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Theorem atantayl2 20250
Description: The Taylor series for arctan ( A
). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
atantayl2.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  ( ( -u 1 ^ ( ( n  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A ^ n
)  /  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
atantayl2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  (arctan `  A ) )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem atantayl2
StepHypRef Expression
1 atantayl2.1 . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  ( ( -u 1 ^ ( ( n  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A ^ n
)  /  n ) ) ) )
2 eqeq1 2302 . . . . . 6  |-  ( 0  =  if ( 2 
||  n ,  0 ,  ( ( -u
1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )  ->  ( 0  =  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) )  <-> 
if ( 2  ||  n ,  0 , 
( ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A ^
n )  /  n
) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) ) )
3 eqeq1 2302 . . . . . 6  |-  ( ( ( -u 1 ^ ( ( n  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A ^ n
)  /  n ) )  =  if ( 2  ||  n ,  0 ,  ( (
-u 1 ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )  ->  ( (
( -u 1 ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) )  <->  if (
2  ||  n , 
0 ,  ( (
-u 1 ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  (
( -u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) ) )
4 ax-icn 8812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _i  e.  CC
5 sqneg 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i  e.  CC  ->  ( -u _i ^ 2 )  =  ( _i ^
2 ) )
64, 5ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u _i ^ 2 )  =  ( _i ^ 2 )
76oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u _i ^ 2 ) ^ ( n  /  2 ) )  =  ( ( _i
^ 2 ) ^
( n  /  2
) )
84negcli 9130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u _i  e.  CC
98a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  -u _i  e.  CC )
10 ine0 9231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  _i  =/=  0
114, 10negne0i 9137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u _i  =/=  0
1211a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  -u _i  =/=  0 )
13 2z 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  ZZ
1413a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  2  e.  ZZ )
1513a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  ZZ )
16 2ne0 9845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =/=  0
1716a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  2  =/=  0
)
18 nnz 10061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
1918adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
20 dvdsval2 12550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
2  ||  n  <->  ( n  /  2 )  e.  ZZ ) )
2115, 17, 19, 20syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  ||  n 
<->  ( n  /  2
)  e.  ZZ ) )
2221biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
n  /  2 )  e.  ZZ )
23 expmulz 11164 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -u _i  e.  CC  /\  -u _i  =/=  0
)  /\  ( 2  e.  ZZ  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ ) )  ->  ( -u _i ^ ( 2  x.  ( n  /  2
) ) )  =  ( ( -u _i ^ 2 ) ^
( n  /  2
) ) )
249, 12, 14, 22, 23syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ ( 2  x.  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( -u _i ^ 2 ) ^
( n  /  2
) ) )
254a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  _i  e.  CC )
2610a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  _i  =/=  0 )
27 expmulz 11164 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  ZZ  /\  ( n  /  2 )  e.  ZZ ) )  -> 
( _i ^ (
2  x.  ( n  /  2 ) ) )  =  ( ( _i ^ 2 ) ^ ( n  / 
2 ) ) )
2825, 26, 14, 22, 27syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
_i ^ ( 2  x.  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( _i
^ 2 ) ^
( n  /  2
) ) )
297, 24, 283eqtr4a 2354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ ( 2  x.  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( _i ^
( 2  x.  (
n  /  2 ) ) ) )
30 nncn 9770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
3130ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  n  e.  CC )
32 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  CC
3332a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  2  e.  CC )
3416a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  2  =/=  0 )
3531, 33, 34divcan2d 9554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
2  x.  ( n  /  2 ) )  =  n )
3635oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ ( 2  x.  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( -u _i ^ n ) )
3735oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
_i ^ ( 2  x.  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( _i ^
n ) )
3829, 36, 373eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ n )  =  ( _i ^
n ) )
39 nnnn0 9988 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
4039ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  n  e.  NN0 )
419, 40expcld 11261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ n )  e.  CC )
42 expcl 11137 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ n
)  e.  CC )
434, 40, 42sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
_i ^ n )  e.  CC )
44 subeq0 9089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -u _i ^
n )  e.  CC  /\  ( _i ^ n
)  e.  CC )  ->  ( ( (
-u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) )  =  0  <->  ( -u _i ^ n )  =  ( _i ^ n
) ) )
4541, 43, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) )  =  0  <->  ( -u _i ^ n )  =  ( _i ^
n ) ) )
4638, 45mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
( -u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) )  =  0 )
4746oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
_i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^
n ) ) )  =  ( _i  x.  0 ) )
484mul01i 9018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
4947, 48syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
_i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^
n ) ) )  =  0 )
5049oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
( _i  x.  (
( -u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  =  ( 0  / 
2 ) )
5132, 16div0i 9510 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  /  2 )  =  0
5250, 51syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
( _i  x.  (
( -u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  =  0 )
5352oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) )  =  ( 0  x.  ( ( A ^
n )  /  n
) ) )
54 simplll 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  A  e.  CC )
