HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem ax1ne0 8198
Description: 1 and 0 are distinct. Axiom 13 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1ne0 8221. (Contributed by NM, 19-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax1ne0  |-  1  =/=  0

Proof of Theorem ax1ne0
StepHypRef Expression
1 1ne0sr 8134 . . . 4  |-  -.  1R  =  0R
2 1sr 8119 . . . . . 6  |-  1R  e.  R.
32elexi 2482 . . . . 5  |-  1R  e.  _V
43eqresr 8175 . . . 4  |-  ( <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >.  <->  1R  =  0R )
51, 4mtbir 288 . . 3  |-  -.  <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >.
6 df-1 8161 . . . 4  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
7 df-0 8160 . . . 4  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
86, 7eqeq12i 2075 . . 3  |-  ( 1  =  0  <->  <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >. )
95, 8mtbir 288 . 2  |-  -.  1  =  0
10 df-ne 2182 . 2  |-  ( 1  =/=  0  <->  -.  1  =  0 )
119, 10mpbir 198 1  |-  1  =/=  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1518    =/= wne 2180   <.cop 3256   R.cnr 7905   0Rc0r 7906   1Rc1r 7907   0cc0 8153   1c1 8154
This theorem is referenced by:  psgnunilem4  24530
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1440  ax-6 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-8 1522  ax-11 1523  ax-13 1524  ax-14 1525  ax-17 1527  ax-12o 1560  ax-10 1574  ax-9 1580  ax-4 1587  ax-16 1773  ax-ext 2044  ax-sep 3699  ax-nul 3707  ax-pow 3743  ax-pr 3767  ax-un 4059  ax-inf2 6821
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 357  df-an 358  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1257  df-ex 1445  df-sb 1734  df-eu 1956  df-mo 1957  df-clab 2050  df-cleq 2055  df-clel 2058  df-ne 2182  df-ral 2276  df-rex 2277  df-reu 2278  df-rab 2279  df-v 2475  df-sbc 2649  df-csb 2731  df-dif 2794  df-un 2796  df-in 2798  df-ss 2802  df-pss 2804  df-nul 3071  df-if 3180  df-pw 3241  df-sn 3259  df-pr 3260  df-tp 3261  df-op 3262  df-uni 3423  df-int 3457  df-iun 3500  df-br 3585  df-opab 3639  df-mpt 3640  df-tr 3672  df-eprel 3854  df-id 3858  df-po 3863  df-so 3864  df-fr 3901  df-we 3903  df-ord 3944  df-on 3945  df-lim 3946  df-suc 3947  df-om 4222  df-xp 4268  df-rel 4269  df-cnv 4270  df-co 4271  df-dm 4272  df-rn 4273  df-res 4274  df-ima 4275  df-fun 4276  df-fn 4277  df-f 4278  df-f1 4279  df-fo 4280  df-f1o 4281  df-fv 4282  df-ov 5359  df-oprab 5360  df-mpt2 5361  df-1st 5610  df-2nd 5611  df-recs 5839  df-rdg 5874  df-1o 5930  df-oadd 5934  df-omul 5935  df-er 6111  df-ec 6113  df-qs 6117  df-ni 7912  df-pli 7913  df-mi 7914  df-lti 7915  df-plpq 7948  df-mpq 7949  df-ltpq 7950  df-enq 7951  df-nq 7952  df-erq 7953  df-plq 7954  df-mq 7955  df-1nq 7956  df-rq 7957  df-ltnq 7958  df-np 8021  df-1p 8022  df-plp 8023  df-ltp 8025  df-enr 8097  df-nr 8098  df-ltr 8101  df-0r 8102  df-1r 8103  df-0 8160  df-1 8161
Copyright terms: Public domain