Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atbase Unicode version

Theorem atbase 29479
Description: An atom is a member of the lattice base set (i.e. a lattice element). (atelch 22924 analog.) (Contributed by NM, 10-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atombase.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
atombase.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
atbase  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )

Proof of Theorem atbase
StepHypRef Expression
1 n0i 3460 . . . 4  |-  ( P  e.  A  ->  -.  A  =  (/) )
2 atombase.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
32eqeq1i 2290 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  <->  ( Atoms `  K
)  =  (/) )
41, 3sylnib 295 . . 3  |-  ( P  e.  A  ->  -.  ( Atoms `  K )  =  (/) )
5 fvprc 5519 . . 3  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  (
Atoms `  K )  =  (/) )
64, 5nsyl2 119 . 2  |-  ( P  e.  A  ->  K  e.  _V )
7 atombase.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
9 eqid 2283 . . . 4  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
107, 8, 9, 2isat 29476 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( P  e.  A  <->  ( P  e.  B  /\  ( 0. `  K ) ( 
<o  `  K ) P ) ) )
1110simprbda 606 . 2  |-  ( ( K  e.  _V  /\  P  e.  A )  ->  P  e.  B )
126, 11mpancom 650 1  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   Basecbs 13148   0.cp0 14143    <o ccvr 29452   Atomscatm 29453
This theorem is referenced by:  atssbase  29480  0ltat  29481  leatb  29482  meetat  29486  atnle0  29499  atlen0  29500  atcmp  29501  atcvreq0  29504  atncvrN  29505  atnle  29507  atnem0  29508  atlatmstc  29509  atlatle  29510  cvlexch2  29519  cvlexchb1  29520  cvlexchb2  29521  cvlatexchb1  29524  cvlatexchb2  29525  cvlatexch1  29526  cvlatexch2  29527  cvlatexch3  29528  cvlcvr1  29529  cvlcvrp  29530  cvlatcvr1  29531  cvlatcvr2  29532  cvlsupr2  29533  cvlsupr7  29538  cvlsupr8  29539  hlatjcl  29556  hlatjcom  29557  hlatjidm  29558  hlatjass  29559  hlatj32  29561  hlatj4  29563  hlatlej1  29564  atnlej1  29568  atnlej2  29569  hlrelat5N  29590  hlrelat  29591  hlrelat2  29592  exatleN  29593  cvr2N  29600  hlrelat3  29601  cvrval3  29602  cvrval5  29604  cvrexchlem  29608  cvratlem  29610  cvrat  29611  atcvr0eq  29615  lnnat  29616  cvrat2  29618  atcvrneN  29619  atcvrj1  29620  atcvrj2b  29621  atltcvr  29624  atle  29625  atlelt  29627  2atlt  29628  atexchcvrN  29629  cvrat3  29631  cvrat4  29632  cvrat42  29633  2atjm  29634  atbtwn  29635  3noncolr2  29638  4noncolr3  29642  athgt  29645  3dim0  29646  3dimlem3a  29649  3dimlem3OLDN  29651  3dimlem4a  29652  3dimlem4OLDN  29654  3dim3  29658  2dim  29659  1cvratex  29662  1cvrjat  29664  1cvrat  29665  ps-1  29666  ps-2  29667  hlatexch3N  29669  hlatexch4  29670  ps-2b  29671  3atlem1  29672  3atlem2  29673  3atlem4  29675  3atlem5  29676  3atlem6  29677  3at  29679  islln3  29699  llnnleat  29702  llnn0  29705  llnle  29707  llnexatN  29710  llncmp  29711  2llnmat  29713  2at0mat0  29714  2atm  29716  ps-2c  29717  lplni2  29726  