5554, 40expcld 11261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  ( A ^ n )  e.  CC )
56 nnne0 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
5756ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  n  =/=  0 )
5855, 31, 57divcld 9552 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
( A ^ n
)  /  n )  e.  CC )
5958mul02d 9026 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  (
0  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) )  =  0 )
6053, 59eqtr2d 2329 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  0  =  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )
61 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
6261negcli 9130 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  CC
6362a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  -u 1  e.  CC )
64 ax-1ne0 8822 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =/=  0
6561, 64negne0i 9137 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  =/=  0
6665a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  -u 1  =/=  0 )
6730ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  n  e.  CC )
68 peano2cn 9000 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n  +  1 )  e.  CC )
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
n  +  1 )  e.  CC )
7032a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  2  e.  CC )
7116a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  2  =/=  0 )
7269, 70, 70, 71divsubdird 9591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( ( n  + 
1 )  -  2 )  /  2 )  =  ( ( ( n  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  /  2
) ) )
7332, 16dividi 9509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  /  2 )  =  1
7473oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( ( n  +  1 )  / 
2 )  -  1 )
7572, 74syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( ( n  + 
1 )  -  2 )  /  2 )  =  ( ( ( n  +  1 )  /  2 )  - 
1 ) )
76 df-2 9820 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =  ( 1  +  1 )
7776oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  +  1 )  -  2 )  =  ( ( n  + 
1 )  -  (
1  +  1 ) )
7861a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  1  e.  CC )
7967, 78, 78pnpcan2d 9211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( n  +  1 )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( n  - 
1 ) )
8077, 79syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( n  +  1 )  -  2 )  =  ( n  - 
1 ) )
8180oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( ( n  + 
1 )  -  2 )  /  2 )  =  ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )
8275, 81eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( ( n  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  =  ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )
8321notbid 285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( -.  2  ||  n  <->  -.  ( n  /  2 )  e.  ZZ ) )
84 zeo 10113 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( n  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( n  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
8519, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  /  2 )  e.  ZZ  \/  ( ( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
8685ord 366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( -.  (
n  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
8783, 86sylbid 206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( -.  2  ||  n  ->  ( ( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
8887imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
89 peano2zm 10078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
( ( n  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  e.  ZZ )
9088, 89syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( ( n  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  e.  ZZ )
9182, 90eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( n  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
9263, 66, 91expclzd 11266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
9392, 70, 71divcan3d 9557 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( 2  x.  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) ) )  /  2 )  =  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )
94922timesd 9970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
2  x.  ( -u
1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  ( -u
1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) ) ) )
95 subcl 9067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( n  -  1 )  e.  CC )
9667, 61, 95sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
n  -  1 )  e.  CC )
9796, 70, 71divcan2d 9554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
2  x.  ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  =  ( n  - 
1 ) )
9897oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ ( 2  x.  ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( -u _i ^ ( n  - 
1 ) ) )
998a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  -u _i  e.  CC )
10011a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  -u _i  =/=  0 )
10118ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  n  e.  ZZ )
10299, 100, 101expm1d 11271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ ( n  -  1 ) )  =  ( ( -u _i ^ n )  /  -u _i ) )
10398, 102eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ ( 2  x.  ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( -u _i ^ n )  /  -u _i ) )
10413a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  2  e.  ZZ )
105 expmulz 11164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -u _i  e.  CC  /\  -u _i  =/=  0
)  /\  ( 2  e.  ZZ  /\  (
( n  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )  ->  ( -u _i ^ ( 2  x.  ( ( n  - 
1 )  /  2
) ) )  =  ( ( -u _i ^ 2 ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) ) )
10699, 100, 104, 91, 105syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ ( 2  x.  ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( -u _i ^ 2 ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) ) )
10739ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  n  e.  NN0 )
108 expcl 11137 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u _i ^
n )  e.  CC )
1098, 107, 108sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u _i ^ n )  e.  CC )
110109, 99, 100divrec2d 9556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( -u _i ^ n
)  /  -u _i )  =  ( (
1  /  -u _i )  x.  ( -u _i ^ n ) ) )
111103, 106, 1103eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( -u _i ^ 2 ) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( 1  /  -u _i )  x.  ( -u _i ^
n ) ) )
112 i2 11219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
1136, 112eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u _i ^ 2 )  = 
-u 1
