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Theorem atantayl2 20780
Description: The Taylor series for arctan ( A
). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
atantayl2.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  ( ( -u 1 ^ ( ( n  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A ^ n
)  /  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
atantayl2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  (arctan `  A ) )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem atantayl2
StepHypRef Expression
1 atantayl2.1 . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  ( ( -u 1 ^ ( ( n  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A ^ n
)  /  n ) ) ) )
2 eqeq1 2444 . . . . . 6  |-  ( 0  =  if ( 2 
||  n ,  0 ,  ( ( -u
1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )  ->  ( 0  =  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) )  <-> 
if ( 2  ||  n ,  0 , 
( ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A ^
n )  /  n
) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) ) )
3 eqeq1 2444 . . . . . 6  |-  ( ( ( -u 1 ^ ( ( n  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A ^ n
)  /  n ) )  =  if ( 2  ||  n ,  0 ,  ( (
-u 1 ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )  ->  ( (
( -u 1 ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) )  <->  if (
2  ||  n , 
0 ,  ( (
-u 1 ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  (
( -u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) ) )
4 ax-icn 9051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _i  e.  CC
54negcli 9370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u _i  e.  CC
65a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  -u _i  e.  CC )
7 nnnn0 10230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
87ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  n  e.  NN0 )
96, 8expcld 11525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ n )  e.  CC )
10 sqneg 11444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i  e.  CC  ->  ( -u _i ^ 2 )  =  ( _i ^
2 ) )
114, 10ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u _i ^ 2 )  =  ( _i ^ 2 )
1211oveq1i 6093 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u _i ^ 2 ) ^ ( n  /  2 ) )  =  ( ( _i
^ 2 ) ^
( n  /  2
) )
13 ine0 9471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  _i  =/=  0
144, 13negne0i 9377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u _i  =/=  0
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  -u _i  =/=  0 )
16 2z 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  ZZ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  2  e.  ZZ )
1816a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  ZZ )
19 2ne0 10085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =/=  0
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  2  =/=  0
)
21 nnz 10305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
2221adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
23 dvdsval2 12857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
2  ||  n  <->  ( n  /  2 )  e.  ZZ ) )
2418, 20, 22, 23syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  ||  n 
<->  ( n  /  2
)  e.  ZZ ) )
2524biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
n  /  2 )  e.  ZZ )
26 expmulz 11428 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -u _i  e.  CC  /\  -u _i  =/=  0
)  /\  ( 2  e.  ZZ  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ ) )  ->  ( -u _i ^ ( 2  x.  ( n  /  2
) ) )  =  ( ( -u _i ^ 2 ) ^
( n  /  2
) ) )
276, 15, 17, 25, 26syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ ( 2  x.  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( -u _i ^ 2 ) ^
( n  /  2
) ) )
284a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  _i  e.  CC )
2913a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  _i  =/=  0 )
30 expmulz 11428 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  ZZ  /\  ( n  /  2 )  e.  ZZ ) )  -> 
( _i ^ (
2  x.  ( n  /  2 ) ) )  =  ( ( _i ^ 2 ) ^ ( n  / 
2 ) ) )
3128, 29, 17, 25, 30syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
_i ^ ( 2  x.  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( _i
^ 2 ) ^
( n  /  2
) ) )
3212, 27, 313eqtr4a 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ ( 2  x.  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( _i ^
( 2  x.  (
n  /  2 ) ) ) )
33 nncn 10010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
3433ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  n  e.  CC )
35 2cn 10072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  CC
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  2  e.  CC )
3719a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  2  =/=  0 )
3834, 36, 37divcan2d 9794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
2  x.  ( n  /  2 ) )  =  n )
3938oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ ( 2  x.  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( -u _i ^ n ) )
4038oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
_i ^ ( 2  x.  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( _i ^
n ) )
4132, 39, 403eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ n )  =  ( _i ^
n ) )
429, 41subeq0bd 9465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
( -u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) )  =  0 )
4342oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
_i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^
n ) ) )  =  ( _i  x.  0 ) )
444mul01i 9258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
4543, 44syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
_i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^
n ) ) )  =  0 )
4645oveq1d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
( _i  x.  (
( -u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  =  ( 0  / 
2 ) )
4735, 19div0i 9750 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  /  2 )  =  0
4846, 47syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
( _i  x.  (
( -u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  =  0 )
4948oveq1d 6098 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) )  =  ( 0  x.  ( ( A ^
n )  /  n
) ) )
50 simplll 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  A  e.  CC )
5150, 8expcld 11525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  ( A ^ n )  e.  CC )
52 nnne0 10034 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
5352ad2antlr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  n  =/=  0 )
5451, 34, 53divcld 9792 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
( A ^ n
)  /  n )  e.  CC )
5554mul02d 9266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
