Theorem atcvat 10308

Description: A nonzero Hilbert lattice element less than the join of two atoms is an atom.

Hypothesis

Ref	Expression
atoml.1	|- A e. CH

Assertion

Ref	Expression
atcvat	|- ((B e. Atoms /\ C e. Atoms) -> ((A =/= 0H /\ A (. (B vH C)) -> A e. Atoms))

Proof of Theorem atcvat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atoml.1	. . . . . . 7 |- A e. CH
2		chlubt 9427	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. CH /\ C e. CH /\ A e. CH) -> ((B (_ A /\ C (_ A) <-> (B vH C) (_ A))
3	2	3comr 843	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH) -> ((B (_ A /\ C (_ A) <-> (B vH C) (_ A))
4		ssnpss 2152	. . . . . . . . . 10 |- ((B vH C) (_ A -> -. A (. (B vH C))
5	3, 4	syl6bi 214	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH) -> ((B (_ A /\ C (_ A) -> -. A (. (B vH C)))
6	5	con2d 91	. . . . . . . 8 |- ((A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH) -> (A (. (B vH C) -> -. (B (_ A /\ C (_ A)))
7		ianor 305	. . . . . . . 8 |- (-. (B (_ A /\ C (_ A) <-> (-. B (_ A \/ -. C (_ A))
8	6, 7	syl6ib 212	. . . . . . 7 |- ((A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH) -> (A (. (B vH C) -> (-. B (_ A \/ -. C (_ A)))
9	1, 8	mp3an1 905	. . . . . 6 |- ((B e. CH /\ C e. CH) -> (A (. (B vH C) -> (-. B (_ A \/ -. C (_ A)))
10		atelch 10266	. . . . . 6 |- (B e. Atoms -> B e. CH)
11		atelch 10266	. . . . . 6 |- (C e. Atoms -> C e. CH)
12	9, 10, 11	syl2an 456	. . . . 5 |- ((B e. Atoms /\ C e. Atoms) -> (A (. (B vH C) -> (-. B (_ A \/ -. C (_ A)))
13	12	imp 350	. . . 4 |- (((B e. Atoms /\ C e. Atoms) /\ A (. (B vH C)) -> (-. B (_ A \/ -. C (_ A))
14	13	adantrl 396	. . 3 |- (((B e. Atoms /\ C e. Atoms) /\ (A =/= 0H /\ A (. (B vH C))) -> (-. B (_ A \/ -. C (_ A))
15	1	atcvatlem 10307	. . . 4 |- (((B e. Atoms /\ C e. Atoms) /\ (A =/= 0H /\ A (. (B vH C))) -> (-. B (_ A -> A e. Atoms))
16		chjcomt 9424	. . . . . . . . . 10 |- ((C e. CH /\ B e. CH) -> (C vH B) = (B vH C))
17	16, 11, 10	syl2an 456	. . . . . . . . 9 |- ((C e. Atoms /\ B e. Atoms) -> (C vH B) = (B vH C))
18	17	psseq2d 2144	. . . . . . . 8 |- ((C e. Atoms /\ B e. Atoms) -> (A (. (C vH B) <-> A (. (B vH C)))
19	18	anbi2d 618	. . . . . . 7 |- ((C e. Atoms /\ B e. Atoms) -> ((A =/= 0H /\ A (. (C vH B)) <-> (A =/= 0H /\ A (. (B vH C))))
20	1	atcvatlem 10307	. . . . . . . 8 |- (((C e. Atoms /\ B e. Atoms) /\ (A =/= 0H /\ A (. (C vH B))) -> (-. C (_ A -> A e. Atoms))
21	20	ex 373	. . . . . . 7 |- ((C e. Atoms /\ B e. Atoms) -> ((A =/= 0H /\ A (. (C vH B)) -> (-. C (_ A -> A e. Atoms)))
22	19, 21	sylbird 205	. . . . . 6 |- ((C e. Atoms /\ B e. Atoms) -> ((A =/= 0H /\ A (. (B vH C)) -> (-. C (_ A -> A e. Atoms)))
23	22	ancoms 438	. . . . 5 |- ((B e. Atoms /\ C e. Atoms) -> ((A =/= 0H /\ A (. (B vH C)) -> (-. C (_ A -> A e. Atoms)))
24	23	imp 350	. . . 4 |- (((B e. Atoms /\ C e. Atoms) /\ (A =/= 0H /\ A (. (B vH C))) -> (-. C (_ A -> A e. Atoms))
25	15, 24	jaod 426	. . 3 |- (((B e. Atoms /\ C e. Atoms) /\ (A =/= 0H /\ A (. (B vH C))) -> ((-. B (_ A \/ -. C (_ A) -> A e. Atoms))
26	14, 25	mpd 26	. 2 |- (((B e. Atoms /\ C e. Atoms) /\ (A =/= 0H /\ A (. (B vH C))) -> A e. Atoms)
27	26	ex 373	1 |- ((B e. Atoms /\ C e. Atoms) -> ((A =/= 0H /\ A (. (B vH C)) -> A e. Atoms))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588   (_ wss 2050   (. wpss 2051  (class class class)co 3969  CHcch 8793   vH chj 8797  0Hc0h 8799  Atomscat 8828

This theorem is referenced by:  atcvat2 10309

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvmulass 8872  ax-hvdistr1 8873  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945  ax-his3 8946  ax-his4 8947  ax-hcompl 9066

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-r1 4653  df-rank 4654  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-q 6257  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioo 6362  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975  df-sum 6980  df-top 7594  df-bases 7596  df-topgen 7597  df-cld 7660  df-ntr 7661  df-cls 7662  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-haus 7779  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793  df-lm 7919  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215  df-ims 8216  df-ip 8346  df-ph 8468  df-hnorm 8832  df-hvsub 8835  df-hlim 8836  df-hcau 8837  df-sh 9071  df-ch 9087  df-oc 9119  df-ch0 9120  df-pj 9232  df-shsum 9268  df-span 9269  df-chj 9270  df-chsup 9271  df-cv 10201  df-at 10260

Copyright terms: Public domain