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Theorem atomli 22954
Description: An assertion holding in atomic orthomodular lattices that is equivalent to the exchange axiom. Proposition 3.2.17 of [PtakPulmannova] p. 66. (Contributed by NM, 24-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atoml.1  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
atomli  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e.  (HAtoms 
u.  { 0H }
) )
Dummy variable  x is distinct from all other variables.

Proof of Theorem atomli
StepHypRef Expression
1 atoml.1 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
CH
2 atelch 22916 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e. HAtoms  ->  B  e.  CH )
3 chjcl 21928 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  vH  B
)  e.  CH )
41, 2, 3sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( A  vH  B )  e.  CH )
51choccli 21878 . . . . . . . 8  |-  ( _|_ `  A )  e.  CH
6 chincl 22070 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  vH  B
)  e.  CH  /\  ( _|_ `  A )  e.  CH )  -> 
( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  e.  CH )
74, 5, 6sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e.  CH )
8 hatomic 22932 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  e.  CH  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H )  ->  E. x  e. HAtoms  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) ) )
97, 8sylan 459 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H )  ->  E. x  e. HAtoms  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) ) )
10 atelch 22916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e. HAtoms  ->  x  e.  CH )
11 inss2 3391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  C_  ( _|_ `  A )
12 sstr 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  C_  ( _|_ `  A ) )  ->  x  C_  ( _|_ `  A ) )
1311, 12mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  ->  x  C_  ( _|_ `  A
) )
141pjococi 22008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  A
1514oveq1i 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  vH  x )  =  ( A  vH  x )
1615ineq1i 3367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  vH  x )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  ( ( A  vH  x
)  i^i  ( _|_ `  A ) )
17 incom 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  vH  x )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  vH  x
) )
1816, 17eqtr3i 2306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  vH  x )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  vH  x
) )
19 pjoml3 22183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( _|_ `  A
)  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( x  C_  ( _|_ `  A )  -> 
( ( _|_ `  A
)  i^i  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  vH  x
) )  =  x ) )
205, 19mpan 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CH  ->  (
x  C_  ( _|_ `  A )  ->  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  vH  x
) )  =  x ) )
2120imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CH  /\  x  C_  ( _|_ `  A
) )  ->  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  vH  x
) )  =  x )
2218, 21syl5eq 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CH  /\  x  C_  ( _|_ `  A
) )  ->  (
( A  vH  x
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  x )
2310, 13, 22syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e. HAtoms  /\  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  vH  x )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  x )
2423ad2ant2lr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( ( A  vH  x )  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  x )
25 inss1 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  C_  ( A  vH  B )
26 sstr 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  C_  ( A  vH  B ) )  ->  x  C_  ( A  vH  B ) )
2725, 26mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  ->  x  C_  ( A  vH  B
) )
28 chub1 22078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  A  C_  ( A  vH  B ) )
291, 28mpan 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( B  e.  CH  ->  A  C_  ( A  vH  B
) )
3029adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  A  C_  ( A  vH  B ) )
311, 3mpan 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( B  e.  CH  ->  ( A  vH  B )  e. 
CH )
32 chlub 22080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  ( A  vH  B )  e. 
CH )  ->  (
( A  C_  ( A  vH  B )  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  <->  ( A  vH  x )  C_  ( A  vH  B ) ) )
331, 32mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  vH  B )  e.  CH )  -> 
( ( A  C_  ( A  vH  B )  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  <-> 
( A  vH  x
)  C_  ( A  vH  B ) ) )
3431, 33sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( A  C_  ( A  vH  B )  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  <-> 
( A  vH  x
)  C_  ( A  vH  B ) ) )
3534biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( A  C_  ( A  vH  B )  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  ->  ( A  vH  x )  C_  ( A  vH  B ) ) )
3635ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( A  C_  ( A  vH  B )  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  ->  ( A  vH  x )  C_  ( A  vH  B ) ) )
3730, 36mpand 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( x  C_  ( A  vH  B )  -> 
( A  vH  x
)  C_  ( A  vH  B ) ) )
382, 10, 37syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  ->  ( x  C_  ( A  vH  B
)  ->  ( A  vH  x )  C_  ( A  vH  B ) ) )
3938imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  ->  ( A  vH  x )  C_  ( A  vH  B ) )
4027, 39sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) ) )  ->  ( A  vH  x )  C_  ( A  vH  B ) )
4140adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( A  vH  x
)  C_  ( A  vH  B ) )
42 chjcl 21928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( A  vH  x
)  e.  CH )
431, 10, 42sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e. HAtoms  ->  ( A  vH  x )  e.  CH )
442, 43anim12i 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  ->  ( B  e.  CH  /\  ( A  vH  x )  e. 
