MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax1rid Unicode version

Theorem ax1rid 8716
Description:  1 is an identity element for real multiplication. Axiom 14 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Weakened from the original axiom in the form of statement in mulid1 8767, based on ideas by Eric Schmidt. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1rid 8740. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax1rid  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  1 )  =  A )

Proof of Theorem ax1rid
StepHypRef Expression
1 df-r 8680 . 2  |-  RR  =  ( R.  X.  { 0R } )
2 oveq1 5764 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  =  A  ->  ( <.
x ,  y >.  x.  1 )  =  ( A  x.  1 ) )
3 id 21 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  =  A  ->  <. x ,  y >.  =  A )
42, 3eqeq12d 2270 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  =  A  ->  ( (
<. x ,  y >.  x.  1 )  =  <. x ,  y >.  <->  ( A  x.  1 )  =  A ) )
5 elsni 3605 . . 3  |-  ( y  e.  { 0R }  ->  y  =  0R )
6 df-1 8678 . . . . . . 7  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
76oveq2i 5768 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  0R >.  x.  1 )  =  (
<. x ,  0R >.  x. 
<. 1R ,  0R >. )
8 1sr 8636 . . . . . . . 8  |-  1R  e.  R.
9 mulresr 8694 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  R.  /\  1R  e.  R. )  -> 
( <. x ,  0R >.  x.  <. 1R ,  0R >. )  =  <. (
x  .R  1R ) ,  0R >. )
108, 9mpan2 655 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  R.  ->  ( <. x ,  0R >.  x. 
<. 1R ,  0R >. )  =  <. ( x  .R  1R ) ,  0R >. )
11 1idsr 8653 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  R.  ->  (
x  .R  1R )  =  x )
1211opeq1d 3743 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  R.  ->  <. (
x  .R  1R ) ,  0R >.  =  <. x ,  0R >. )
1310, 12eqtrd 2288 . . . . . 6  |-  ( x  e.  R.  ->  ( <. x ,  0R >.  x. 
<. 1R ,  0R >. )  =  <. x ,  0R >. )
147, 13syl5eq 2300 . . . . 5  |-  ( x  e.  R.  ->  ( <. x ,  0R >.  x.  1 )  =  <. x ,  0R >. )
15 opeq2 3738 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0R  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  0R >. )
1615oveq1d 5772 . . . . . 6  |-  ( y  =  0R  ->  ( <. x ,  y >.  x.  1 )  =  (
<. x ,  0R >.  x.  1 ) )
1716, 15eqeq12d 2270 . . . . 5  |-  ( y  =  0R  ->  (
( <. x ,  y
>.  x.  1 )  = 
<. x ,  y >.  <->  (
<. x ,  0R >.  x.  1 )  =  <. x ,  0R >. )
)
1814, 17syl5ibr 214 . . . 4  |-  ( y  =  0R  ->  (
x  e.  R.  ->  (
<. x ,  y >.  x.  1 )  =  <. x ,  y >. )
)
1918impcom 421 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  =  0R )  ->  ( <. x ,  y
>.  x.  1 )  = 
<. x ,  y >.
)
205, 19sylan2 462 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  { 0R } )  ->  ( <. x ,  y >.  x.  1 )  =  <. x ,  y >. )
211, 4, 20optocl 4717 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   {csn 3581   <.cop 3584  (class class class)co 5757   R.cnr 8422   0Rc0r 8423   1Rc1r 8424    .R cmr 8427   RRcr 8669   1c1 8671    x. cmul 8675
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-omul 6417  df-er 6593  df-ec 6595  df-qs 6599  df-ni 8429  df-pli 8430  df-mi 8431  df-lti 8432  df-plpq 8465  df-mpq 8466  df-ltpq 8467  df-enq 8468  df-nq 8469  df-erq 8470  df-plq 8471  df-mq 8472  df-1nq 8473  df-rq 8474  df-ltnq 8475  df-np 8538  df-1p 8539  df-plp 8540  df-mp 8541  df-ltp 8542  df-plpr 8612  df-mpr 8613  df-enr 8614  df-nr 8615  df-plr 8616  df-mr 8617  df-0r 8619  df-1r 8620  df-m1r 8621  df-c 8676  df-1 8678  df-r 8680  df-mul 8682
  Copyright terms: Public domain W3C validator