HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem ax1ne0 7301
Description: 1 and 0 are distinct. Axiom 13 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1ne0 7323.
Assertion
Ref Expression
ax1ne0

Proof of Theorem ax1ne0
StepHypRef Expression
1 1ne0sr 7238 . . . 4
2 1sr 7223 . . . . . 6
32elexi 2336 . . . . 5
43eqresr 7279 . . . 4
51, 4mtbir 288 . . 3
6 df-1 7265 . . . 4
7 df-0 7264 . . . 4
86, 7eqeq12i 1931 . . 3
95, 8mtbir 288 . 2
10 df-ne 2037 . 2
119, 10mpbir 198 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wceq 1414   wne 2035  cop 3089  cnr 7007  c0r 7008  c1r 7009  cc0 7257  c1 7258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1331  ax-6 1332  ax-7 1333  ax-gen 1334  ax-8 1418  ax-10 1419  ax-11 1420  ax-12 1421  ax-13 1422  ax-14 1423  ax-17 1430  ax-9 1445  ax-4 1451  ax-16 1629  ax-ext 1900  ax-rep 3481  ax-sep 3491  ax-nul 3500  ax-pow 3536  ax-pr 3560  ax-un 3836  ax-inf2 6289
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 900  df-3an 901  df-tru 1309  df-ex 1336  df-sb 1591  df-eu 1818  df-mo 1819  df-clab 1906  df-cleq 1911  df-clel 1914  df-ne 2037  df-ral 2131  df-rex 2132  df-reu 2133  df-rab 2134  df-v 2329  df-sbc 2496  df-csb 2578  df-dif 2640  df-un 2642  df-in 2644  df-ss 2648  df-pss 2650  df-nul 2908  df-if 3015  df-pw 3075  df-sn 3092  df-pr 3093  df-tp 3094  df-op 3095  df-uni 3247  df-int 3281  df-iun 3320  df-br 3397  df-opab 3450  df-tr 3465  df-eprel 3646  df-id 3650  df-po 3655  df-so 3669  df-fr 3689  df-we 3705  df-ord 3721  df-on 3722  df-lim 3723  df-suc 3724  df-om 4001  df-xp 4048  df-rel 4049  df-cnv 4050  df-co 4051  df-dm 4052  df-rn 4053  df-res 4054  df-ima 4055  df-fun 4056  df-fn 4057  df-f 4058  df-fv 4062  df-ov 5034  df-oprab 5035  df-mpt 5196  df-mpt2 5197  df-1st 5333  df-2nd 5334  df-rdg 5535  df-1o 5572  df-oadd 5576  df-omul 5577  df-er 5710  df-ec 5712  df-qs 5716  df-ni 7014  df-pli 7015  df-mi 7016  df-lti 7017  df-plpq 7050  df-mpq 7051  df-ltpq 7052  df-enq 7053  df-nq 7054  df-erq 7055  df-plq 7056  df-mq 7057  df-1nq 7058  df-rq 7059  df-ltnq 7060  df-np 7124  df-1p 7125  df-plp 7126  df-ltp 7128  df-enr 7200  df-nr 7201  df-ltr 7204  df-0r 7205  df-1r 7206  df-0 7264  df-1 7265
Copyright terms: Public domain