CH ) )
4544adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( B  e.  CH  /\  ( A  vH  x
)  e.  CH )
)
46 chub1 22078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  A  C_  ( A  vH  x ) )
471, 10, 46sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e. HAtoms  ->  A  C_  ( A  vH  x ) )
4847ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  ->  A  C_  ( A  vH  x ) )
49 pm3.22 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  ->  ( x  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms )
)
5049adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( x  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms ) )
5127adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e. HAtoms  /\  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) ) )  ->  x  C_  ( A  vH  B ) )
52 incom 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  i^i  x )  =  ( x  i^i  A
)
53 chsh 21796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  CH  ->  x  e.  SH )
541chshii 21799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  A  e.  SH
55 orthin 22017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  SH  /\  A  e.  SH )  ->  ( x  C_  ( _|_ `  A )  -> 
( x  i^i  A
)  =  0H ) )
5653, 54, 55sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  CH  ->  (
x  C_  ( _|_ `  A )  ->  (
x  i^i  A )  =  0H ) )
5756imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  CH  /\  x  C_  ( _|_ `  A
) )  ->  (
x  i^i  A )  =  0H )
5852, 57syl5eq 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  CH  /\  x  C_  ( _|_ `  A
) )  ->  ( A  i^i  x )  =  0H )
5910, 13, 58syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e. HAtoms  /\  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) ) )  ->  ( A  i^i  x )  =  0H )
6051, 59jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e. HAtoms  /\  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) ) )  ->  ( x  C_  ( A  vH  B
)  /\  ( A  i^i  x )  =  0H ) )
6160ad2ant2lr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( x  C_  ( A  vH  B )  /\  ( A  i^i  x
)  =  0H ) )
62 atexch 22953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CH  /\  x  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms
)  ->  ( (
x  C_  ( A  vH  B )  /\  ( A  i^i  x )  =  0H )  ->  B  C_  ( A  vH  x
) ) )
631, 62mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms
)  ->  ( (
x  C_  ( A  vH  B )  /\  ( A  i^i  x )  =  0H )  ->  B  C_  ( A  vH  x
) ) )
6450, 61, 63sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  ->  B  C_  ( A  vH  x ) )
65 chlub 22080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH  /\  ( A  vH  x )  e. 
CH )  ->  (
( A  C_  ( A  vH  x )  /\  B  C_  ( A  vH  x ) )  <->  ( A  vH  B )  C_  ( A  vH  x ) ) )
661, 65mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  CH  /\  ( A  vH  x
)  e.  CH )  ->  ( ( A  C_  ( A  vH  x
)  /\  B  C_  ( A  vH  x ) )  <-> 
( A  vH  B
)  C_  ( A  vH  x ) ) )
6766biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  CH  /\  ( A  vH  x
)  e.  CH )  ->  ( ( A  C_  ( A  vH  x
)  /\  B  C_  ( A  vH  x ) )  ->  ( A  vH  B )  C_  ( A  vH  x ) ) )
6867exp3a 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  CH  /\  ( A  vH  x
)  e.  CH )  ->  ( A  C_  ( A  vH  x )  -> 
( B  C_  ( A  vH  x )  -> 
( A  vH  B
)  C_  ( A  vH  x ) ) ) )
6945, 48, 64, 68syl3c 59 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( A  vH  B
)  C_  ( A  vH  x ) )
7041, 69eqssd 3197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( A  vH  x
)  =  ( A  vH  B ) )
7170ineq1d 3370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( ( A  vH  x )  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) ) )
7224, 71eqtr3d 2318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  ->  x  =  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) ) )
7372eleq1d 2350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( x  e. HAtoms  <->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e. HAtoms )
)
7473exp43 597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( x  e. HAtoms  ->  ( x  C_  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  -> 
( ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =/=  0H  ->  ( x  e. HAtoms  <->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e. HAtoms )
) ) ) )
7574com24 83 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =/=  0H  ->  ( x  C_  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  -> 
( x  e. HAtoms  ->  ( x  e. HAtoms  <->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e. HAtoms )
) ) ) )
7675imp31 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H )  /\  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) ) )  ->  ( x  e. HAtoms  ->  ( x  e. HAtoms  <->  ( ( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms
) ) )
