HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem ax1ne0 8209
Description: 1 and 0 are distinct. Axiom 13 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1ne0 8232. (Contributed by NM, 19-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax1ne0  |-  1  =/=  0

Proof of Theorem ax1ne0
StepHypRef Expression
1 1ne0sr 8145 . . . 4  |-  -.  1R  =  0R
2 1sr 8130 . . . . . 6  |-  1R  e.  R.
32elexi 2485 . . . . 5  |-  1R  e.  _V
43eqresr 8186 . . . 4  |-  ( <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >.  <->  1R  =  0R )
51, 4mtbir 288 . . 3  |-  -.  <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >.
6 df-1 8172 . . . 4  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
7 df-0 8171 . . . 4  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
86, 7eqeq12i 2078 . . 3  |-  ( 1  =  0  <->  <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >. )
95, 8mtbir 288 . 2  |-  -.  1  =  0
10 df-ne 2185 . 2  |-  ( 1  =/=  0  <->  -.  1  =  0 )
119, 10mpbir 198 1  |-  1  =/=  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1520    =/= wne 2183   <.cop 3259   R.cnr 7916   0Rc0r 7917   1Rc1r 7918   0cc0 8164   1c1 8165
This theorem is referenced by:  psgnunilem4  25254
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1442  ax-6 1443  ax-7 1444  ax-gen 1445  ax-8 1524  ax-11 1525  ax-13 1526  ax-14 1527  ax-17 1529  ax-12o 1563  ax-10 1577  ax-9 1583  ax-4 1590  ax-16 1776  ax-ext 2047  ax-sep 3707  ax-nul 3715  ax-pow 3751  ax-pr 3775  ax-un 4067  ax-inf2 6831
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 357  df-an 358  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1259  df-ex 1447  df-sb 1737  df-eu 1959  df-mo 1960  df-clab 2053  df-cleq 2058  df-clel 2061  df-ne 2185  df-ral 2279  df-rex 2280  df-reu 2281  df-rab 2282  df-v 2478  df-sbc 2652  df-csb 2734  df-dif 2797  df-un 2799  df-in 2801  df-ss 2805  df-pss 2807  df-nul 3074  df-if 3183  df-pw 3244  df-sn 3262  df-pr 3263  df-tp 3264  df-op 3265  df-uni 3431  df-int 3465  df-iun 3508  df-br 3593  df-opab 3647  df-mpt 3648  df-tr 3680  df-eprel 3862  df-id 3866  df-po 3871  df-so 3872  df-fr 3909  df-we 3911  df-ord 3952  df-on 3953  df-lim 3954  df-suc 3955  df-om 4230  df-xp 4276  df-rel 4277  df-cnv 4278  df-co 4279  df-dm 4280  df-rn 4281  df-res 4282  df-ima 4283  df-fun 4284  df-fn 4285  df-f 4286  df-f1 4287  df-fo 4288  df-f1o 4289  df-fv 4290  df-ov 5369  df-oprab 5370  df-mpt2 5371  df-1st 5620  df-2nd 5621  df-recs 5849  df-rdg 5884  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6121  df-ec 6123  df-qs 6127  df-ni 7923  df-pli 7924  df-mi 7925  df-lti 7926  df-plpq 7959  df-mpq 7960  df-ltpq 7961  df-enq 7962  df-nq 7963  df-erq 7964  df-plq 7965  df-mq 7966  df-1nq 7967  df-rq 7968  df-ltnq 7969  df-np 8032  df-1p 8033  df-plp 8034  df-ltp 8036  df-enr 8108  df-nr 8109  df-ltr 8112  df-0r 8113  df-1r 8114  df-0 8171  df-1 8172
Copyright terms: Public domain