Theorem ax1ne0 5203

Description: 1 and 0 are distinct. Axiom 14 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
ax1ne0	|- 1 =/= 0

Proof of Theorem ax1ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ne0sr 5128	. . . 4 |- -. 1R = 0R
2		1r 5113	. . . . . 6 |- 1R e. R.
3	2	elisseti 1793	. . . . 5 |- 1R e. V
4	3	eqresr 5178	. . . 4 |- (<.1R, 0R>. = <.0R, 0R>. <-> 1R = 0R)
5	1, 4	mtbir 192	. . 3 |- -. <.1R, 0R>. = <.0R, 0R>.
6		df-1 5165	. . . 4 |- 1 = <.1R, 0R>.
7		df-0 5164	. . . 4 |- 0 = <.0R, 0R>.
8	6, 7	eqeq12i 1464	. . 3 |- (1 = 0 <-> <.1R, 0R>. = <.0R, 0R>.)
9	5, 8	mtbir 192	. 2 |- -. 1 = 0
10		df-ne 1563	. 2 |- (1 =/= 0 <-> -. 1 = 0)
11	9, 10	mpbir 190	1 |- 1 =/= 0

Syntax hints:  -. wn 2   = wceq 1099   =/= wne 1561  <.cop 2382  R.cnr 4916  0Rc0r 4917  1Rc1r 4918  0cc0 5157  1c1 5158

This theorem is referenced by:  elimne0 5239  ine0 5357  lt01 5604  mulcant2 5611  recne0z 5645  div11t 5672  recrec 5676  div1 5679  recrect 5683  recdivt 5697  divdivmult 5702  recgt0i 5721  expne0it 6470  efseq1ex 7199  erelem2 7213  efne0t 7262  dscmet 7804  ablmul 8016  mulid 8017  efif1lem5 8562  pilog 8603  hvsubcant 9090  hvsubcan2t 9091  norm1ex 9273  kbpjt 10010  large 10318  superpos 10403

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-ltp 5013  df-enr 5089  df-nr 5090  df-ltr 5093  df-0r 5094  df-1r 5095  df-0 5164  df-1 5165

Copyright terms: Public domain