0  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) )  =  0 )
5649, 55eqtr2d 2471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  0  =  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )
57 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
5857negcli 9370 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  CC
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  -u 1  e.  CC )
60 ax-1ne0 9061 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =/=  0
6157, 60negne0i 9377 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  =/=  0
6261a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  -u 1  =/=  0 )
6333ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  n  e.  CC )
64 peano2cn 9240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n  +  1 )  e.  CC )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
n  +  1 )  e.  CC )
6635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  2  e.  CC )
6719a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  2  =/=  0 )
6865, 66, 66, 67divsubdird 9831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( ( n  + 
1 )  -  2 )  /  2 )  =  ( ( ( n  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  /  2
) ) )
6935, 19dividi 9749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  /  2 )  =  1
7069oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( ( n  +  1 )  / 
2 )  -  1 )
7168, 70syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( ( n  + 
1 )  -  2 )  /  2 )  =  ( ( ( n  +  1 )  /  2 )  - 
1 ) )
72 df-2 10060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =  ( 1  +  1 )
7372oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  +  1 )  -  2 )  =  ( ( n  + 
1 )  -  (
1  +  1 ) )
7457a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  1  e.  CC )
7563, 74, 74pnpcan2d 9451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( n  +  1 )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( n  - 
1 ) )
7673, 75syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( n  +  1 )  -  2 )  =  ( n  - 
1 ) )
7776oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( ( n  + 
1 )  -  2 )  /  2 )  =  ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )
7871, 77eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( ( n  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  =  ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )
7924notbid 287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( -.  2  ||  n  <->  -.  ( n  /  2 )  e.  ZZ ) )
80 zeo 10357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( n  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( n  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
8122, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  /  2 )  e.  ZZ  \/  ( ( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
8281ord 368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( -.  (
n  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
8379, 82sylbid 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( -.  2  ||  n  ->  ( ( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
8483imp 420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
85 peano2zm 10322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
( ( n  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  e.  ZZ )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( ( n  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  e.  ZZ )
8778, 86eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( n  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
8859, 62, 87expclzd 11530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
8988, 66, 67divcan3d 9797 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( 2  x.  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) ) )  /  2 )  =  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )
90882timesd 10212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
2  x.  ( -u
1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  ( -u
1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) ) ) )
91 subcl 9307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( n  -  1 )  e.  CC )
9263, 57, 91sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
n  -  1 )  e.  CC )
9392, 66, 67divcan2d 9794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
2  x.  ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  =  ( n  - 
1 ) )
9493oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ ( 2  x.  ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( -u _i ^ ( n  - 
1 ) ) )
955a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  -u _i  e.  CC )
9614a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  -u _i  =/=  0 )
9721ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  n  e.  ZZ )
9895, 96, 97expm1d 11535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ ( n  -  1 ) )  =  ( ( -u _i ^ n )  /  -u _i ) )
9994, 98eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ ( 2  x.  ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( -u _i ^ n )  /  -u _i ) )
10016a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  2  e.  ZZ )
101 expmulz 11428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -u _i  e.  CC  /\  -u _i  =/=  0
)  /\  ( 2  e.  ZZ  /\  (
( n  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )  ->  ( -u _i ^ ( 2  x.  ( ( n  - 
1 )  /  2
) ) )  =  ( ( -u _i ^ 2 ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) ) )
10295, 96, 100, 87, 101syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ ( 2  x.  ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( -u _i ^ 2 ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) ) )
1037ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  n  e.  NN0 )
104 expcl 11401 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u _i ^
n )  e.  CC )
1055, 103, 104sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ n )  e.  CC )
106105, 95, 96divrec2d 9796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( -u _i ^ n
)  /  -u _i )  =  ( (
1  /  -u _i )  x.  ( -u _i ^ n ) ) )
10799, 102, 1063eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( -u _i ^ 2 ) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( 1  /  -u _i )  x.  ( -u _i ^
n ) ) )
108 i2 11483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
10911, 108eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u _i ^ 2 )  = 
-u 1
110109oveq1i 6093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u _i ^ 2 ) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )
111 irec 11482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  _i )  = 
-u _i
112111negeqi 9301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
1  /  _i )  =  -u -u _i
