HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem ax1ne0 8192
Description: 1 and 0 are distinct. Axiom 13 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1ne0 8215. (Contributed by NM, 19-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
ax1ne0  |-  1  =/=  0

Proof of Theorem ax1ne0
StepHypRef Expression
1 1ne0sr 8128 . . . 4  |-  -.  1R  =  0R
2 1sr 8113 . . . . . 6  |-  1R  e.  R.
32elexi 2481 . . . . 5  |-  1R  e.  _V
43eqresr 8169 . . . 4  |-  ( <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >.  <->  1R  =  0R )
51, 4mtbir 288 . . 3  |-  -.  <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >.
6 df-1 8155 . . . 4  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
7 df-0 8154 . . . 4  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
86, 7eqeq12i 2074 . . 3  |-  ( 1  =  0  <->  <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >. )
95, 8mtbir 288 . 2  |-  -.  1  =  0
10 df-ne 2181 . 2  |-  ( 1  =/=  0  <->  -.  1  =  0 )
119, 10mpbir 198 1  |-  1  =/=  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1517    =/= wne 2179   <.cop 3254   R.cnr 7899   0Rc0r 7900   1Rc1r 7901   0cc0 8147   1c1 8148
This theorem is referenced by:  psgnunilem4  24044
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1439  ax-6 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-8 1521  ax-11 1522  ax-13 1523  ax-14 1524  ax-17 1526  ax-12o 1559  ax-10 1573  ax-9 1579  ax-4 1586  ax-16 1772  ax-ext 2043  ax-sep 3697  ax-nul 3705  ax-pow 3741  ax-pr 3765  ax-un 4057  ax-inf2 6815
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 357  df-an 358  df-3or 894  df-3an 895  df-tru 1256  df-ex 1444  df-sb 1733  df-eu 1955  df-mo 1956  df-clab 2049  df-cleq 2054  df-clel 2057  df-ne 2181  df-ral 2275  df-rex 2276  df-reu 2277  df-rab 2278  df-v 2474  df-sbc 2648  df-csb 2730  df-dif 2793  df-un 2795  df-in 2797  df-ss 2801  df-pss 2803  df-nul 3070  df-if 3178  df-pw 3239  df-sn 3257  df-pr 3258  df-tp 3259  df-op 3260  df-uni 3421  df-int 3455  df-iun 3498  df-br 3583  df-opab 3637  df-mpt 3638  df-tr 3670  df-eprel 3852  df-id 3856  df-po 3861  df-so 3862  df-fr 3899  df-we 3901  df-ord 3942  df-on 3943  df-lim 3944  df-suc 3945  df-om 4220  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-fun 4274  df-fn 4275  df-f 4276  df-f1 4277  df-fo 4278  df-f1o 4279  df-fv 4280  df-ov 5356  df-oprab 5357  df-mpt2 5358  df-1st 5607  df-2nd 5608  df-recs 5835  df-rdg 5870  df-1o 5926  df-oadd 5930  df-omul 5931  df-er 6107  df-ec 6109  df-qs 6113  df-ni 7906  df-pli 7907  df-mi 7908  df-lti 7909  df-plpq 7942  df-mpq 7943  df-ltpq 7944  df-enq 7945  df-nq 7946  df-erq 7947  df-plq 7948  df-mq 7949  df-1nq 7950  df-rq 7951  df-ltnq 7952  df-np 8015  df-1p 8016  df-plp 8017  df-ltp 8019  df-enr 8091  df-nr 8092  df-ltr 8095  df-0r 8096  df-1r 8097  df-0 8154  df-1 8155
Copyright terms: Public domain