HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem ax1ne0 7051
Description: 1 and 0 are distinct. Axiom 13 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1ne0 7073.
Assertion
Ref Expression
ax1ne0 |- 1 =/= 0

Proof of Theorem ax1ne0
StepHypRef Expression
1 1ne0sr 6988 . . . 4 |- -. 1R = 0R
2 1sr 6973 . . . . . 6 |- 1R e. R.
32elexi 2352 . . . . 5 |- 1R e. _V
43eqresr 7029 . . . 4 |- (<.1R, 0R>. = <.0R, 0R>. <-> 1R = 0R)
51, 4mtbir 290 . . 3 |- -. <.1R, 0R>. = <.0R, 0R>.
6 df-1 7015 . . . 4 |- 1 = <.1R, 0R>.
7 df-0 7014 . . . 4 |- 0 = <.0R, 0R>.
86, 7eqeq12i 1951 . . 3 |- (1 = 0 <-> <.1R, 0R>. = <.0R, 0R>.)
95, 8mtbir 290 . 2 |- -. 1 = 0
10 df-ne 2058 . 2 |- (1 =/= 0 <-> -. 1 = 0)
119, 10mpbir 198 1 |- 1 =/= 0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 3   = wceq 1434   =/= wne 2056  <.cop 3082  R.cnr 6757  0Rc0r 6758  1Rc1r 6759  0cc0 7007  1c1 7008
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1351  ax-6 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-12 1441  ax-13 1442  ax-14 1443  ax-17 1450  ax-9 1465  ax-4 1471  ax-16 1649  ax-ext 1920  ax-rep 3449  ax-sep 3459  ax-nul 3468  ax-pow 3504  ax-pr 3528  ax-un 3800  ax-inf2 6079
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 362  df-an 363  df-3or 922  df-3an 923  df-tru 1329  df-ex 1356  df-sb 1611  df-eu 1838  df-mo 1839  df-clab 1926  df-cleq 1931  df-clel 1934  df-ne 2058  df-ral 2151  df-rex 2152  df-reu 2153  df-rab 2154  df-v 2345  df-sbc 2510  df-csb 2585  df-dif 2645  df-un 2647  df-in 2649  df-ss 2651  df-pss 2653  df-nul 2907  df-if 3010  df-pw 3068  df-sn 3085  df-pr 3086  df-tp 3087  df-op 3088  df-uni 3219  df-int 3253  df-iun 3291  df-br 3364  df-opab 3418  df-tr 3433  df-eprel 3613  df-id 3616  df-po 3621  df-so 3635  df-fr 3654  df-we 3670  df-ord 3686  df-on 3687  df-lim 3688  df-suc 3689  df-om 3963  df-xp 4010  df-rel 4011  df-cnv 4012  df-co 4013  df-dm 4014  df-rn 4015  df-res 4016  df-ima 4017  df-fun 4018  df-fn 4019  df-f 4020  df-fv 4024  df-ov 4929  df-oprab 4930  df-mpt 5065  df-mpt2 5066  df-1st 5174  df-2nd 5175  df-rdg 5364  df-1o 5401  df-oadd 5405  df-omul 5406  df-er 5538  df-ec 5540  df-qs 5544  df-ni 6764  df-pli 6765  df-mi 6766  df-lti 6767  df-plpq 6800  df-mpq 6801  df-ltpq 6802  df-enq 6803  df-nq 6804  df-erq 6805  df-plq 6806  df-mq 6807  df-1nq 6808  df-rq 6809  df-ltnq 6810  df-np 6874  df-1p 6875  df-plp 6876  df-ltp 6878  df-enr 6950  df-nr 6951  df-ltr 6954  df-0r 6955  df-1r 6956  df-0 7014  df-1 7015
Copyright terms: Public domain