MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax1rid Unicode version

Theorem ax1rid 8778
Description:  1 is an identity element for real multiplication. Axiom 14 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Weakened from the original axiom in the form of statement in mulid1 8830, based on ideas by Eric Schmidt. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1rid 8802. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax1rid  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem ax1rid
StepHypRef Expression
1 df-r 8742 . 2  |-  RR  =  ( R.  X.  { 0R } )
2 oveq1 5826 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  =  A  ->  ( <.
x ,  y >.  x.  1 )  =  ( A  x.  1 ) )
3 id 21 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  =  A  ->  <. x ,  y >.  =  A )
42, 3eqeq12d 2298 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  =  A  ->  ( (
<. x ,  y >.  x.  1 )  =  <. x ,  y >.  <->  ( A  x.  1 )  =  A ) )
5 elsni 3665 . . 3  |-  ( y  e.  { 0R }  ->  y  =  0R )
6 df-1 8740 . . . . . . 7  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
76oveq2i 5830 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  0R >.  x.  1 )  =  (
<. x ,  0R >.  x. 
<. 1R ,  0R >. )
8 1sr 8698 . . . . . . . 8  |-  1R  e.  R.
9 mulresr 8756 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  R.  /\  1R  e.  R. )  -> 
( <. x ,  0R >.  x.  <. 1R ,  0R >. )  =  <. (
x  .R  1R ) ,  0R >. )
108, 9mpan2 654 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  R.  ->  ( <. x ,  0R >.  x. 
<. 1R ,  0R >. )  =  <. ( x  .R  1R ) ,  0R >. )
11 1idsr 8715 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  R.  ->  (
x  .R  1R )  =  x )
1211opeq1d 3803 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  R.  ->  <. (
x  .R  1R ) ,  0R >.  =  <. x ,  0R >. )
1310, 12eqtrd 2316 . . . . . 6  |-  ( x  e.  R.  ->  ( <. x ,  0R >.  x. 
<. 1R ,  0R >. )  =  <. x ,  0R >. )
147, 13syl5eq 2328 . . . . 5  |-  ( x  e.  R.  ->  ( <. x ,  0R >.  x.  1 )  =  <. x ,  0R >. )
15 opeq2 3798 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0R  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  0R >. )
1615oveq1d 5834 . . . . . 6  |-  ( y  =  0R  ->  ( <. x ,  y >.  x.  1 )  =  (
<. x ,  0R >.  x.  1 ) )
1716, 15eqeq12d 2298 . . . . 5  |-  ( y  =  0R  ->  (
( <. x ,  y
>.  x.  1 )  = 
<. x ,  y >.  <->  (
<. x ,  0R >.  x.  1 )  =  <. x ,  0R >. )
)
1814, 17syl5ibr 214 . . . 4  |-  ( y  =  0R  ->  (
x  e.  R.  ->  (
<. x ,  y >.  x.  1 )  =  <. x ,  y >. )
)
1918impcom 421 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  =  0R )  ->  ( <. x ,  y
>.  x.  1 )  = 
<. x ,  y >.
)
205, 19sylan2 462 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  { 0R } )  ->  ( <. x ,  y >.  x.  1 )  =  <. x ,  y >. )
211, 4, 20optocl 4763 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1624    e. wcel 1685   {csn 3641   <.cop 3644  (class class class)co 5819   R.cnr 8484   0Rc0r 8485   1Rc1r 8486    .R cmr 8489   RRcr 8731   1c1 8733    x. cmul 8737
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-ec 6657  df-qs 6661  df-ni 8491  df-pli 8492  df-mi 8493  df-lti 8494  df-plpq 8527  df-mpq 8528  df-ltpq 8529  df-enq 8530  df-nq 8531  df-erq 8532  df-plq 8533  df-mq 8534  df-1nq 8535  df-rq 8536  df-ltnq 8537  df-np 8600  df-1p 8601  df-plp 8602  df-mp 8603  df-ltp 8604  df-plpr 8674  df-mpr 8675  df-enr 8676  df-nr 8677  df-plr 8678  df-mr 8679  df-0r 8681  df-1r 8682  df-m1r 8683  df-c 8738  df-1 8740  df-r 8742  df-mul 8744
  Copyright terms: Public domain W3C validator