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Theorem atlatmstc 30131
Description: An atomic, complete, orthomodular lattice is atomistic i.e. every element is the join of the atoms under it. See remark before Proposition 1 in [Kalmbach] p. 140; also remark in [BeltramettiCassinelli] p. 98. (hatomistici 22958 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlatmstc.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
atlatmstc.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
atlatmstc.u  |-  .1.  =  ( lub `  K )
atlatmstc.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
atlatmstc  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  =  X )
Distinct variable groups:    y,  .<_    y, A    y, B    y, X
Allowed substitution hints:    .1. ( y)    K( y)

Proof of Theorem atlatmstc
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 959 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  CLat )
2 ssrab2 3271 . . . . 5  |-  { y  e.  B  |  y 
.<_  X }  C_  B
3 atlatmstc.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 atlatmstc.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
53, 4atssbase 30102 . . . . . 6  |-  A  C_  B
6 rabss2 3269 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  { y  e.  A  |  y 
.<_  X }  C_  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } )
75, 6ax-mp 8 . . . . 5  |-  { y  e.  A  |  y 
.<_  X }  C_  { y  e.  B  |  y 
.<_  X }
8 atlatmstc.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 atlatmstc.u . . . . . 6  |-  .1.  =  ( lub `  K )
103, 8, 9lubss 14241 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X }  C_  B  /\  { y  e.  A  |  y  .<_  X }  C_  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } )  -> 
(  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) 
.<_  (  .1.  `  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X } ) )
112, 7, 10mp3an23 1269 . . . 4  |-  ( K  e.  CLat  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  .<_  (  .1.  `  { y  e.  B  |  y  .<_  X }
) )
121, 11syl 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  .<_  (  .1.  `  { y  e.  B  |  y  .<_  X }
) )
13 atlpos 30113 . . . . 5  |-  ( K  e.  AtLat  ->  K  e.  Poset
)
14133ad2ant3 978 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  ->  K  e.  Poset )
153, 8, 9lubid 14132 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  B  |  y  .<_  X } )  =  X )
1614, 15sylan 457 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  B  |  y  .<_  X } )  =  X )
1712, 16breqtrd 4063 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  .<_  X )
18 breq1 4042 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
y  .<_  X  <->  x  .<_  X ) )
1918elrab 2936 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { y  e.  A  |  y  .<_  X }  <->  ( x  e.  A  /\  x  .<_  X ) )
20 simpll2 995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  { y  e.  A  |  y 
.<_  X } )  ->  K  e.  CLat )
21 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  A  |  y 
.<_  X }  C_  A
2221, 5sstri 3201 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  A  |  y 
.<_  X }  C_  B
233, 8, 9lubel 14242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  x  e.  { y  e.  A  |  y  .<_  X }  /\  { y  e.  A  |  y  .<_  X }  C_  B )  ->  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) )
2422, 23mp3an3 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  x  e.  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  ->  x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) )
2520, 24sylancom 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  { y  e.  A  |  y 
.<_  X } )  ->  x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) )
2625ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
x  e.  { y  e.  A  |  y 
.<_  X }  ->  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) ) )
2719, 26syl5bir 209 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  e.  A  /\  x  .<_  X )  ->  x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )
2827expdimp 426 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  .<_  X  ->  x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )
29 simpll3 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  K  e.  AtLat
)
30 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
3130, 4atn0 30120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  x  e.  A )  ->  x  =/=  ( 0. `  K
) )
3229, 31sylancom 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  x  =/=  ( 0. `  K ) )
3332adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A )  /\  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) )  ->  x  =/=  ( 0. `  K ) )
34 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  AtLat )
35 atllat 30112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  AtLat  ->  K  e.  Lat )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
3736adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  K  e.  Lat )
383, 4atbase 30101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  B )
3938adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  B )
403, 9clatlubcl 14233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X }  C_  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  e.  B
)
411, 22, 40sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  e.  B
)
4241adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  e.  B )
43 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  OML )
44 omlop 30053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
4543, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  OP )
46 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
473, 46opoccl 30006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  OP  /\  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  e.  B )  ->  (
( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) )  e.  B
)
4845, 41, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) )  e.  B
)
4948adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) )  e.  B )
50 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
513, 8, 50latlem12 14200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } )  e.  B  /\  (
( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) )  e.  B
) )  ->  (
( x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  /\  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  <->  x  .<_  ( (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) ) )
5237, 39, 42, 49, 51syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  /\  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  <->  x  .<_  ( (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) ) )
533, 46, 50, 30opnoncon 30020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  OP  /\  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  e.  B )  ->  (
(  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )
5445, 41, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
(  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )
5554breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
x  .<_  ( (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  <->  x  .<_  ( 0.
