HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem ax1ne0 7028
Description: 1 and 0 are distinct. Axiom 13 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1ne0 7050.
Assertion
Ref Expression
ax1ne0 |- 1 =/= 0

Proof of Theorem ax1ne0
StepHypRef Expression
1 1ne0sr 6965 . . . 4 |- -. 1R = 0R
2 1sr 6950 . . . . . 6 |- 1R e. R.
32elexi 2346 . . . . 5 |- 1R e. _V
43eqresr 7006 . . . 4 |- (<.1R, 0R>. = <.0R, 0R>. <-> 1R = 0R)
51, 4mtbir 291 . . 3 |- -. <.1R, 0R>. = <.0R, 0R>.
6 df-1 6992 . . . 4 |- 1 = <.1R, 0R>.
7 df-0 6991 . . . 4 |- 0 = <.0R, 0R>.
86, 7eqeq12i 1945 . . 3 |- (1 = 0 <-> <.1R, 0R>. = <.0R, 0R>.)
95, 8mtbir 291 . 2 |- -. 1 = 0
10 df-ne 2052 . 2 |- (1 =/= 0 <-> -. 1 = 0)
119, 10mpbir 199 1 |- 1 =/= 0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 3   = wceq 1428   =/= wne 2050  <.cop 3074  R.cnr 6734  0Rc0r 6735  1Rc1r 6736  0cc0 6984  1c1 6985
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1345  ax-6 1346  ax-7 1347  ax-gen 1348  ax-8 1432  ax-10 1433  ax-11 1434  ax-12 1435  ax-13 1436  ax-14 1437  ax-17 1444  ax-9 1459  ax-4 1465  ax-16 1643  ax-ext 1914  ax-rep 3440  ax-sep 3450  ax-nul 3459  ax-pow 3495  ax-pr 3519  ax-un 3791  ax-inf2 6055
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 916  df-3an 917  df-tru 1323  df-ex 1350  df-sb 1605  df-eu 1832  df-mo 1833  df-clab 1920  df-cleq 1925  df-clel 1928  df-ne 2052  df-ral 2145  df-rex 2146  df-reu 2147  df-rab 2148  df-v 2339  df-sbc 2504  df-csb 2579  df-dif 2639  df-un 2641  df-in 2643  df-ss 2645  df-pss 2647  df-nul 2901  df-if 3002  df-pw 3060  df-sn 3077  df-pr 3078  df-tp 3079  df-op 3080  df-uni 3210  df-int 3244  df-iun 3282  df-br 3355  df-opab 3409  df-tr 3424  df-eprel 3604  df-id 3607  df-po 3612  df-so 3626  df-fr 3645  df-we 3661  df-ord 3677  df-on 3678  df-lim 3679  df-suc 3680  df-om 3954  df-xp 4001  df-rel 4002  df-cnv 4003  df-co 4004  df-dm 4005  df-rn 4006  df-res 4007  df-ima 4008  df-fun 4009  df-fn 4010  df-f 4011  df-fv 4015  df-ov 4916  df-oprab 4917  df-mpt 5051  df-mpt2 5052  df-1st 5150  df-2nd 5151  df-rdg 5340  df-1o 5377  df-oadd 5381  df-omul 5382  df-er 5514  df-ec 5516  df-qs 5520  df-ni 6741  df-pli 6742  df-mi 6743  df-lti 6744  df-plpq 6777  df-mpq 6778  df-ltpq 6779  df-enq 6780  df-nq 6781  df-erq 6782  df-plq 6783  df-mq 6784  df-1nq 6785  df-rq 6786  df-ltnq 6787  df-np 6851  df-1p 6852  df-plp 6853  df-ltp 6855  df-enr 6927  df-nr 6928  df-ltr 6931  df-0r 6932  df-1r 6933  df-0 6991  df-1 6992
Copyright terms: Public domain