HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem ax1ne0 7042
Description: 1 and 0 are distinct. Axiom 13 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1ne0 7064.
Assertion
Ref Expression
ax1ne0 |- 1 =/= 0

Proof of Theorem ax1ne0
StepHypRef Expression
1 1ne0sr 6979 . . . 4 |- -. 1R = 0R
2 1sr 6964 . . . . . 6 |- 1R e. R.
32elexi 2367 . . . . 5 |- 1R e. _V
43eqresr 7020 . . . 4 |- (<.1R, 0R>. = <.0R, 0R>. <-> 1R = 0R)
51, 4mtbir 307 . . 3 |- -. <.1R, 0R>. = <.0R, 0R>.
6 df-1 7006 . . . 4 |- 1 = <.1R, 0R>.
7 df-0 7005 . . . 4 |- 0 = <.0R, 0R>.
86, 7eqeq12i 1966 . . 3 |- (1 = 0 <-> <.1R, 0R>. = <.0R, 0R>.)
95, 8mtbir 307 . 2 |- -. 1 = 0
10 df-ne 2073 . 2 |- (1 =/= 0 <-> -. 1 = 0)
119, 10mpbir 213 1 |- 1 =/= 0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 3   = wceq 1449   =/= wne 2071  <.cop 3094  R.cnr 6748  0Rc0r 6749  1Rc1r 6750  0cc0 6998  1c1 6999
This theorem is referenced by:  axlowdimlem13 14974  axlowdimlem14 14975  axlowdim1 14979
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1367  ax-6 1368  ax-7 1369  ax-gen 1370  ax-8 1453  ax-10 1454  ax-11 1455  ax-12 1456  ax-13 1457  ax-14 1458  ax-17 1465  ax-9 1480  ax-4 1486  ax-16 1664  ax-ext 1935  ax-rep 3459  ax-sep 3469  ax-nul 3478  ax-pow 3514  ax-pr 3538  ax-un 3808  ax-inf2 6071
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 378  df-an 379  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1345  df-ex 1372  df-sb 1626  df-eu 1853  df-mo 1854  df-clab 1941  df-cleq 1946  df-clel 1949  df-ne 2073  df-ral 2166  df-rex 2167  df-reu 2168  df-rab 2169  df-v 2360  df-sbc 2525  df-csb 2600  df-dif 2660  df-un 2662  df-in 2664  df-ss 2666  df-pss 2668  df-nul 2922  df-if 3023  df-pw 3081  df-sn 3096  df-pr 3097  df-tp 3099  df-op 3100  df-uni 3229  df-int 3263  df-iun 3301  df-br 3374  df-opab 3428  df-tr 3443  df-eprel 3621  df-id 3624  df-po 3629  df-so 3643  df-fr 3662  df-we 3678  df-ord 3694  df-on 3695  df-lim 3696  df-suc 3697  df-om 3971  df-xp 4018  df-rel 4019  df-cnv 4020  df-co 4021  df-dm 4022  df-rn 4023  df-res 4024  df-ima 4025  df-fun 4026  df-fn 4027  df-f 4028  df-fv 4032  df-ov 4933  df-oprab 4934  df-mpt 5068  df-mpt2 5069  df-1st 5166  df-2nd 5167  df-rdg 5356  df-1o 5393  df-oadd 5397  df-omul 5398  df-er 5530  df-ec 5532  df-qs 5536  df-ni 6755  df-pli 6756  df-mi 6757  df-lti 6758  df-plpq 6791  df-mpq 6792  df-ltpq 6793  df-enq 6794  df-nq 6795  df-erq 6796  df-plq 6797  df-mq 6798  df-1nq 6799  df-rq 6800  df-ltnq 6801  df-np 6865  df-1p 6866  df-plp 6867  df-ltp 6869  df-enr 6941  df-nr 6942  df-ltr 6945  df-0r 6946  df-1r 6947  df-0 7005  df-1 7006
Copyright terms: Public domain