MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax1rid Unicode version

Theorem ax1rid 8783
Description:  1 is an identity element for real multiplication. Axiom 14 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Weakened from the original axiom in the form of statement in mulid1 8835, based on ideas by Eric Schmidt. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1rid 8807. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax1rid  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  1 )  =  A )

Proof of Theorem ax1rid
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-r 8747 . 2  |-  RR  =  ( R.  X.  { 0R } )
2 oveq1 5865 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  =  A  ->  ( <.
x ,  y >.  x.  1 )  =  ( A  x.  1 ) )
3 id 19 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  =  A  ->  <. x ,  y >.  =  A )
42, 3eqeq12d 2297 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  =  A  ->  ( (
<. x ,  y >.  x.  1 )  =  <. x ,  y >.  <->  ( A  x.  1 )  =  A ) )
5 elsni 3664 . . 3  |-  ( y  e.  { 0R }  ->  y  =  0R )
6 df-1 8745 . . . . . . 7  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
76oveq2i 5869 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  0R >.  x.  1 )  =  (
<. x ,  0R >.  x. 
<. 1R ,  0R >. )
8 1sr 8703 . . . . . . . 8  |-  1R  e.  R.
9 mulresr 8761 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  R.  /\  1R  e.  R. )  -> 
( <. x ,  0R >.  x.  <. 1R ,  0R >. )  =  <. (
x  .R  1R ) ,  0R >. )
108, 9mpan2 652 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  R.  ->  ( <. x ,  0R >.  x. 
<. 1R ,  0R >. )  =  <. ( x  .R  1R ) ,  0R >. )
11 1idsr 8720 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  R.  ->  (
x  .R  1R )  =  x )
1211opeq1d 3802 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  R.  ->  <. (
x  .R  1R ) ,  0R >.  =  <. x ,  0R >. )
1310, 12eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( x  e.  R.  ->  ( <. x ,  0R >.  x. 
<. 1R ,  0R >. )  =  <. x ,  0R >. )
147, 13syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( x  e.  R.  ->  ( <. x ,  0R >.  x.  1 )  =  <. x ,  0R >. )
15 opeq2 3797 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0R  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  0R >. )
1615oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( y  =  0R  ->  ( <. x ,  y >.  x.  1 )  =  (
<. x ,  0R >.  x.  1 ) )
1716, 15eqeq12d 2297 . . . . 5  |-  ( y  =  0R  ->  (
( <. x ,  y
>.  x.  1 )  = 
<. x ,  y >.  <->  (
<. x ,  0R >.  x.  1 )  =  <. x ,  0R >. )
)
1814, 17syl5ibr 212 . . . 4  |-  ( y  =  0R  ->  (
x  e.  R.  ->  (
<. x ,  y >.  x.  1 )  =  <. x ,  y >. )
)
1918impcom 419 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  =  0R )  ->  ( <. x ,  y
>.  x.  1 )  = 
<. x ,  y >.
)
205, 19sylan2 460 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  { 0R } )  ->  ( <. x ,  y >.  x.  1 )  =  <. x ,  y >. )
211, 4, 20optocl 4764 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   {csn 3640   <.cop 3643  (class class class)co 5858   R.cnr 8489   0Rc0r 8490   1Rc1r 8491    .R cmr 8494   RRcr 8736   1c1 8738    x. cmul 8742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-ni 8496  df-pli 8497  df-mi 8498  df-lti 8499  df-plpq 8532  df-mpq 8533  df-ltpq 8534  df-enq 8535  df-nq 8536  df-erq 8537  df-plq 8538  df-mq 8539  df-1nq 8540  df-rq 8541  df-ltnq 8542  df-np 8605  df-1p 8606  df-plp 8607  df-mp 8608  df-ltp 8609  df-plpr 8679  df-mpr 8680  df-enr 8681  df-nr 8682  df-plr 8683  df-mr 8684  df-0r 8686  df-1r 8687  df-m1r 8688  df-c 8743  df-1 8745  df-r 8747  df-mul 8749
  Copyright terms: Public domain W3C validator