MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax1ne0 Unicode version

Theorem ax1ne0 8636
Description: 1 and 0 are distinct. Axiom 13 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1ne0 8660. (Contributed by NM, 19-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax1ne0  |-  1  =/=  0

Proof of Theorem ax1ne0
StepHypRef Expression
1 1ne0sr 8572 . . . 4  |-  -.  1R  =  0R
2 1sr 8557 . . . . . 6  |-  1R  e.  R.
32elexi 2721 . . . . 5  |-  1R  e.  _V
43eqresr 8613 . . . 4  |-  ( <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >.  <->  1R  =  0R )
51, 4mtbir 289 . . 3  |-  -.  <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >.
6 df-1 8599 . . . 4  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
7 df-0 8598 . . . 4  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
86, 7eqeq12i 2254 . . 3  |-  ( 1  =  0  <->  <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >. )
95, 8mtbir 289 . 2  |-  -.  1  =  0
10 df-ne 2402 . 2  |-  ( 1  =/=  0  <->  -.  1  =  0 )
119, 10mpbir 199 1  |-  1  =/=  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 4    = wceq 1608    =/= wne 2400   <.cop 3527   R.cnr 8343   0Rc0r 8344   1Rc1r 8345   0cc0 8591   1c1 8592
This theorem was proved from axioms:  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-mp 9  ax-5 1522  ax-6 1523  ax-7 1524  ax-gen 1525  ax-8 1612  ax-11 1613  ax-13 1614  ax-14 1615  ax-17 1617  ax-12o 1653  ax-10 1667  ax-9 1673  ax-4 1681  ax-16 1915  ax-ext 2222  ax-sep 4017  ax-nul 4025  ax-pow 4061  ax-pr 4087  ax-un 4382  ax-inf2 7200
This theorem depends on definitions:  df-bi 176  df-or 358  df-an 359  df-3or 934  df-3an 935  df-tru 1309  df-ex 1527  df-nf 1529  df-sb 1872  df-eu 2106  df-mo 2107  df-clab 2228  df-cleq 2234  df-clel 2237  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2499  df-rex 2500  df-reu 2501  df-rab 2502  df-v 2714  df-sbc 2907  df-csb 2990  df-dif 3061  df-un 3063  df-in 3065  df-ss 3069  df-pss 3071  df-nul 3343  df-if 3451  df-pw 3512  df-sn 3530  df-pr 3531  df-tp 3532  df-op 3533  df-uni 3708  df-int 3741  df-iun 3785  df-br 3901  df-opab 3955  df-mpt 3956  df-tr 3990  df-eprel 4177  df-id 4181  df-po 4186  df-so 4187  df-fr 4224  df-we 4226  df-ord 4267  df-on 4268  df-lim 4269  df-suc 4270  df-om 4527  df-xp 4573  df-rel 4574  df-cnv 4575  df-co 4576  df-dm 4577  df-rn 4578  df-res 4579  df-ima 4580  df-fun 4581  df-fn 4582  df-f 4583  df-f1 4584  df-fo 4585  df-f1o 4586  df-fv 4587  df-ov 5688  df-oprab 5689  df-mpt2 5690  df-1st 5948  df-2nd 5949  df-recs 6248  df-rdg 6283  df-1o 6339  df-oadd 6343  df-omul 6344  df-er 6520  df-ec 6522  df-qs 6526  df-ni 8350  df-pli 8351  df-mi 8352  df-lti 8353  df-plpq 8386  df-mpq 8387  df-ltpq 8388  df-enq 8389  df-nq 8390  df-erq 8391  df-plq 8392  df-mq 8393  df-1nq 8394  df-rq 8395  df-ltnq 8396  df-np 8459  df-1p 8460  df-plp 8461  df-ltp 8463  df-enr 8535  df-nr 8536  df-ltr 8539  df-0r 8540  df-1r 8541  df-0 8598  df-1 8599
  Copyright terms: Public domain W3C validator