Theorem axaddcl 5194

Description: Closure law for addition of complex numbers. Axiom 5 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axaddcl	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + B) e. CC)

Proof of Theorem axaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axaddopr 5188	. 2 |- + :(CC X. CC)-->CC
2	1	foprcl 3954	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + B) e. CC)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 1105  (class class class)co 3902  CCcc 5155   + caddc 5160

This theorem is referenced by:  addclt 5224  adddirt 5242  addcl 5243  add4t 5261  peano2cn 5267  cnegextlem3 5270  cnegext 5271  0cnALT 5273  negeu 5278  addsubasst 5306  2addsubt 5312  muladdt 5344  muladd11t 5345  nppcan2t 5393  addsub4t 5396  mulsubt 5400  ppncant 5404  recext 5608  muleqaddt 5620  conjmult 5704  halfaddsubcl 5938  halfaddsubt 5939  uzindOLD 6107  shftval2t 6235  shftval5t 6238  2shft 6240  ser0cl1 6447  bernneq 6534  crret 6653  crretOLD 6654  crimt 6655  crimtOLD 6656  recjt 6704  imcjt 6705  sqabsaddt 6734  absreimsqt 6742  absreimt 6743  ser1absdiflem 6817  fsumclt 6904  fsumadd 6911  binomlem5 6959  climaddlem3 7003  serzf0 7056  ser1f0 7057  fnsmnt 7112  cosclt 7325  efi4pt 7328  resin4pt 7329  recos4pt 7330  efivalt 7340  addsint 7350  demoivre 7377  ioo2bl 7799  addcn 7868  4ipval2 8227  4ipval3 8231  ipcj 8236  cnph 8344  minveclem18 8428  minveclem27 8437  cosco 8500  efgh 8546  effoi 8579  effoiOLD 8580  mslb1 8823  2wsms 8824  hoadddirt 9861  golem1 10322  superpos 10403

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-plp 5011  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-c 5163  df-plus 5168

Copyright terms: Public domain