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Theorem atlatmstc 29509
Description: An atomic, complete, orthomodular lattice is atomistic i.e. every element is the join of the atoms under it. See remark before Proposition 1 in [Kalmbach] p. 140; also remark in [BeltramettiCassinelli] p. 98. (hatomistici 22942 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlatmstc.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
atlatmstc.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
atlatmstc.u  |-  .1.  =  ( lub `  K )
atlatmstc.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
atlatmstc  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  =  X )
Distinct variable groups:    y,  .<_    y, A    y, B    y, X
Allowed substitution hints:    .1. ( y)    K( y)

Proof of Theorem atlatmstc
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 959 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  CLat )
2 ssrab2 3258 . . . . 5  |-  { y  e.  B  |  y 
.<_  X }  C_  B
3 atlatmstc.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 atlatmstc.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
53, 4atssbase 29480 . . . . . 6  |-  A  C_  B
6 rabss2 3256 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  { y  e.  A  |  y 
.<_  X }  C_  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } )
75, 6ax-mp 8 . . . . 5  |-  { y  e.  A  |  y 
.<_  X }  C_  { y  e.  B  |  y 
.<_  X }
8 atlatmstc.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 atlatmstc.u . . . . . 6  |-  .1.  =  ( lub `  K )
103, 8, 9lubss 14225 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X }  C_  B  /\  { y  e.  A  |  y  .<_  X }  C_  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } )  -> 
(  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) 
.<_  (  .1.  `  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X } ) )
112, 7, 10mp3an23 1269 . . . 4  |-  ( K  e.  CLat  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  .<_  (  .1.  `  { y  e.  B  |  y  .<_  X }
) )
121, 11syl 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  .<_  (  .1.  `  { y  e.  B  |  y  .<_  X }
) )
13 atlpos 29491 . . . . 5  |-  ( K  e.  AtLat  ->  K  e.  Poset
)
14133ad2ant3 978 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  ->  K  e.  Poset )
153, 8, 9lubid 14116 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  B  |  y  .<_  X } )  =  X )
1614, 15sylan 457 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  B  |  y  .<_  X } )  =  X )
1712, 16breqtrd 4047 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  .<_  X )
18 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
y  .<_  X  <->  x  .<_  X ) )
1918elrab 2923 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { y  e.  A  |  y  .<_  X }  <->  ( x  e.  A  /\  x  .<_  X ) )
20 simpll2 995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  { y  e.  A  |  y 
.<_  X } )  ->  K  e.  CLat )
21 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  A  |  y 
.<_  X }  C_  A
2221, 5sstri 3188 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  A  |  y 
.<_  X }  C_  B
233, 8, 9lubel 14226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  x  e.  { y  e.  A  |  y  .<_  X }  /\  { y  e.  A  |  y  .<_  X }  C_  B )  ->  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) )
2422, 23mp3an3 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  x  e.  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  ->  x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) )
2520, 24sylancom 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  { y  e.  A  |  y 
.<_  X } )  ->  x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) )
2625ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
x  e.  { y  e.  A  |  y 
.<_  X }  ->  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) ) )
2719, 26syl5bir 209 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  e.  A  /\  x  .<_  X )  ->  x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )
2827expdimp 426 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  .<_  X  ->  x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )
29 simpll3 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  K  e.  AtLat
)
30 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
3130, 4atn0 29498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  x  e.  A )  ->  x  =/=  ( 0. `  K
) )
3229, 31sylancom 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  x  =/=  ( 0. `  K ) )
3332adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A )  /\  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) )  ->  x  =/=  ( 0. `  K ) )
34 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  AtLat )
35 atllat 29490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  AtLat  ->  K  e.  Lat )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
3736adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  K  e.  Lat )
383, 4atbase 29479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  B )
3938adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  B )
403, 9clatlubcl 14217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X }  C_  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  e.  B
)
411, 22, 40sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  e.  B
)
4241adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  e.  B )
43 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  OML )
44 omlop 29431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
4543, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  OP )
46 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
473, 46opoccl 29384 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  OP  /\  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  e.  B )  ->  (
( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) )  e.  B
)
4845, 41, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) )  e.  B
)
4948adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) )  e.  B )
50 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
513, 8, 50latlem12 14184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } )  e.  B  /\  (
( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) )  e.  B
) )  ->  (
( x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  /\  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  <->  x  .<_  ( (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) ) )
5237, 39, 42, 49, 51syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  /\  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  <->  x  .<_  ( (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) ) )
533, 46, 50, 30opnoncon 29398 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  OP  /\  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  e.  B )  ->  (
(  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )
5445, 41, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
(  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )
5554breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
x  .<_  ( (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  <->  x  .<_  ( 0.
