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Theorem atantayl 20769
Description: The Taylor series for arctan ( A
). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
atantayl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
atantayl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  (arctan `  A ) )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem atantayl
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10513 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10303 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
1  e.  ZZ )
4 ax-icn 9041 . . . 4  |-  _i  e.  CC
5 halfcl 10185 . . . 4  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i  /  2 )  e.  CC )
64, 5mp1i 12 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( _i  /  2
)  e.  CC )
7 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  A  e.  CC )
8 mulcl 9066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
94, 7, 8sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( _i  x.  A
)  e.  CC )
109negcld 9390 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  -u ( _i  x.  A
)  e.  CC )
119absnegd 12243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  -u (
_i  x.  A )
)  =  ( abs `  ( _i  x.  A
) ) )
12 absmul 12091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( abs `  (
_i  x.  A )
)  =  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  A
) ) )
134, 7, 12sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  (
_i  x.  A )
)  =  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  A
) ) )
14 absi 12083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs `  _i )  =  1
1514oveq1i 6083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  A
) )  =  ( 1  x.  ( abs `  A ) )
16 abscl 12075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
1716adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
1817recnd 9106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  e.  CC )
1918mulid2d 9098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  x.  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  A
) )
2015, 19syl5eq 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  A
) )
2111, 13, 203eqtrd 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  -u (
_i  x.  A )
)  =  ( abs `  A ) )
22 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  <  1 )
2321, 22eqbrtrd 4224 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  -u (
_i  x.  A )
)  <  1 )
24 logtayl 20543 . . . . . . 7  |-  ( (
-u ( _i  x.  A )  e.  CC  /\  ( abs `  -u (
_i  x.  A )
)  <  1 )  ->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) )  ~~>  -u ( log `  ( 1  - 
-u ( _i  x.  A ) ) ) )
2510, 23, 24syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) )  ~~> 
-u ( log `  (
1  -  -u (
_i  x.  A )
) ) )
26 ax-1cn 9040 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
27 subneg 9342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  - 
-u ( _i  x.  A ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
2826, 9, 27sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  -  -u (
_i  x.  A )
)  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
2928fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( log `  (
1  -  -u (
_i  x.  A )
) )  =  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
3029negeqd 9292 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  -u ( log `  (
1  -  -u (
_i  x.  A )
) )  =  -u ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
3125, 30breqtrd 4228 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) )  ~~> 
-u ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
32 seqex 11317 . . . . . 6  |-  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n )  -  (
( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) ) )  e. 
_V
3332a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) )  e.  _V )
3411, 23eqbrtrrd 4226 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  (
_i  x.  A )
)  <  1 )
35 logtayl 20543 . . . . . 6  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( _i  x.  A ) )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )
369, 34, 35syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )
37 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  =  ( -u (
_i  x.  A ) ^ m ) )
38 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  n  =  m )
3937, 38oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( -u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n )  =  ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m ) )
40 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) )
41 ovex 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ m
)  /  m )  e.  _V
4239, 40, 41fvmpt 5798 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) `  m )  =  ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
) )
4342adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) `  m )  =  ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m ) )
44 nnnn0 10220 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
45 expcl 11391 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( _i  x.  A )  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( -u ( _i  x.  A ) ^
m )  e.  CC )
4610, 44, 45syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( -u (
_i  x.  A ) ^ m )  e.  CC )
47 nncn 10000 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
4847adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
49 nnne0 10024 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
5049adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  m  =/=  0
)
5146, 48, 50divcld 9782 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m )  e.  CC )
5243, 51eqeltrd 2509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) `  m )  e.  CC )
531, 3, 52serf 11343 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) ) : NN --> CC )
5453ffvelrnda 5862 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) `  k )  e.  CC )
55 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( _i  x.  A
) ^ n )  =  ( ( _i  x.  A ) ^
m ) )
5655, 38oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n )  =  ( ( ( _i  x.  A ) ^ m )  /  m ) )
57 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  /  n ) )
58 ovex 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m )  e. 
