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Theorem ax12-2 28382
Description: Possible alternative to ax-12 1868. (Contributed by NM, 7-Nov-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax12-2  |-  ( A. x  -.  z  =  y  ->  ( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )

Proof of Theorem ax12-2
StepHypRef Expression
1 df-ex 1529 . 2  |-  ( E. z  x  =  y  <->  -.  A. z  -.  x  =  y )
2 ax9 1891 . . . . 5  |-  -.  A. z  -.  z  =  y
3 biidd 228 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( -.  z  =  y  <->  -.  z  =  y ) )
43dral1 1908 . . . . 5  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. z  -.  z  =  y  <->  A. x  -.  z  =  y
) )
52, 4mtbii 293 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  x  ->  -.  A. x  -.  z  =  y )
65pm2.21d 98 . . 3  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. x  -.  z  =  y  ->  ( E. z  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
7 19.8a 1720 . . . . . 6  |-  ( -.  z  =  y  ->  E. z  -.  z  =  y )
8 exnal 1561 . . . . . 6  |-  ( E. z  -.  z  =  y  <->  -.  A. z 
z  =  y )
97, 8sylib 188 . . . . 5  |-  ( -.  z  =  y  ->  -.  A. z  z  =  y )
109sps 1741 . . . 4  |-  ( A. x  -.  z  =  y  ->  -.  A. z 
z  =  y )
11 hbnae 1898 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  A. z  -.  A. z  z  =  x )
12 hbnae 1898 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  A. z  -.  A. z  z  =  y )
1311, 12hban 1738 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  A. z
( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y ) )
14 hba1 1721 . . . . . 6  |-  ( A. z  x  =  y  ->  A. z A. z  x  =  y )
15 ax12o 1877 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
1615imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
1713, 14, 16exlimdh 1806 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( E. z  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )
1817ex 423 . . . 4  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( E. z  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) ) )
1910, 18syl5 28 . . 3  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( A. x  -.  z  =  y  ->  ( E. z  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) ) )
206, 19pm2.61i 156 . 2  |-  ( A. x  -.  z  =  y  ->  ( E. z  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )
211, 20syl5bir 209 1  |-  ( A. x  -.  z  =  y  ->  ( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528
This theorem is referenced by:  ax12-3  28383  ax12OLD  28384
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-ex 1529  df-nf 1532
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