MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axaddass Unicode version

Theorem axaddass 8655
Description: Addition of complex numbers is associative. This theorem transfers the associative laws for the real and imaginary signed real components of complex number pairs, to complex number addition itself. Axiom 9 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-addass 8679. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axaddass  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  +  C )  =  ( A  +  ( B  +  C
) ) )

Proof of Theorem axaddass
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 8641 . 2  |-  CC  =  ( ( R.  X.  R. ) /. `'  _E  )
2 addcnsrec 8642 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  +  [ <. z ,  w >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( x  +R  z ) ,  ( y  +R  w )
>. ] `'  _E  )
3 addcnsrec 8642 . 2  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] `'  _E  +  [ <. v ,  u >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( z  +R  v
) ,  ( w  +R  u ) >. ] `'  _E  )
4 addcnsrec 8642 . 2  |-  ( ( ( ( x  +R  z )  e.  R.  /\  ( y  +R  w
)  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( [ <. ( x  +R  z
) ,  ( y  +R  w ) >. ] `'  _E  +  [ <. v ,  u >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  +R  z )  +R  v ) ,  ( ( y  +R  w
)  +R  u )
>. ] `'  _E  )
5 addcnsrec 8642 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( ( z  +R  v )  e.  R.  /\  ( w  +R  u
)  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  +  [ <. ( z  +R  v ) ,  ( w  +R  u )
>. ] `'  _E  )  =  [ <. ( x  +R  ( z  +R  v
) ) ,  ( y  +R  ( w  +R  u ) )
>. ] `'  _E  )
6 addclsr 8582 . . . 4  |-  ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( x  +R  z
)  e.  R. )
7 addclsr 8582 . . . 4  |-  ( ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( y  +R  w
)  e.  R. )
86, 7anim12i 551 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  /\  ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
x  +R  z )  e.  R.  /\  (
y  +R  w )  e.  R. ) )
98an4s 802 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
x  +R  z )  e.  R.  /\  (
y  +R  w )  e.  R. ) )
10 addclsr 8582 . . . 4  |-  ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( z  +R  v
)  e.  R. )
11 addclsr 8582 . . . 4  |-  ( ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( w  +R  u
)  e.  R. )
1210, 11anim12i 551 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  +R  v )  e.  R.  /\  (
w  +R  u )  e.  R. ) )
1312an4s 802 . 2  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  +R  v )  e.  R.  /\  (
w  +R  u )  e.  R. ) )
14 addasssr 8587 . 2  |-  ( ( x  +R  z )  +R  v )  =  ( x  +R  (
z  +R  v ) )
15 addasssr 8587 . 2  |-  ( ( y  +R  w )  +R  u )  =  ( y  +R  (
w  +R  u ) )
161, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 14, 15ecovass 6653 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  +  C )  =  ( A  +  ( B  +  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    _E cep 4193   `'ccnv 4576  (class class class)co 5707   R.cnr 8366    +R cplr 8370   CCcc 8612    + caddc 8617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4035  ax-nul 4043  ax-pow 4079  ax-pr 4105  ax-un 4400  ax-inf2 7223
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2511  df-rex 2512  df-reu 2513  df-rab 2514  df-v 2727  df-sbc 2920  df-csb 3007  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3086  df-pss 3088  df-nul 3360  df-if 3468  df-pw 3529  df-sn 3547  df-pr 3548  df-tp 3549  df-op 3550  df-uni 3725  df-int 3758  df-iun 3802  df-br 3918  df-opab 3972  df-mpt 3973  df-tr 4008  df-eprel 4195  df-id 4199  df-po 4204  df-so 4205  df-fr 4242  df-we 4244  df-ord 4285  df-on 4286  df-lim 4287  df-suc 4288  df-om 4545  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-fun 4599  df-fn 4600  df-f 4601  df-f1 4602  df-fo 4603  df-f1o 4604  df-fv 4605  df-ov 5710  df-oprab 5711  df-mpt2 5712  df-1st 5971  df-2nd 5972  df-recs 6271  df-rdg 6306  df-1o 6362  df-oadd 6366  df-omul 6367  df-er 6543  df-ec 6545  df-qs 6549  df-ni 8373  df-pli 8374  df-mi 8375  df-lti 8376  df-plpq 8409  df-mpq 8410  df-ltpq 8411  df-enq 8412  df-nq 8413  df-erq 8414  df-plq 8415  df-mq 8416  df-1nq 8417  df-rq 8418  df-ltnq 8419  df-np 8482  df-plp 8484  df-ltp 8486  df-plpr 8556  df-enr 8558  df-nr 8559  df-plr 8560  df-c 8620  df-plus 8625
  Copyright terms: Public domain W3C validator