114113oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u _i ^ 2 ) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )
115 irec 11218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  _i )  = 
-u _i
116115negeqi 9061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
1  /  _i )  =  -u -u _i
117 divneg2 9500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )  ->  -u (
1  /  _i )  =  ( 1  /  -u _i ) )
11861, 4, 10, 117mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
1  /  _i )  =  ( 1  /  -u _i )
1194negnegi 9132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u -u _i  =  _i
120116, 118, 1193eqtr3i 2324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  -u _i )  =  _i
121120oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  -u _i )  x.  ( -u _i ^ n ) )  =  ( _i  x.  ( -u _i ^ n
) )
122111, 114, 1213eqtr3g 2351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  =  ( _i  x.  ( -u _i ^ n
) ) )
12397oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
_i ^ ( 2  x.  ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( _i ^
( n  -  1 ) ) )
1244a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  _i  e.  CC )
12510a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  _i  =/=  0 )
126124, 125, 101expm1d 11271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
_i ^ ( n  -  1 ) )  =  ( ( _i
^ n )  /  _i ) )
127123, 126eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
_i ^ ( 2  x.  ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( _i
^ n )  /  _i ) )
128 expmulz 11164 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( n  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )  -> 
( _i ^ (
2  x.  ( ( n  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( _i ^ 2 ) ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )
129124, 125, 104, 91, 128syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
_i ^ ( 2  x.  ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( _i
^ 2 ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) ) )
1304, 107, 42sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
_i ^ n )  e.  CC )
131130, 124, 125divrec2d 9556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( _i ^ n
)  /  _i )  =  ( ( 1  /  _i )  x.  ( _i ^ n
) ) )
132127, 129, 1313eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( _i ^ 2 ) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( 1  /  _i )  x.  ( _i ^ n
) ) )
133112oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i ^ 2 ) ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( n  - 
1 )  /  2
) )
134115oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  _i )  x.  ( _i ^
n ) )  =  ( -u _i  x.  ( _i ^ n ) )
135132, 133, 1343eqtr3g 2351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  =  ( -u _i  x.  ( _i ^ n
) ) )
136 mulneg1 9232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( _i ^ n )  e.  CC )  -> 
( -u _i  x.  (
_i ^ n ) )  =  -u (
_i  x.  ( _i ^ n ) ) )
1374, 130, 136sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u _i  x.  ( _i
^ n ) )  =  -u ( _i  x.  ( _i ^ n ) ) )
138135, 137eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  =  -u ( _i  x.  ( _i ^ n ) ) )
139122, 138oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( -u 1 ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  ( -u
1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( -u _i ^ n ) )  +  -u ( _i  x.  ( _i ^ n ) ) ) )
140 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( -u _i ^ n
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( -u _i ^ n
) )  e.  CC )
1414, 109, 140sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
_i  x.  ( -u _i ^ n ) )  e.  CC )
142 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( _i ^ n )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
_i ^ n ) )  e.  CC )
1434, 130, 142sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
_i  x.  ( _i ^ n ) )  e.  CC )
144141, 143negsubd 9179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( _i  x.  ( -u _i ^ n ) )  +  -u (
_i  x.  ( _i ^ n ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( -u _i ^ n ) )  -  ( _i  x.  ( _i ^ n ) ) ) )
145124, 109, 130subdid 9251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
_i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^
n ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( -u _i ^ n ) )  -  ( _i  x.  ( _i ^ n ) ) ) )
146144, 145eqtr4d 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( _i  x.  ( -u _i ^ n ) )  +  -u (
_i  x.  ( _i ^ n ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) ) )
14794, 139, 1463eqtrd 2332 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
2  x.  ( -u
1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) ) )
148147oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( 2  x.  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) ) )  /  2 )  =  ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
) )
14993, 148eqtr3d 2330 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  ( -u 1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
) )
150149oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  (
( -u 1 ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )
1512, 3, 60, 150ifbothda 3608 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( 2 
||  n ,  0 ,  ( ( -u
1 ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )
152151mpteq2dva 4122 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  ( ( -u 1 ^ ( ( n  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A ^ n
)  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) ) )
1531, 152syl5eq 2340 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) ) )
154153seqeq3d 11070 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  =  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) ) ) )
155 eqid 2296 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  (
( -u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  ( (
-u _i ^ n
)  -  ( _i
^ n ) ) )  /  2 )  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) )
156155atantayl 20249 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( _i  x.  ( ( -u _i ^ n )  -  ( _i ^ n ) ) )  /  2
)  x.  ( ( A ^ n )  /  n ) ) ) )  ~~>  (arctan `  A ) )
157154, 156eqbrtrd 4059 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  (arctan `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754   _ici 8755    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040    seq cseq 11062   ^cexp 11120   abscabs 11735    ~~> cli 11974    || cdivides 12547  arctancatan 20176
This theorem is referenced by:  atantayl3  20251  leibpi  20254
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-tan 12369  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-ulm 19772  df-log 19930  df-atan 20179
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