Theorem ax1id 5205

Description: 1 is an identity element for multiplication. Axiom 16 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
ax1id	|- (A e. CC -> (A x. 1) = A)

Proof of Theorem ax1id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 5163	. 2 |- CC = (R. X. R.)
2		opreq1 3907	. . 3 |- (<.x, y>. = A -> (<.x, y>. x. 1) = (A x. 1))
3		id 59	. . 3 |- (<.x, y>. = A -> <.x, y>. = A)
4	2, 3	eqeq12d 1465	. 2 |- (<.x, y>. = A -> ((<.x, y>. x. 1) = <.x, y>. <-> (A x. 1) = A))
5		1r 5113	. . . . . 6 |- 1R e. R.
6		0r 5112	. . . . . 6 |- 0R e. R.
7	5, 6	pm3.2i 285	. . . . 5 |- (1R e. R. /\ 0R e. R.)
8		mulcnsr 5177	. . . . 5 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (1R e. R. /\ 0R e. R.)) -> (<.x, y>. x. <.1R, 0R>.) = <.((x .R 1R) +R (-1R .R (y .R 0R))), ((y .R 1R) +R (x .R 0R))>.)
9	7, 8	mpan2 693	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, y>. x. <.1R, 0R>.) = <.((x .R 1R) +R (-1R .R (y .R 0R))), ((y .R 1R) +R (x .R 0R))>.)
10		00sr 5131	. . . . . . . . 9 |- (y e. R. -> (y .R 0R) = 0R)
11	10	opreq2d 3915	. . . . . . . 8 |- (y e. R. -> (-1R .R (y .R 0R)) = (-1R .R 0R))
12		m1r 5114	. . . . . . . . 9 |- -1R e. R.
13		00sr 5131	. . . . . . . . 9 |- (-1R e. R. -> (-1R .R 0R) = 0R)
14	12, 13	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (-1R .R 0R) = 0R
15	11, 14	syl6eq 1499	. . . . . . 7 |- (y e. R. -> (-1R .R (y .R 0R)) = 0R)
16	15	opreq2d 3915	. . . . . 6 |- (y e. R. -> ((x .R 1R) +R (-1R .R (y .R 0R))) = ((x .R 1R) +R 0R))
17		1idsr 5130	. . . . . . . 8 |- (x e. R. -> (x .R 1R) = x)
18	17	opreq1d 3914	. . . . . . 7 |- (x e. R. -> ((x .R 1R) +R 0R) = (x +R 0R))
19		0idsr 5129	. . . . . . 7 |- (x e. R. -> (x +R 0R) = x)
20	18, 19	eqtrd 1483	. . . . . 6 |- (x e. R. -> ((x .R 1R) +R 0R) = x)
21	16, 20	sylan9eqr 1505	. . . . 5 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> ((x .R 1R) +R (-1R .R (y .R 0R))) = x)
22		00sr 5131	. . . . . . 7 |- (x e. R. -> (x .R 0R) = 0R)
23	22	opreq2d 3915	. . . . . 6 |- (x e. R. -> ((y .R 1R) +R (x .R 0R)) = ((y .R 1R) +R 0R))
24		1idsr 5130	. . . . . . . 8 |- (y e. R. -> (y .R 1R) = y)
25	24	opreq1d 3914	. . . . . . 7 |- (y e. R. -> ((y .R 1R) +R 0R) = (y +R 0R))
26		0idsr 5129	. . . . . . 7 |- (y e. R. -> (y +R 0R) = y)
27	25, 26	eqtrd 1483	. . . . . 6 |- (y e. R. -> ((y .R 1R) +R 0R) = y)
28	23, 27	sylan9eq 1503	. . . . 5 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> ((y .R 1R) +R (x .R 0R)) = y)
29	21, 28	opeq12d 2464	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> <.((x .R 1R) +R (-1R .R (y .R 0R))), ((y .R 1R) +R (x .R 0R))>. = <.x, y>.)
30	9, 29	eqtrd 1483	. . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, y>. x. <.1R, 0R>.) = <.x, y>.)
31		df-1 5165	. . . 4 |- 1 = <.1R, 0R>.
32	31	opreq2i 3911	. . 3 |- (<.x, y>. x. 1) = (<.x, y>. x. <.1R, 0R>.)
33	30, 32	syl5eq 1495	. 2 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, y>. x. 1) = <.x, y>.)
34	1, 4, 33	optocl 3197	1 |- (A e. CC -> (A x. 1) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 1099   e. wcel 1105  <.cop 2382  (class class class)co 3902  R.cnr 4916  0Rc0r 4917  1Rc1r 4918  -1Rcm1r 4919   +R cplr 4920   .R cmr 4921  CCcc 5155  1c1 5158   x. cmul 5162

This theorem is referenced by:  mulid1t 5234  mulid1 5255  mulid2t 5340  muladd11t 5345  muleqaddt 5620  divadddivt 5691  divdivmult 5702  conjmult 5704  mulgt1t 5752  ltmulgt11t 5753  lemulge11t 5755  nnmulclt 5840  expaddt 6478  expmult 6479  sq01t 6533  bernneq 6534  crrecz 6623  imret 6661  facwordit 6832  faclbnd 6833  faclbnd2 6834  faclbnd4lem3 6838  faclbnd6 6842  facavgt 6843  bcn0t 6852  bcnp11t 6854  binomlem1 6955  binomlem4 6958  fnsmnt 7112  geoser 7120  efexpt 7265  efnn0valt 7266  cos01gt0 7370  abseft 7376  cnring 8047  nmoub3i 8303  ipasslem2 8357  ubthlem10 8404  htthlem6 8489  sinper 8522  cosper 8523  nmopub2tALT 9964  nmfnleub2t 9980  nmcopexlem5 10084  nmcfnexlem5 10113  nmopcoadj 10162  branmfnt 10165

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-0r 5094  df-1r 5095  df-m1r 5096  df-c 5163  df-1 5165  df-mul 5169

Copyright terms: Public domain