HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem ax1ne0 8203
Description: 1 and 0 are distinct. Axiom 13 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1ne0 8226. (Contributed by NM, 19-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax1ne0  |-  1  =/=  0

Proof of Theorem ax1ne0
StepHypRef Expression
1 1ne0sr 8139 . . . 4  |-  -.  1R  =  0R
2 1sr 8124 . . . . . 6  |-  1R  e.  R.
32elexi 2484 . . . . 5  |-  1R  e.  _V
43eqresr 8180 . . . 4  |-  ( <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >.  <->  1R  =  0R )
51, 4mtbir 288 . . 3  |-  -.  <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >.
6 df-1 8166 . . . 4  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
7 df-0 8165 . . . 4  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
86, 7eqeq12i 2077 . . 3  |-  ( 1  =  0  <->  <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >. )
95, 8mtbir 288 . 2  |-  -.  1  =  0
10 df-ne 2184 . 2  |-  ( 1  =/=  0  <->  -.  1  =  0 )
119, 10mpbir 198 1  |-  1  =/=  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1520    =/= wne 2182   <.cop 3258   R.cnr 7910   0Rc0r 7911   1Rc1r 7912   0cc0 8158   1c1 8159
This theorem is referenced by:  psgnunilem4  25237
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1442  ax-6 1443  ax-7 1444  ax-gen 1445  ax-8 1524  ax-11 1525  ax-13 1526  ax-14 1527  ax-17 1529  ax-12o 1562  ax-10 1576  ax-9 1582  ax-4 1589  ax-16 1775  ax-ext 2046  ax-sep 3701  ax-nul 3709  ax-pow 3745  ax-pr 3769  ax-un 4061  ax-inf2 6825
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 357  df-an 358  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1259  df-ex 1447  df-sb 1736  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2052  df-cleq 2057  df-clel 2060  df-ne 2184  df-ral 2278  df-rex 2279  df-reu 2280  df-rab 2281  df-v 2477  df-sbc 2651  df-csb 2733  df-dif 2796  df-un 2798  df-in 2800  df-ss 2804  df-pss 2806  df-nul 3073  df-if 3182  df-pw 3243  df-sn 3261  df-pr 3262  df-tp 3263  df-op 3264  df-uni 3425  df-int 3459  df-iun 3502  df-br 3587  df-opab 3641  df-mpt 3642  df-tr 3674  df-eprel 3856  df-id 3860  df-po 3865  df-so 3866  df-fr 3903  df-we 3905  df-ord 3946  df-on 3947  df-lim 3948  df-suc 3949  df-om 4224  df-xp 4270  df-rel 4271  df-cnv 4272  df-co 4273  df-dm 4274  df-rn 4275  df-res 4276  df-ima 4277  df-fun 4278  df-fn 4279  df-f 4280  df-f1 4281  df-fo 4282  df-f1o 4283  df-fv 4284  df-ov 5363  df-oprab 5364  df-mpt2 5365  df-1st 5614  df-2nd 5615  df-recs 5843  df-rdg 5878  df-1o 5934  df-oadd 5938  df-omul 5939  df-er 6115  df-ec 6117  df-qs 6121  df-ni 7917  df-pli 7918  df-mi 7919  df-lti 7920  df-plpq 7953  df-mpq 7954  df-ltpq 7955  df-enq 7956  df-nq 7957  df-erq 7958  df-plq 7959  df-mq 7960  df-1nq 7961  df-rq 7962  df-ltnq 7963  df-np 8026  df-1p 8027  df-plp 8028  df-ltp 8030  df-enr 8102  df-nr 8103  df-ltr 8106  df-0r 8107  df-1r 8108  df-0 8165  df-1 8166
Copyright terms: Public domain