113 divneg2 9740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )  ->  -u (
1  /  _i )  =  ( 1  /  -u _i ) )
11457, 4, 13, 113mp3an 1280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
1  /  _i )  =  ( 1  /  -u _i )
1154negnegi 9372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u -u _i  =  _i
116112, 114, 1153eqtr3i 2466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  -u _i )  =  _i
117116oveq1i 6093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  -u _i )  x.  ( -u _i ^ n ) )  =  ( _i  x.  ( -u _i ^ n
) )
118107, 110, 1173eqtr3g 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  =  ( _i  x.  ( -u _i ^ n
) ) )
11993oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
_i ^ ( 2  x.  ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( _i ^
( n  -  1 ) ) )
1204a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  _i  e.  CC )
12113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  _i  =/=  0 )
122120, 121, 97expm1d 11535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
_i ^ ( n  -  1 ) )  =  ( ( _i
^ n )  /  _i ) )
123119, 122eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
_i ^ ( 2  x.  ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( _i
^ n )  /  _i ) )
124 expmulz 11428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( n  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )  -> 
( _i ^ (
2  x.  ( ( n  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( _i ^ 2 ) ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )
125120, 121, 100, 87, 124syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
_i ^ ( 2  x.  ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( _i
^ 2 ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) ) )
126 expcl 11401 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ n
)  e.  CC )
1274, 103, 126sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
_i ^ n )  e.  CC )
128127, 120, 121divrec2d 9796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( _i ^ n
)  /  _i )  =  ( ( 1  /  _i )  x.  ( _i ^ n
) ) )
129123, 125, 1283eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( _i ^ 2 ) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( 1  /  _i )  x.  ( _i ^ n
) ) )
130108oveq1i 6093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i ^ 2 ) ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( n  - 
1 )  /  2
) )
131111oveq1i 6093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  _i )  x.  ( _i ^
n ) )  =  ( -u _i  x.  ( _i ^ n ) )
132129, 130, 1313eqtr3g 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  =  ( -u _i  x.  ( _i ^ n
) ) )
133 mulneg1 9472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( _i ^ n )  e.  CC )  -> 
( -u _i  x.  (
_i ^ n ) )  =  -u (
_i  x.  ( _i ^ n ) ) )
1344, 127, 133sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u _i  x.  ( _i
^ n ) )  =  -u ( _i  x.  ( _i ^ n ) ) )
135132, 134eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  =  -u ( _i  x.  ( _i ^ n ) ) )
136118, 135oveq12d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( -u 1 ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  ( -u
1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( -u _i ^ n ) )  +  -u ( _i  x.  ( _i ^ n ) ) ) )
137 mulcl 9076 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( -u _i ^ n
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( -u _i ^ n
) )  e.  CC )
1384, 105, 137sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
_i  x.  ( -u _i ^ n ) )  e.  CC )
139 mulcl 9076 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( _i ^ n )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
_i ^ n ) )  e.  CC )
1404, 127, 139sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
_i  x.  ( _i ^ n ) )  e.  CC )
141138, 140negsubd 9419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( _i  x.  ( -u _i ^ n ) )  +  -u (
_i  x.  ( _i ^ n ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( -u _i ^ n ) )  -  ( _i  x.  ( _i ^ n ) ) ) )
142120, 105, 127subdid 9491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
_i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^
n ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( -u _i ^ n ) )  -  ( _i  x.  ( _i ^ n ) ) ) )
143141, 142eqtr4d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( _i  x.  ( -u _i ^ n ) )  +  -u (
_i  x.  ( _i ^ n ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) ) )
14490, 136, 1433eqtrd 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
2  x.  ( -u
1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) ) )
145144oveq1d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( 2  x.  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) ) )  /  2 )  =  ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
) )
14689, 145eqtr3d 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
) )
147146oveq1d 6098 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( -u 1 ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )
1482, 3, 56, 147ifbothda 3771 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( 2 
||  n ,  0 ,  ( ( -u
1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )
149148mpteq2dva 4297 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  ( ( -u 1 ^ ( ( n  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A ^ n
)  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) ) )
1501, 149syl5eq 2482 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) ) )
151150seqeq3d 11333 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  =  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) ) ) )
152 eqid 2438 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  (
( -u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )
153152atantayl 20779 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) ) )  ~~>  (arctan `  A ) )
154151, 153eqbrtrd 4234 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  (arctan `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   ifcif 3741   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   0cc0 8992   1c1 8993   _ici 8994    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    - cmin 9293   -ucneg 9294    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   NN0cn0 10223   ZZcz 10284    seq cseq 11325   ^cexp 11384   abscabs 12041    ~~> cli 12280    || cdivides 12854  arctancatan 20706
This theorem is referenced by:  atantayl3  20781  leibpi  20784
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675  df-tan 12676  df-pi 12677  df-dvds 12855  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-cmp 17452  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-ulm 20295  df-log 20456  df-atan 20709
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