426, 9, 83sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
85 bndatandm 20638 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  A  e.  dom arctan )
86 atandm2 20586 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom arctan  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 ) )
8785, 86sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 ) )
8887simp3d 971 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
8984, 88logcld 20337 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
90 subcl 9239 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
9126, 9, 90sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
9287simp2d 970 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  =/=  0 )
9391, 92logcld 20337 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
9489, 93neg2subd 9362 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( -u ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  -u ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )  =  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) ) )
9582, 94breqtrd 4179 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) )  ~~>  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) )
9651, 63subcld 9345 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ m
)  /  m )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^ m )  /  m ) )  e.  CC )
9777, 96eqeltrd 2463 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) ) `  m )  e.  CC )
984a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  _i  e.  CC )
994negcli 9302 . . . . . . . . 9  |-  -u _i  e.  CC
10044adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN0 )
101 expcl 11328 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( -u _i ^
m )  e.  CC )
10299, 100, 101sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( -u _i ^ m )  e.  CC )
103 expcl 11328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ m
)  e.  CC )
1044, 100, 103sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( _i ^
m )  e.  CC )
105102, 104subcld 9345 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) )  e.  CC )
106 2cn 10004 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
107106a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
108 2ne0 10017 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
109108a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  2  =/=  0
)
11098, 105, 107, 109div23d 9761 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) )  /  2
)  =  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) ) )
111110oveq1d 6037 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) )  =  ( ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) )  x.  (
( A ^ m
)  /  m ) ) )
1126adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( _i  / 
2 )  e.  CC )
113 expcl 11328 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( A ^ m
)  e.  CC )
1147, 44, 113syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A ^
m )  e.  CC )
115114, 48, 50divcld 9724 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( A ^ m )  /  m )  e.  CC )
116112, 105, 115mulassd 9046 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) )  x.  (
( A ^ m
)  /  m ) )  =  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) ) ) )
117102, 104, 114subdird 9424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) )  x.  ( A ^
m ) )  =  ( ( ( -u _i ^ m )  x.  ( A ^ m
) )  -  (
( _i ^ m
)  x.  ( A ^ m ) ) ) )
1187adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
119 mulneg1 9404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  =  -u ( _i  x.  A
) )
1204, 118, 119sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( -u _i  x.  A )  =  -u ( _i  x.  A
) )
121120oveq1d 6037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( -u _i  x.  A ) ^
m )  =  (
-u ( _i  x.  A ) ^ m
) )
12299a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  -u _i  e.  CC )
123122, 118, 100mulexpd 11467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( -u _i  x.  A ) ^
m )  =  ( ( -u _i ^
m )  x.  ( A ^ m ) ) )
124121, 123eqtr3d 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( -u (
_i  x.  A ) ^ m )  =  ( ( -u _i ^ m )  x.  ( A ^ m
) ) )
12598, 118, 100mulexpd 11467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( _i  x.  A ) ^
m )  =  ( ( _i ^ m
)  x.  ( A ^ m ) ) )
126124, 125oveq12d 6040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  -  ( ( _i  x.  A ) ^
m ) )  =  ( ( ( -u _i ^ m )  x.  ( A ^ m
) )  -  (
( _i ^ m
)  x.  ( A ^ m ) ) ) )
127117, 126eqtr4d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) )  x.  ( A ^
m ) )  =  ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ m )  -  ( ( _i  x.  A ) ^ m
) ) )
128127oveq1d 6037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( -u _i ^
m )  -  (
_i ^ m ) )  x.  ( A ^ m ) )  /  m )  =  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  -  ( ( _i  x.  A ) ^
m ) )  /  m ) )
129105, 114, 48, 50divassd 9759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( -u _i ^
m )  -  (
_i ^ m ) )  x.  ( A ^ m ) )  /  m )  =  ( ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) ) )
13046, 62, 48, 50divsubdird 9763 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ m
)  -  ( ( _i  x.  A ) ^ m ) )  /  m )  =  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
) ) )
131128, 129, 1303eqtr3d 2429 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) )  =  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
) ) )
132131oveq2d 6038 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) ) )  =  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ m
)  /  m )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^ m )  /  m ) ) ) )
133111, 116, 1323eqtrd 2425 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) )  =  ( ( _i  / 
2 )  x.  (
( ( -u (
_i  x.  A ) ^ m )  /  m )  -  (
( ( _i  x.  A ) ^ m
)  /  m ) ) ) )
134 oveq2 6030 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  ( -u _i ^ n )  =  ( -u _i ^ m ) )
135 oveq2 6030 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
_i ^ n )  =  ( _i ^
m ) )
136134, 135oveq12d 6040 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  (
( -u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) )  =  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) )
137136oveq2d 6038 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
_i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^
n ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) ) )
138137oveq1d 6037 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( _i  x.  (
( -u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  =  ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) )  /  2
) )
139 oveq2 6030 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ m
) )
140139, 38oveq12d 6040 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( A ^ n
)  /  n )  =  ( ( A ^ m )  /  m ) )
141138, 140oveq12d 6040 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) ) )
142 atantayl.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )
143 ovex 6047 . . . . . 6  |-  ( ( ( _i  x.  (
( -u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) )  e. 
_V
144141, 142, 143fvmpt 5747 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  ( F `  m )  =  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) ) )
145144adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  m )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) ) )
14677oveq2d 6038 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) ) `
 m ) )  =  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
) ) ) )
147133, 145, 1463eqtr4d 2431 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  m )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n )  -  (
( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) ) `  m
) ) )
1481, 3, 6, 95, 97, 147isermulc2 12380 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) ) ) )
149 atanval 20593 . . 3  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  (arctan `  A )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) )
15085, 149syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
(arctan `  A )  =  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) )
151148, 150breqtrrd 4181 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  (arctan `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   _Vcvv 2901   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   dom cdm 4820   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   RRcr 8924   0cc0 8925   1c1 8926   _ici 8927    + caddc 8928    x. cmul 8930    < clt 9055    - cmin 9225   -ucneg 9226    / cdiv 9611   NNcn 9934   2c2 9983   NN0cn0 10155   ZZcz 10216   ZZ>=cuz 10422   ...cfz 10977    seq cseq 11252   ^cexp 11311   abscabs 11968    ~~> cli 12207   logclog 20321  arctancatan 20573
This theorem is referenced by:  atantayl2  20647
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ioo 10854  df-ioc 10855  df-ico 10856  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-mod 11180  df-seq 11253  df-exp 11312  df-fac 11496  df-bc 11523  df-hash 11548  df-shft 11811  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-limsup 12194  df-clim 12211  df-rlim 12212  df-sum 12409  df-ef 12599  df-sin 12601  df-cos 12602  df-tan 12603  df-pi 12604  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-mulg 14744  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-nei 17087  df-lp 17125  df-perf 17126  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-haus 17303  df-cmp 17374  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-fil 17801  df-fm 17893  df-flim 17894  df-flf 17895  df-xms 18261  df-ms 18262  df-tms 18263  df-cncf 18781  df-limc 19622  df-dv 19623  df-ulm 20162  df-log 20323  df-atan 20576
  Copyright terms: Public domain W3C validator