`  K ) ) )
5655adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  .<_  ( (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  <->  x  .<_  ( 0.
`  K ) ) )
573, 8, 30ople0 29999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  B )  ->  ( x  .<_  ( 0.
`  K )  <->  x  =  ( 0. `  K ) ) )
5845, 38, 57syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  .<_  ( 0. `  K
)  <->  x  =  ( 0. `  K ) ) )
5952, 56, 583bitrd 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  /\  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  <->  x  =  ( 0. `  K ) ) )
6059biimpa 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A )  /\  (
x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  /\  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) ) )  ->  x  =  ( 0. `  K ) )
6160expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A )  /\  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) )  ->  ( x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) )  ->  x  =  ( 0. `  K ) ) )
6261necon3ad 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A )  /\  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) )  ->  ( x  =/=  ( 0. `  K
)  ->  -.  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) )
6333, 62mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A )  /\  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) )  ->  -.  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )
6463ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } )  ->  -.  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) ) )
6528, 64syld 40 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  .<_  X  ->  -.  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) )
66 imnan 411 . . . . . 6  |-  ( ( x  .<_  X  ->  -.  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  <->  -.  ( x  .<_  X  /\  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) ) )
6765, 66sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  -.  (
x  .<_  X  /\  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) )
68 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  X  e.  B )
693, 8, 50latlem12 14200 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  X  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) )  e.  B ) )  -> 
( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  <->  x  .<_  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) ) )
7037, 39, 68, 49, 69syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
x  .<_  X  /\  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  <-> 
x  .<_  ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) ) )
7167, 70mtbid 291 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  -.  x  .<_  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) ) )
7271nrexdv 2659 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  -.  E. x  e.  A  x 
.<_  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) ) )
73 simpll3 996 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  =/=  ( 0. `  K
) )  ->  K  e.  AtLat )
74 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
753, 50latmcl 14173 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) )  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  e.  B )
7636, 74, 48, 75syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  e.  B )
7776adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  =/=  ( 0. `  K
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  e.  B )
78 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  =/=  ( 0. `  K
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =/=  ( 0.
`  K ) )
793, 8, 30, 4atlex 30128 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  e.  B  /\  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =/=  ( 0.
`  K ) )  ->  E. x  e.  A  x  .<_  ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) )
8073, 77, 78, 79syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  =/=  ( 0. `  K
) )  ->  E. x  e.  A  x  .<_  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) )
8180ex 423 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  =/=  ( 0. `  K
)  ->  E. x  e.  A  x  .<_  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) ) )
8281necon1bd 2527 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  ( -.  E. x  e.  A  x  .<_  ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  ->  ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0. `  K ) ) )
8372, 82mpd 14 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )
843, 8, 50, 46, 30omllaw3 30057 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  .<_  X  /\  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  =  X ) )
8543, 41, 74, 84syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  .<_  X  /\  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  =  X ) )
8617, 83, 85mp2and 660 1  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   occoc 13232   Posetcpo 14090   lubclub 14092   meetcmee 14095   0.cp0 14159   Latclat 14167   CLatccla 14229   OPcops 29984   OMLcoml 29987   Atomscatm 30075   AtLatcal 30076
This theorem is referenced by:  atlatle  30132  hlatmstcOLDN  30208  pmaple  30572  pol1N  30721  polpmapN  30723  pmaplubN  30735
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110
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