`  K ) ) )
5655adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  .<_  ( (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  <->  x  .<_  ( 0.
`  K ) ) )
573, 8, 30ople0 29377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  B )  ->  ( x  .<_  ( 0.
`  K )  <->  x  =  ( 0. `  K ) ) )
5845, 38, 57syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  .<_  ( 0. `  K
)  <->  x  =  ( 0. `  K ) ) )
5952, 56, 583bitrd 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  /\  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  <->  x  =  ( 0. `  K ) ) )
6059biimpa 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A )  /\  (
x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  /\  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) ) )  ->  x  =  ( 0. `  K ) )
6160expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A )  /\  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) )  ->  ( x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) )  ->  x  =  ( 0. `  K ) ) )
6261necon3ad 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A )  /\  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) )  ->  ( x  =/=  ( 0. `  K
)  ->  -.  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) )
6333, 62mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A )  /\  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) )  ->  -.  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )
6463ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } )  ->  -.  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) ) )
6528, 64syld 40 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  .<_  X  ->  -.  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) )
66 imnan 411 . . . . . 6  |-  ( ( x  .<_  X  ->  -.  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  <->  -.  ( x  .<_  X  /\  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) ) )
6765, 66sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  -.  (
x  .<_  X  /\  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) )
68 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  X  e.  B )
693, 8, 50latlem12 14184 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  X  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) )  e.  B ) )  -> 
( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  <->  x  .<_  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) ) )
7037, 39, 68, 49, 69syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
x  .<_  X  /\  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  <-> 
x  .<_  ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) ) )
7167, 70mtbid 291 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  -.  x  .<_  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) ) )
7271nrexdv 2646 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  -.  E. x  e.  A  x 
.<_  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) ) )
73 simpll3 996 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  =/=  ( 0. `  K
) )  ->  K  e.  AtLat )
74 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
753, 50latmcl 14157 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) )  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  e.  B )
7636, 74, 48, 75syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  e.  B )
7776adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  =/=  ( 0. `  K
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  e.  B )
78 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  =/=  ( 0. `  K
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =/=  ( 0.
`  K ) )
793, 8, 30, 4atlex 29506 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  e.  B  /\  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =/=  ( 0.
`  K ) )  ->  E. x  e.  A  x  .<_  ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) )
8073, 77, 78, 79syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  =/=  ( 0. `  K
) )  ->  E. x  e.  A  x  .<_  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) )
8180ex 423 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  =/=  ( 0. `  K
)  ->  E. x  e.  A  x  .<_  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) ) )
8281necon1bd 2514 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  ( -.  E. x  e.  A  x  .<_  ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  ->  ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0. `  K ) ) )
8372, 82mpd 14 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )
843, 8, 50, 46, 30omllaw3 29435 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  .<_  X  /\  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  =  X ) )
8543, 41, 74, 84syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  .<_  X  /\  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  =  X ) )
8617, 83, 85mp2and 660 1  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   occoc 13216   Posetcpo 14074   lubclub 14076   meetcmee 14079   0.cp0 14143   Latclat 14151   CLatccla 14213   OPcops 29362   OMLcoml 29365   Atomscatm 29453   AtLatcal 29454
This theorem is referenced by:  atlatle  29510  hlatmstcOLDN  29586  pmaple  29950  pol1N  30099  polpmapN  30101  pmaplubN  30113
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488
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