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Theorem atcvat3i 23899
Description: A condition implying that a certain lattice element is an atom. Part of Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atcvat3.1  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
atcvat3i  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( (
( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms
) )

Proof of Theorem atcvat3i
StepHypRef Expression
1 atcvat3.1 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e. 
CH
2 chcv1 23858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CH  /\  C  e. HAtoms )  ->  ( -.  C  C_  A  <->  A 
<oH  ( A  vH  C
) ) )
31, 2mpan 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e. HAtoms  ->  ( -.  C  C_  A  <->  A  <oH  ( A  vH  C ) ) )
43biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  -.  C  C_  A )  ->  A  <oH  ( A  vH  C
) )
54ad2ant2lr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( -.  C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) ) )  ->  A  <oH  ( A  vH  C ) )
6 atelch 23847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e. HAtoms  ->  B  e.  CH )
7 atelch 23847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e. HAtoms  ->  C  e.  CH )
86, 7anim12i 550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( B  e.  CH  /\  C  e. 
CH ) )
9 chjcom 23008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  vH  C
)  =  ( C  vH  B ) )
109oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  vH  ( B  vH  C ) )  =  ( A  vH  ( C  vH  B ) ) )
11 chjass 23035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CH  /\  C  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  (
( A  vH  C
)  vH  B )  =  ( A  vH  ( C  vH  B ) ) )
121, 11mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( A  vH  C )  vH  B
)  =  ( A  vH  ( C  vH  B ) ) )
1312ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( ( A  vH  C )  vH  B
)  =  ( A  vH  ( C  vH  B ) ) )
1410, 13eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  vH  ( B  vH  C ) )  =  ( ( A  vH  C )  vH  B ) )
1514adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  vH  ( B  vH  C ) )  =  ( ( A  vH  C )  vH  B ) )
16 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  B  e.  CH )
17 chjcl 22859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  vH  C
)  e.  CH )
181, 17mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  e.  CH  ->  ( A  vH  C )  e. 
CH )
1918adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  vH  C
)  e.  CH )
20 chlej2 23013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  ( A  vH  C
)  e.  CH  /\  ( A  vH  C )  e.  CH )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  -> 
( ( A  vH  C )  vH  B
)  C_  ( ( A  vH  C )  vH  ( A  vH  C ) ) )
2120ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CH  /\  ( A  vH  C )  e.  CH  /\  ( A  vH  C )  e. 
CH )  ->  ( B  C_  ( A  vH  C )  ->  (
( A  vH  C
)  vH  B )  C_  ( ( A  vH  C )  vH  ( A  vH  C ) ) ) )
2216, 19, 19, 21syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  C_  ( A  vH  C )  -> 
( ( A  vH  C )  vH  B
)  C_  ( ( A  vH  C )  vH  ( A  vH  C ) ) ) )
2322imp 419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( ( A  vH  C )  vH  B )  C_  (
( A  vH  C
)  vH  ( A  vH  C ) ) )
2415, 23eqsstrd 3382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  vH  ( B  vH  C ) )  C_  ( ( A  vH  C )  vH  ( A  vH  C ) ) )
25 chjidm 23022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  vH  C )  e.  CH  ->  (
( A  vH  C
)  vH  ( A  vH  C ) )  =  ( A  vH  C
) )
2618, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  CH  ->  (
( A  vH  C
)  vH  ( A  vH  C ) )  =  ( A  vH  C
) )
2726ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( ( A  vH  C )  vH  ( A  vH  C ) )  =  ( A  vH  C ) )
2824, 27sseqtrd 3384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  vH  ( B  vH  C ) )  C_  ( A  vH  C ) )
29 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  C  e.  CH )
30 chjcl 22859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  vH  C
)  e.  CH )
31 chub2 23010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  C  C_  ( B  vH  C ) )
3231ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  C  C_  ( B  vH  C ) )
33 chlej2 23013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  CH  /\  ( B  vH  C
)  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  C  C_  ( B  vH  C ) )  ->  ( A  vH  C )  C_  ( A  vH  ( B  vH  C ) ) )
341, 33mp3anl3 1275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  CH  /\  ( B  vH  C
)  e.  CH )  /\  C  C_  ( B  vH  C ) )  ->  ( A  vH  C )  C_  ( A  vH  ( B  vH  C ) ) )
3529, 30, 32, 34syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  vH  C
)  C_  ( A  vH  ( B  vH  C
) ) )
3635adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  vH  C )  C_  ( A  vH  ( B  vH  C ) ) )
3728, 36eqssd 3365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  vH  ( B  vH  C ) )  =  ( A  vH  C ) )
388, 37sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  vH  ( B  vH  C
) )  =  ( A  vH  C ) )
3938breq2d 4224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  <oH  ( A  vH  ( B  vH  C ) )  <-> 
A  <oH  ( A  vH  C ) ) )
4039adantrl 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( -.  C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) ) )  ->  ( A  <oH  ( A  vH  ( B  vH  C ) )  <-> 
A  <oH  ( A  vH  C ) ) )
415, 40mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( -.  C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) ) )  ->  A  <oH  ( A  vH  ( B  vH  C ) ) )
4241ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( -.  C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  A  <oH  ( A  vH  ( B  vH  C ) ) ) )
4330, 1jctil 524 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  e.  CH  /\  ( B  vH  C
)  e.  CH )
)
446, 7, 43syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( A  e.  CH  /\  ( B  vH  C )  e. 
