MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axaddass Unicode version

Theorem axaddass 8711
Description: Addition of complex numbers is associative. This theorem transfers the associative laws for the real and imaginary signed real components of complex number pairs, to complex number addition itself. Axiom 9 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-addass 8735. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axaddass  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  +  C )  =  ( A  +  ( B  +  C
) ) )

Proof of Theorem axaddass
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 8697 . 2  |-  CC  =  ( ( R.  X.  R. ) /. `'  _E  )
2 addcnsrec 8698 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  +  [ <. z ,  w >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( x  +R  z ) ,  ( y  +R  w )
>. ] `'  _E  )
3 addcnsrec 8698 . 2  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] `'  _E  +  [ <. v ,  u >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( z  +R  v
) ,  ( w  +R  u ) >. ] `'  _E  )
4 addcnsrec 8698 . 2  |-  ( ( ( ( x  +R  z )  e.  R.  /\  ( y  +R  w
)  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( [ <. ( x  +R  z
) ,  ( y  +R  w ) >. ] `'  _E  +  [ <. v ,  u >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  +R  z )  +R  v ) ,  ( ( y  +R  w
)  +R  u )
>. ] `'  _E  )
5 addcnsrec 8698 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( ( z  +R  v )  e.  R.  /\  ( w  +R  u
)  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  +  [ <. ( z  +R  v ) ,  ( w  +R  u )
>. ] `'  _E  )  =  [ <. ( x  +R  ( z  +R  v
) ) ,  ( y  +R  ( w  +R  u ) )
>. ] `'  _E  )
6 addclsr 8638 . . . 4  |-  ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( x  +R  z
)  e.  R. )
7 addclsr 8638 . . . 4  |-  ( ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( y  +R  w
)  e.  R. )
86, 7anim12i 551 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  /\  ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
x  +R  z )  e.  R.  /\  (
y  +R  w )  e.  R. ) )
98an4s 802 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
x  +R  z )  e.  R.  /\  (
y  +R  w )  e.  R. ) )
10 addclsr 8638 . . . 4  |-  ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( z  +R  v
)  e.  R. )
11 addclsr 8638 . . . 4  |-  ( ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( w  +R  u
)  e.  R. )
1210, 11anim12i 551 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  +R  v )  e.  R.  /\  (
w  +R  u )  e.  R. ) )
1312an4s 802 . 2  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  +R  v )  e.  R.  /\  (
w  +R  u )  e.  R. ) )
14 addasssr 8643 . 2  |-  ( ( x  +R  z )  +R  v )  =  ( x  +R  (
z  +R  v ) )
15 addasssr 8643 . 2  |-  ( ( y  +R  w )  +R  u )  =  ( y  +R  (
w  +R  u ) )
161, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 14, 15ecovass 6703 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  +  C )  =  ( A  +  ( B  +  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    _E cep 4240   `'ccnv 4625  (class class class)co 5757   R.cnr 8422    +R cplr 8426   CCcc 8668    + caddc 8673
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-omul 6417  df-er 6593  df-ec 6595  df-qs 6599  df-ni 8429  df-pli 8430  df-mi 8431  df-lti 8432  df-plpq 8465  df-mpq 8466  df-ltpq 8467  df-enq 8468  df-nq 8469  df-erq 8470  df-plq 8471  df-mq 8472  df-1nq 8473  df-rq 8474  df-ltnq 8475  df-np 8538  df-plp 8540  df-ltp 8542  df-plpr 8612  df-enr 8614  df-nr 8615  df-plr 8616  df-c 8676  df-plus 8681
  Copyright terms: Public domain W3C validator