7776ibd 236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H )  /\  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) ) )  ->  ( x  e. HAtoms  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e. HAtoms )
)
7877ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H )  ->  (
x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  ->  (
x  e. HAtoms  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e. HAtoms )
) )
7978com23 74 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H )  ->  (
x  e. HAtoms  ->  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  ->  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms
) ) )
8079rexlimdv 2667 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H )  ->  ( E. x  e. HAtoms  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e. HAtoms )
)
819, 80mpd 16 . . . . 5  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H )  ->  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms
)
8281ex 425 . . . 4  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =/=  0H  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms ) )
8382necon1bd 2515 . . 3  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( -.  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  0H ) )
8483orrd 369 . 2  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e. HAtoms  \/  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  0H ) )
85 elun 3317 . . 3  |-  ( ( ( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e.  (HAtoms  u.  { 0H } )  <->  ( (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms  \/  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  e.  { 0H }
) )
86 fvex 5499 . . . . . 6  |-  ( _|_ `  A )  e.  _V
8786inex2 4157 . . . . 5  |-  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e.  _V
8887elsnc 3664 . . . 4  |-  ( ( ( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. 
{ 0H }  <->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  0H )
8988orbi2i 507 . . 3  |-  ( ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms  \/  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e.  { 0H } )  <->  ( (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms  \/  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  0H ) )
9085, 89bitri 242 . 2  |-  ( ( ( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e.  (HAtoms  u.  { 0H } )  <->  ( (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms  \/  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  0H ) )
9184, 90sylibr 205 1  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e.  (HAtoms 
u.  { 0H }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2447   E.wrex 2545    u. cun 3151    i^i cin 3152    C_ wss 3153   {csn 3641   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   SHcsh 21500   CHcch 21501   _|_cort 21502    vH chj 21505   0Hc0h 21507  HAtomscat 21537
This theorem is referenced by:  atoml2i  22955
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cc 8056  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812  ax-hilex 21571  ax-hfvadd 21572  ax-hvcom 21573  ax-hvass 21574  ax-hv0cl 21575  ax-hvaddid 21576  ax-hfvmul 21577  ax-hvmulid 21578  ax-hvmulass 21579  ax-hvdistr1 21580  ax-hvdistr2 21581  ax-hvmul0 21582  ax-hfi 21650  ax-his1 21653  ax-his2 21654  ax-his3 21655  ax-his4 21656  ax-hcompl 21773
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-acn 7570  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-seq 11041  df-exp 11099  df-hash 11332  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-sum 12153  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-hom 13226  df-cco 13227  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-pt 13339  df-prds 13342  df-xrs 13397  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-qtop 13404  df-imas 13405  df-xps 13407  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-mulg 14486  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cld 16750  df-ntr 16751  df-cls 16752  df-nei 16829  df-cn 16951  df-cnp 16952  df-lm 16953  df-haus 17037  df-tx 17251  df-hmeo 17440  df-fbas 17514  df-fg 17515  df-fil 17535  df-fm 17627  df-flim 17628  df-flf 17629  df-xms 17879  df-ms 17880  df-tms 17881  df-cfil 18675  df-cau 18676  df-cmet 18677  df-grpo 20850  df-gid 20851  df-ginv 20852  df-gdiv 20853  df-ablo 20941  df-subgo 20961  df-vc 21094  df-nv 21140  df-va 21143  df-ba 21144  df-sm 21145  df-0v 21146  df-vs 21147  df-nmcv 21148  df-ims 21149  df-dip 21266  df-ssp 21290  df-ph 21383  df-cbn 21434  df-hnorm 21540  df-hba 21541  df-hvsub 21543  df-hlim 21544  df-hcau 21545  df-sh 21778  df-ch 21793  df-oc 21823  df-ch0 21824  df-shs 21879  df-span 21880  df-chj 21881  df-chsup 21882  df-pjh 21966  df-cv 22851  df-at 22910
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