_V
5956, 57, 58fvmpt 5798 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) `  m
)  =  ( ( ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m ) )
6059adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) `
 m )  =  ( ( ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
) )
61 expcl 11391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( _i  x.  A ) ^ m
)  e.  CC )
629, 44, 61syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( _i  x.  A ) ^
m )  e.  CC )
6362, 48, 50divcld 9782 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ m )  /  m )  e.  CC )
6460, 63eqeltrd 2509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) `
 m )  e.  CC )
651, 3, 64serf 11343 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) : NN --> CC )
6665ffvelrnda 5862 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) ) `  k
)  e.  CC )
67 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
6867, 1syl6eleq 2525 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
69 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
) )
70 elfznn 11072 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( 1 ... k )  ->  m  e.  NN )
7169, 70, 52syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) `  m )  e.  CC )
7269, 70, 64syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) `  m
)  e.  CC )
7339, 56oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n )  -  (
( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) )  =  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m ) ) )
74 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) )
75 ovex 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m ) )  e.  _V
7673, 74, 75fvmpt 5798 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) `  m )  =  ( ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ m )  /  m )  -  (
( ( _i  x.  A ) ^ m
)  /  m ) ) )
7776adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) ) `  m )  =  ( ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ m
)  /  m )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^ m )  /  m ) ) )
7843, 60oveq12d 6091 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) `  m
)  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) `  m ) )  =  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m ) ) )
7977, 78eqtr4d 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) ) `  m )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) `  m
)  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) `  m ) ) )
8069, 70, 79syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) `  m )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) `
 m )  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) `  m ) ) )
8168, 71, 72, 80sersub 11358 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n )  -  (
( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) ) ) `  k )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) ) `  k
)  -  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) `  k ) ) )
821, 3, 31, 33, 36, 54, 66, 81climsub 12419 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) )  ~~>  ( -u ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  -u ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) ) )
83 addcl 9064 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
8426, 9, 83sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
85 bndatandm 20761 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  A  e.  dom arctan )
86 atandm2 20709 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom arctan  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 ) )
8785, 86sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( A  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  A )
)  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 ) )
8887simp3d 971 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
8984, 88logcld 20460 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
90 subcl 9297 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
9126, 9, 90sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  e.  CC )
9287simp2d 970 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  -  (
_i  x.  A )
)  =/=  0 )
9391, 92logcld 20460 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  e.  CC )
9489, 93neg2subd 9420 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( -u ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) )  -  -u ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) ) )  =  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) ) )
9582, 94breqtrd 4228 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
) ) ) )  ~~>  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) )
9651, 63subcld 9403 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ m
)  /  m )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^ m )  /  m ) )  e.  CC )
9777, 96eqeltrd 2509 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u ( _i  x.  A ) ^
n )  /  n
)  -  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  n ) ) ) `  m )  e.  CC )
984a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  _i  e.  CC )
994negcli 9360 . . . . . . . . 9  |-  -u _i  e.  CC
10044adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN0 )
101 expcl 11391 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( -u _i ^
m )  e.  CC )
10299, 100, 101sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( -u _i ^ m )  e.  CC )
103 expcl 11391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ m
)  e.  CC )
1044, 100, 103sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( _i ^
m )  e.  CC )
105102, 104subcld 9403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) )  e.  CC )
106 2cn 10062 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
107106a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
108 2ne0 10075 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
109108a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  2  =/=  0
)
11098, 105, 107, 109div23d 9819 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) )  /  2
)  =  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) ) )
111110oveq1d 6088 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) )  =  ( ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) )  x.  (
( A ^ m
)  /  m ) ) )
1126adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( _i  / 
2 )  e.  CC )
113 expcl 11391 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( A ^ m