lplnle  29729  lplnnle2at  29730  lplnn0N  29736  islpln2a  29737  2atmat  29750  lplnexllnN  29753  2llnjaN  29755  2llnm4  29759  2llnmeqat  29760  lvoli3  29766  islvol5  29768  lvoli2  29770  lvolnle3at  29771  3atnelvolN  29775  lvoln0N  29780  islvol2aN  29781  4atlem3  29785  4atlem3a  29786  4atlem3b  29787  4atlem4a  29788  4atlem4b  29789  4atlem4c  29790  4atlem4d  29791  4atlem9  29792  4atlem10a  29793  4atlem10  29795  4atlem11a  29796  4atlem11b  29797  4atlem11  29798  4atlem12a  29799  4atlem12b  29800  4atlem12  29801  4at2  29803  lplncvrlvol2  29804  2lplnja  29808  dalempeb  29828  dalemqeb  29829  dalemreb  29830  dalemseb  29831  dalemteb  29832  dalemueb  29833  dalem3  29853  dalem16  29868  dalemcceb  29878  dalem21  29883  dalem25  29887  dalem38  29899  dalem39  29900  dalem43  29904  dalem44  29905  dalem45  29906  dalem53  29914  dalem54  29915  dalem55  29916  dalem57  29918  dalem60  29921  snatpsubN  29939  linepsubN  29941  pmaple  29950  pmapat  29952  pmap1N  29956  pmapsub  29957  pmapglbx  29958  isline2  29963  linepmap  29964  isline3  29965  isline4N  29966  lneq2at  29967  lncvrelatN  29970  lncmp  29972  2lnat  29973  2atm2atN  29974  2llnma1b  29975  2llnma1  29976  2llnma3r  29977  cdlema1N  29980  cdlemblem  29982  cdlemb  29983  elpaddn0  29989  paddcom  30002  paddasslem2  30010  paddasslem5  30013  paddasslem12  30020  paddasslem13  30021  pmapjoin  30041  pmapjat1  30042  pmapjat2  30043  pmapjlln1  30044  atmod1i1  30046  atmod1i2  30048  llnmod1i2  30049  atmod2i1  30050  atmod2i2  30051  atmod3i1  30053  atmod3i2  30054  atmod4i1  30055  atmod4i2  30056  llnexchb2lem  30057  llnexchb2  30058  dalawlem2  30061  dalawlem3  30062  dalawlem5  30064  dalawlem6  30065  dalawlem7  30066  dalawlem8  30067  dalawlem11  30070  dalawlem12  30071  polval2N  30095  pol1N  30099  polatN  30120  2polatN  30121  paddatclN  30138  linepsubclN  30140  lhp2lt  30190  lhp0lt  30192  lhpexle2lem  30198  lhpexle3lem  30200  lhpjat2  30210  lhpj1  30211  lhpmcvr3  30214  lhpmcvr4N  30215  lhpmcvr5N  30216  lhpmcvr6N  30217  lhpmatb  30220  lhp2at0  30221  lhp2atnle  30222  lhp2at0nle  30224  lhprelat3N  30229  lhple  30231  lhpat4N  30233  lhpat3  30235  4atexlemtlw  30256  4atexlemc  30258  4atexlemnclw  30259  4atexlemcnd  30261  4atex2-0aOLDN  30267  lauteq  30284  ltrnid  30324  ltrnel  30328  ltrnat  30329  ltrncnvat  30330  ltrncnvel  30331  ltrncoval  30334  ltrncnv  30335  ltrn11at  30336  ltrneq2  30337  ltrneq  30338  idltrn  30339  ltrnmw  30340  trlval2  30352  trlcnv  30354  trljat1  30355  trljat2  30356  ltrnideq  30364  arglem1N  30379  cdlemc1  30380  cdlemc2  30381  cdlemc4  30383  cdlemc5  30384  cdlemc6  30385  cdlemd1  30387  cdlemd2  30388  cdlemd3  30389  cdlemd4  30390  cdlemd7  30393  cdleme0aa  30399  cdleme0b  30401  cdleme0c  30402  cdleme0cp  30403  cdleme0cq  30404  cdleme0e  30406  cdleme0fN  30407  cdleme1b  30415  cdleme1  30416  cdleme2  30417  cdleme3b  30418  cdleme3c  30419  cdleme3e  30421  cdleme3g  30423  cdleme3h  30424  cdleme3  30426  cdleme5  30429  cdleme7d  30435  