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Theorem ax7w9AUX7 29834
Description: Special case of ax-7 1752 proved from ax-7v 29616. (Contributed by NM, 28-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
ax7w9AUX7  |-  ( A. x A. y ( x  =  y  /\  x  =  z )  ->  A. y A. x ( x  =  y  /\  x  =  z )
)

Proof of Theorem ax7w9AUX7
StepHypRef Expression
1 equcomi 1694 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  y  =  x )
21adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  y  /\  x  =  z )  ->  y  =  x )
3 ax-8 1690 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  z  -> 
y  =  z ) )
43imp 420 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  y  /\  x  =  z )  ->  y  =  z )
52, 4jca 520 . . . . 5  |-  ( ( x  =  y  /\  x  =  z )  ->  ( y  =  x  /\  y  =  z ) )
65alimi 1569 . . . 4  |-  ( A. y ( x  =  y  /\  x  =  z )  ->  A. y
( y  =  x  /\  y  =  z ) )
7 19.26 1605 . . . . 5  |-  ( A. y ( y  =  x  /\  y  =  z )  <->  ( A. y  y  =  x  /\  A. y  y  =  z ) )
8 aecomNEW7 29648 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  y  =  x  ->  A. x  x  =  y )
9 hbaew0AUX7 29821 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  y  =  z  ->  A. x  y  =  z )
108, 9anim12i 551 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  y  =  x  /\  A. y 
y  =  z )  ->  ( A. x  x  =  y  /\  A. x  y  =  z ) )
11 19.26 1605 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( x  =  y  /\  y  =  z )  <->  ( A. x  x  =  y  /\  A. x  y  =  z ) )
1210, 11sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  y  =  x  /\  A. y 
y  =  z )  ->  A. x ( x  =  y  /\  y  =  z ) )
13 equtr 1697 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
y  =  z  ->  x  =  z )
)
1413imdistani 673 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  y  =  z )  ->  ( x  =  y  /\  x  =  z ) )
1514alimi 1569 . . . . . 6  |-  ( A. x ( x  =  y  /\  y  =  z )  ->  A. x
( x  =  y  /\  x  =  z ) )
1612, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A. y  y  =  x  /\  A. y 
y  =  z )  ->  A. x ( x  =  y  /\  x  =  z ) )
177, 16sylbi 189 . . . 4  |-  ( A. y ( y  =  x  /\  y  =  z )  ->  A. x
( x  =  y  /\  x  =  z ) )
186, 17syl 16 . . 3  |-  ( A. y ( x  =  y  /\  x  =  z )  ->  A. x
( x  =  y  /\  x  =  z ) )
1918a5i 1810 . 2  |-  ( A. y ( x  =  y  /\  x  =  z )  ->  A. y A. x ( x  =  y  /\  x  =  z ) )
2019sps 1773 1  |-  ( A. x A. y ( x  =  y  /\  x  =  z )  ->  A. y A. x ( x  =  y  /\  x  =  z )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360   A.wal 1550
This theorem is referenced by:  alcomw9bAUX7  29835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-6 1747  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-7v 29616
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-an 362  df-ex 1552  df-nf 1555
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