)  e.  CC )
1147, 44, 113syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A ^
m )  e.  CC )
115114, 48, 50divcld 9782 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( A ^ m )  /  m )  e.  CC )
116112, 105, 115mulassd 9103 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) )  x.  (
( A ^ m
)  /  m ) )  =  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) ) ) )
117102, 104, 114subdird 9482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) )  x.  ( A ^
m ) )  =  ( ( ( -u _i ^ m )  x.  ( A ^ m
) )  -  (
( _i ^ m
)  x.  ( A ^ m ) ) ) )
1187adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
119 mulneg1 9462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  =  -u ( _i  x.  A
) )
1204, 118, 119sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( -u _i  x.  A )  =  -u ( _i  x.  A
) )
121120oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( -u _i  x.  A ) ^
m )  =  (
-u ( _i  x.  A ) ^ m
) )
12299a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  -u _i  e.  CC )
123122, 118, 100mulexpd 11530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( -u _i  x.  A ) ^
m )  =  ( ( -u _i ^
m )  x.  ( A ^ m ) ) )
124121, 123eqtr3d 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( -u (
_i  x.  A ) ^ m )  =  ( ( -u _i ^ m )  x.  ( A ^ m
) ) )
12598, 118, 100mulexpd 11530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( _i  x.  A ) ^
m )  =  ( ( _i ^ m
)  x.  ( A ^ m ) ) )
126124, 125oveq12d 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  -  ( ( _i  x.  A ) ^
m ) )  =  ( ( ( -u _i ^ m )  x.  ( A ^ m
) )  -  (
( _i ^ m
)  x.  ( A ^ m ) ) ) )
127117, 126eqtr4d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) )  x.  ( A ^
m ) )  =  ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ m )  -  ( ( _i  x.  A ) ^ m
) ) )
128127oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( -u _i ^
m )  -  (
_i ^ m ) )  x.  ( A ^ m ) )  /  m )  =  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  -  ( ( _i  x.  A ) ^
m ) )  /  m ) )
129105, 114, 48, 50divassd 9817 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( -u _i ^
m )  -  (
_i ^ m ) )  x.  ( A ^ m ) )  /  m )  =  ( ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) ) )
13046, 62, 48, 50divsubdird 9821 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ m
)  -  ( ( _i  x.  A ) ^ m ) )  /  m )  =  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
) ) )
131128, 129, 1303eqtr3d 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) )  =  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
) ) )
132131oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) ) )  =  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ m
)  /  m )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^ m )  /  m ) ) ) )
133111, 116, 1323eqtrd 2471 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) )  =  ( ( _i  / 
2 )  x.  (
( ( -u (
_i  x.  A ) ^ m )  /  m )  -  (
( ( _i  x.  A ) ^ m
)  /  m ) ) ) )
134 oveq2 6081 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  ( -u _i ^ n )  =  ( -u _i ^ m ) )
135 oveq2 6081 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
_i ^ n )  =  ( _i ^
m ) )
136134, 135oveq12d 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  (
( -u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) )  =  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) )
137136oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
_i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^
n ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) ) )
138137oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( _i  x.  (
( -u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  =  ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) )  /  2
) )
139 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ m
) )
140139, 38oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( A ^ n
)  /  n )  =  ( ( A ^ m )  /  m ) )
141138, 140oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) ) )
142 atantayl.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )
143 ovex 6098 . . . . . 6  |-  ( ( ( _i  x.  (
( -u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) )  e. 
_V
144141, 142, 143fvmpt 5798 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  ( F `  m )  =  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ m
)  -  ( _i
^ m ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) ) )
145144adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  m )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ m )  -  ( _i ^ m ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ m )  /  m ) ) )
14677oveq2d 6089 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( (
-u ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  /  n ) ) ) `
 m ) )  =  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( ( -u ( _i  x.  A
) ^ m )  /  m )  -  ( ( ( _i  x.  A ) ^
m )  /  m
) ) ) )
147133, 145, 1463eqtr4d 2477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  m )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( -u (
_i  x.  A ) ^ n )  /  n )  -  (
( ( _i  x.  A ) ^ n
)  /  n ) ) ) `  m
) ) )
1481, 3, 6, 95, 97, 147isermulc2 12443 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) ) ) )
149 atanval 20716 . . 3  |-  ( A  e.  dom arctan  ->  (arctan `  A )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) )
15085, 149syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
(arctan `  A )  =  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) )
151148, 150breqtrrd 4230 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  (arctan `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   _Vcvv 2948   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   dom cdm 4870   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983   _ici 8984    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    - cmin 9283   -ucneg 9284    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   ...cfz 11035    seq cseq 11315   ^cexp 11374   abscabs 12031    ~~> cli 12270   logclog 20444  arctancatan 20696
This theorem is referenced by:  atantayl2  20770
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-tan 12666  df-pi 12667  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-cmp 17442  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-ulm 20285  df-log 20446  df-atan 20699
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