cdleme7e  30436  cdleme7ga  30437  cdleme7  30438  cdleme8  30439  cdleme9  30442  cdleme10  30443  cdleme11c  30450  cdleme11e  30452  cdleme11fN  30453  cdleme11g  30454  cdleme11k  30457  cdleme11  30459  cdleme15b  30464  cdleme15  30467  cdleme16b  30468  cdleme17b  30476  cdleme17c  30477  cdlemednpq  30488  cdleme20zN  30490  cdleme20y  30491  cdleme19a  30492  cdleme20bN  30499  cdleme20d  30501  cdleme20j  30507  cdleme21c  30516  cdleme22aa  30528  cdleme22b  30530  cdleme22cN  30531  cdleme22d  30532  cdleme22e  30533  cdleme22eALTN  30534  cdleme23b  30539  cdleme23c  30540  cdleme27N  30558  cdleme28a  30559  cdleme30a  30567  cdlemefrs29pre00  30584  cdlemefrs29bpre0  30585  cdlemefrs29cpre1  30587  cdlemefrs32fva  30589  cdlemefrs32fva1  30590  cdlemefr32snb  30594  cdlemefs32snb  30604  cdleme32snb  30625  cdleme32fva  30626  cdleme32fva1  30627  cdleme32fvaw  30628  cdleme35a  30637  cdleme35fnpq  30638  cdleme35b  30639  cdleme35c  30640  cdleme35f  30643  cdleme42c  30661  cdleme42e  30668  cdleme42h  30671  cdleme42i  30672  cdleme42ke  30674  cdleme42keg  30675  cdleme42mgN  30677  cdleme17d4  30686  cdleme48fvg  30689  cdleme48bw  30691  cdlemeg46req  30718  cdleme50trn3  30742  cdlemf1  30750  cdlemf2  30751  trlord  30758  ltrniotacnvval  30771  cdlemg2fv2  30789  cdlemg2l  30792  cdlemg7fvbwN  30796  cdlemg4c  30801  cdlemg4  30806  cdlemg6c  30809  cdlemg8b  30817  cdlemg11b  30831  cdlemg13a  30840  cdlemg17a  30850  cdlemg17h  30857  cdlemg17  30866  cdlemg18b  30868  cdlemg19a  30872  cdlemg27a  30881  cdlemg27b  30885  cdlemg31a  30886  cdlemg31b  30887  cdlemg31d  30889  cdlemg33b0  30890  cdlemg33a  30895  cdlemg35  30902  trlcolem  30915  cdlemg42  30918  cdlemg44a  30920  cdlemg46  30924  cdlemh1  31004  cdlemh2  31005  cdlemh  31006  cdlemi1  31007  cdlemi  31009  cdlemk3  31022  cdlemk4  31023  cdlemkvcl  31031  cdlemk7  31037  cdlemk11  31038  cdlemk15  31044  cdlemk1u  31048  cdlemk7u  31059  cdlemk11u  31060  cdlemk37  31103  cdlemk39  31105  cdlemkid1  31111  cdlemkid2  31113  cdlemk48  31139  cdlemk50  31141  cdlemk51  31142  cdlemk52  31143  dia2dimlem1  31254  dia2dimlem2  31255  dia2dimlem3  31256  dia2dimlem5  31258  dia2dimlem7  31260  dia2dimlem9  31262  dia2dimlem10  31263  dia2dimlem12  31265  dia2dimlem13  31266  cdlemm10N  31308  cdlemn2  31385  cdlemn3  31387  cdlemn9  31395  cdlemn10  31396  dihjustlem  31406  dihord1  31408  dihord2pre2  31416  dihvalcqat  31429  dib2dim  31433  dih2dimb  31434  dih2dimbALTN  31435  dihord5apre  31452  dihglbcpreN  31490  dihmeetlem3N  31495  dihmeetlem6  31499  dihjatc1  31501  dihjatc2N  31502  dihjatc3  31503  dihmeetlem9N  31505  dihmeetlem10N  31506  dihmeetlem11N  31507  dihmeetlem13N  31509  dihmeetlem15N  31511  dihmeetlem16N  31512  dihmeetlem17N  31513  dihatexv2  31529  dihjatb  31606  dihjatc  31607  dihjatcclem1  31608  dihjatcclem2  31609  dihjatcclem4  31611  dihjat  31613  dihjat3  31622  dihjat5N  31627  dvh4dimat  31628
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ats 29457
  Copyright terms: Public domain W3C validator