HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem ax1ne0 7952
Description: 1 and 0 are distinct. Axiom 13 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1ne0 7974.
Assertion
Ref Expression
ax1ne0

Proof of Theorem ax1ne0
StepHypRef Expression
1 1ne0sr 7889 . . . 4
2 1sr 7874 . . . . . 6
32elexi 2449 . . . . 5
43eqresr 7930 . . . 4
51, 4mtbir 288 . . 3
6 df-1 7916 . . . 4
7 df-0 7915 . . . 4
86, 7eqeq12i 2043 . . 3
95, 8mtbir 288 . 2
10 df-ne 2149 . 2
119, 10mpbir 198 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wceq 1526   wne 2147  cop 3211  cnr 7658  c0r 7659  c1r 7660  cc0 7908  c1 7909
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1443  ax-6 1444  ax-7 1445  ax-gen 1446  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-12 1533  ax-13 1534  ax-14 1535  ax-17 1542  ax-9 1557  ax-4 1563  ax-16 1741  ax-ext 2012  ax-rep 3616  ax-sep 3626  ax-nul 3635  ax-pow 3671  ax-pr 3695  ax-un 3973  ax-inf2 6607
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 900  df-3an 901  df-tru 1261  df-ex 1448  df-sb 1703  df-eu 1930  df-mo 1931  df-clab 2018  df-cleq 2023  df-clel 2026  df-ne 2149  df-ral 2243  df-rex 2244  df-reu 2245  df-rab 2246  df-v 2442  df-sbc 2609  df-csb 2691  df-dif 2753  df-un 2755  df-in 2757  df-ss 2761  df-pss 2763  df-nul 3026  df-if 3135  df-pw 3196  df-sn 3214  df-pr 3215  df-tp 3216  df-op 3217  df-uni 3375  df-int 3409  df-iun 3451  df-br 3532  df-opab 3585  df-tr 3600  df-eprel 3783  df-id 3787  df-po 3792  df-so 3806  df-fr 3826  df-we 3842  df-ord 3858  df-on 3859  df-lim 3860  df-suc 3861  df-om 4139  df-xp 4186  df-rel 4187  df-cnv 4188  df-co 4189  df-dm 4190  df-rn 4191  df-res 4192  df-ima 4193  df-fun 4194  df-fn 4195  df-f 4196  df-fv 4200  df-ov 5208  df-oprab 5209  df-mpt 5371  df-mpt2 5372  df-1st 5521  df-2nd 5522  df-recs 5722  df-rdg 5750  df-1o 5798  df-oadd 5802  df-omul 5803  df-er 5952  df-ec 5954  df-qs 5958  df-ni 7665  df-pli 7666  df-mi 7667  df-lti 7668  df-plpq 7701  df-mpq 7702  df-ltpq 7703  df-enq 7704  df-nq 7705  df-erq 7706  df-plq 7707  df-mq 7708  df-1nq 7709  df-rq 7710  df-ltnq 7711  df-np 7775  df-1p 7776  df-plp 7777  df-ltp 7779  df-enr 7851  df-nr 7852  df-ltr 7855  df-0r 7856  df-1r 7857  df-0 7915  df-1 7916
Copyright terms: Public domain