CH ) )
45 cvexch 23877 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CH  /\  ( B  vH  C )  e.  CH )  -> 
( ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  <oH  ( B  vH  C )  <->  A  <oH  ( A  vH  ( B  vH  C ) ) ) )
4644, 45syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  <oH  ( B  vH  C )  <-> 
A  <oH  ( A  vH  ( B  vH  C ) ) ) )
4742, 46sylibrd 226 . . . . 5  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( -.  C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  -> 
( A  i^i  ( B  vH  C ) ) 
<oH  ( B  vH  C
) ) )
4847adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  -.  B  =  C )  ->  (
( -.  C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  <oH  ( B  vH  C ) ) )
49 chincl 23001 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CH  /\  ( B  vH  C )  e.  CH )  -> 
( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e.  CH )
501, 30, 49sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e.  CH )
516, 7, 50syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C
) )  e.  CH )
52 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  B  e. HAtoms )
53 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  C  e. HAtoms )
54 atcvat2 23892 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e.  CH  /\  B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  ->  ( ( -.  B  =  C  /\  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  <oH  ( B  vH  C ) )  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C
) )  e. HAtoms )
)
5551, 52, 53, 54syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( -.  B  =  C  /\  ( A  i^i  ( B  vH  C ) ) 
<oH  ( B  vH  C
) )  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms
) )
5655expdimp 427 . . . 4  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  -.  B  =  C )  ->  (
( A  i^i  ( B  vH  C ) ) 
<oH  ( B  vH  C
)  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C
) )  e. HAtoms )
)
5748, 56syld 42 . . 3  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  -.  B  =  C )  ->  (
( -.  C  C_  A  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms ) )
5857exp4b 591 . 2  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( -.  B  =  C  ->  ( -.  C  C_  A  ->  ( B  C_  ( A  vH  C )  -> 
( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms ) ) ) )
5958imp4c 575 1  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( (
( -.  B  =  C  /\  -.  C  C_  A )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) )  ->  ( A  i^i  ( B  vH  C ) )  e. HAtoms
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3319    C_ wss 3320   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   CHcch 22432    vH chj 22436    <oH ccv 22467  HAtomscat 22468
This theorem is referenced by:  atcvat4i  23900
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070  ax-hilex 22502  ax-hfvadd 22503  ax-hvcom 22504  ax-hvass 22505  ax-hv0cl 22506  ax-hvaddid 22507  ax-hfvmul 22508  ax-hvmulid 22509  ax-hvmulass 22510  ax-hvdistr1 22511  ax-hvdistr2 22512  ax-hvmul0 22513  ax-hfi 22581  ax-his1 22584  ax-his2 22585  ax-his3 22586  ax-his4 22587  ax-hcompl 22704
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-lm 17293  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cfil 19208  df-cau 19209  df-cmet 19210  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-gdiv 21782  df-ablo 21870  df-subgo 21890  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-vs 22078  df-nmcv 22079  df-ims 22080  df-dip 22197  df-ssp 22221  df-ph 22314  df-cbn 22365  df-hnorm 22471  df-hba 22472  df-hvsub 22474  df-hlim 22475  df-hcau 22476  df-sh 22709  df-ch 22724  df-oc 22754  df-ch0 22755  df-shs 22810  df-span 22811  df-chj 22812  df-chsup 22813  df-pjh 22897  df-cv 23782  df-at 23841
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