HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem ax1ne0 7043
Description: 1 and 0 are distinct. Axiom 13 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1ne0 7065.
Assertion
Ref Expression
ax1ne0 |- 1 =/= 0

Proof of Theorem ax1ne0
StepHypRef Expression
1 1ne0sr 6980 . . . 4 |- -. 1R = 0R
2 1sr 6965 . . . . . 6 |- 1R e. R.
32elexi 2375 . . . . 5 |- 1R e. _V
43eqresr 7021 . . . 4 |- (<.1R, 0R>. = <.0R, 0R>. <-> 1R = 0R)
51, 4mtbir 312 . . 3 |- -. <.1R, 0R>. = <.0R, 0R>.
6 df-1 7007 . . . 4 |- 1 = <.1R, 0R>.
7 df-0 7006 . . . 4 |- 0 = <.0R, 0R>.
86, 7eqeq12i 1974 . . 3 |- (1 = 0 <-> <.1R, 0R>. = <.0R, 0R>.)
95, 8mtbir 312 . 2 |- -. 1 = 0
10 df-ne 2081 . 2 |- (1 =/= 0 <-> -. 1 = 0)
119, 10mpbir 218 1 |- 1 =/= 0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 3   = wceq 1457   =/= wne 2079  <.cop 3100  R.cnr 6749  0Rc0r 6750  1Rc1r 6751  0cc0 6999  1c1 7000
This theorem is referenced by:  axlowdimlem13 14777  axlowdimlem14 14778  axlowdim1 14782
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1376  ax-6 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-8 1461  ax-10 1462  ax-11 1463  ax-12 1464  ax-13 1465  ax-14 1466  ax-17 1473  ax-9 1488  ax-4 1494  ax-16 1672  ax-ext 1943  ax-rep 3465  ax-sep 3475  ax-nul 3484  ax-pow 3520  ax-pr 3544  ax-un 3814  ax-inf2 6072
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 383  df-an 384  df-3or 947  df-3an 948  df-tru 1354  df-ex 1381  df-sb 1634  df-eu 1861  df-mo 1862  df-clab 1949  df-cleq 1954  df-clel 1957  df-ne 2081  df-ral 2174  df-rex 2175  df-reu 2176  df-rab 2177  df-v 2368  df-sbc 2533  df-csb 2607  df-dif 2666  df-un 2668  df-in 2670  df-ss 2672  df-pss 2674  df-nul 2928  df-if 3029  df-pw 3087  df-sn 3102  df-pr 3103  df-tp 3105  df-op 3106  df-uni 3235  df-int 3269  df-iun 3307  df-br 3380  df-opab 3434  df-tr 3449  df-eprel 3627  df-id 3630  df-po 3635  df-so 3649  df-fr 3668  df-we 3684  df-ord 3700  df-on 3701  df-lim 3702  df-suc 3703  df-om 3975  df-xp 4022  df-rel 4023  df-cnv 4024  df-co 4025  df-dm 4026  df-rn 4027  df-res 4028  df-ima 4029  df-fun 4030  df-fn 4031  df-f 4032  df-fv 4036  df-ov 4937  df-oprab 4938  df-mpt 5072  df-mpt2 5073  df-1st 5169  df-2nd 5170  df-rdg 5359  df-1o 5396  df-oadd 5400  df-omul 5401  df-er 5533  df-ec 5535  df-qs 5539  df-ni 6756  df-pli 6757  df-mi 6758  df-lti 6759  df-plpq 6792  df-mpq 6793  df-ltpq 6794  df-enq 6795  df-nq 6796  df-erq 6797  df-plq 6798  df-mq 6799  df-1nq 6800  df-rq 6801  df-ltnq 6802  df-np 6866  df-1p 6867  df-plp 6868  df-ltp 6870  df-enr 6942  df-nr 6943  df-ltr 6946  df-0r 6947  df-1r 6948  df-0 7006  df-1 7007
Copyright terms: Public domain