MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax1ne0 Unicode version

Theorem ax1ne0 8247
Description: 1 and 0 are distinct. Axiom 13 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1ne0 8270. (Contributed by NM, 19-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax1ne0  |-  1  =/=  0

Proof of Theorem ax1ne0
StepHypRef Expression
1 1ne0sr 8183 . . . 4  |-  -.  1R  =  0R
2 1sr 8168 . . . . . 6  |-  1R  e.  R.
32elexi 2521 . . . . 5  |-  1R  e.  _V
43eqresr 8224 . . . 4  |-  ( <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >.  <->  1R  =  0R )
51, 4mtbir 288 . . 3  |-  -.  <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >.
6 df-1 8210 . . . 4  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
7 df-0 8209 . . . 4  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
86, 7eqeq12i 2113 . . 3  |-  ( 1  =  0  <->  <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >. )
95, 8mtbir 288 . 2  |-  -.  1  =  0
10 df-ne 2220 . 2  |-  ( 1  =/=  0  <->  -.  1  =  0 )
119, 10mpbir 198 1  |-  1  =/=  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1531    =/= wne 2218   <.cop 3297   R.cnr 7954   0Rc0r 7955   1Rc1r 7956   0cc0 8202   1c1 8203
This theorem is referenced by:  psgnunilem4  25355
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1452  ax-6 1453  ax-7 1454  ax-gen 1455  ax-8 1535  ax-11 1536  ax-13 1537  ax-14 1538  ax-17 1540  ax-12o 1574  ax-10 1588  ax-9 1594  ax-4 1601  ax-16 1787  ax-ext 2082  ax-sep 3745  ax-nul 3753  ax-pow 3789  ax-pr 3813  ax-un 4105  ax-inf2 6869
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 357  df-an 358  df-3or 901  df-3an 902  df-tru 1265  df-ex 1457  df-sb 1748  df-eu 1970  df-mo 1971  df-clab 2088  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-ne 2220  df-ral 2315  df-rex 2316  df-reu 2317  df-rab 2318  df-v 2514  df-sbc 2688  df-csb 2770  df-dif 2833  df-un 2835  df-in 2837  df-ss 2841  df-pss 2843  df-nul 3111  df-if 3221  df-pw 3282  df-sn 3300  df-pr 3301  df-tp 3302  df-op 3303  df-uni 3469  df-int 3503  df-iun 3546  df-br 3631  df-opab 3685  df-mpt 3686  df-tr 3718  df-eprel 3900  df-id 3904  df-po 3909  df-so 3910  df-fr 3947  df-we 3949  df-ord 3990  df-on 3991  df-lim 3992  df-suc 3993  df-om 4268  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-res 4320  df-ima 4321  df-fun 4322  df-fn 4323  df-f 4324  df-f1 4325  df-fo 4326  df-f1o 4327  df-fv 4328  df-ov 5407  df-oprab 5408  df-mpt2 5409  df-1st 5658  df-2nd 5659  df-recs 5887  df-rdg 5922  df-1o 5978  df-oadd 5982  df-omul 5983  df-er 6159  df-ec 6161  df-qs 6165  df-ni 7961  df-pli 7962  df-mi 7963  df-lti 7964  df-plpq 7997  df-mpq 7998  df-ltpq 7999  df-enq 8000  df-nq 8001  df-erq 8002  df-plq 8003  df-mq 8004  df-1nq 8005  df-rq 8006  df-ltnq 8007  df-np 8070  df-1p 8071  df-plp 8072  df-ltp 8074  df-enr 8146  df-nr 8147  df-ltr 8150  df-0r 8151  df-1r 8152  df-0 8209  df-1 8210
  Copyright terms: Public domain W3C validator